第10讲　指数与指数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第10讲　指数与指数函数 知识梳理 1.根式 n次 方根 概念 如果xn=a,那么x叫作a的　, 其中n>1,n∈N* 性 质 当n是　　　时,a的n次方根为x=  当n是　　　时,正数a的n次方根为x=±,负数没有偶次方根  0的任何次方根都是0,记作=0 根 式 概念 式子叫作　　　　　,其中n叫作　　　　　,a叫作　　　　　　　  性 质 当n为奇数时,=　  当n为偶数时,=|a|= 2.有理数指数幂 概念 正分数指数幂:=　　　  a>0, m,n∈N*,n>1 负分数指数幂:==　　　  0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 ar·as=ar+s a>0,b>0, r,s∈Q =ars (ab)r=arbr 3.指数函数的概念、图象与性质 (1)指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数. [注意] 形如y=tax,y=ax+k(t∈R且t≠1,k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函数叫作指数型函数,不是指数函数. (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为R,值域为　　　  图象过定点　　　  当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在定义域R上　　　　　  在定义域R上　　　　　  注意 ①指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,应分a>1与0<a<1来研究. ②y=ax(a>0,且a≠1)与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称 考点01　指数幂的运算 例1 (1) 计算:+0.00+= (　 ) A.2-1.9 B.12+- C.12 D.2+8 (2)计算:+=　　　　.  考点02　指数函数的图象及应用 例2 (1)设函数f(x)=3x+b,函数f(x)的图象经过第一、三、四象限,则f(b)-f(b-1)的取值范围为 (　 ) A. B. C. D. (2)(多选题)在同一直角坐标系中,函数y=x2+ax+a-3与y=ax的图象可能是 (　 ) A B C D 考点03　指数函数的性质及应用 例3 (1)设a=0.1e0.2,b=,c=0.2e0.1,则 (　 ) A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b (2)已知正数满足,则的大小关系是　　　　　　.(用>号连接)  (3)设a=0.20.3,b=0.30.2,c=log52,则 (　 ) A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>b>c (4)已知a=,b=ln,c=,则a,b,c的大小关系为　　　　.  例4 (1)设a∈R,则“a<0”是“2a<”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知f(x)=2x-2-x,则使f(x)<f(-3x2+4)成立的实数x的取值范围是 (　 ) A. B. C.(-∞,1)∪ D.∪(1,+∞) (3)已知f(x)=若f(m)=8,则m=　　　　.  例5 (1)(多选题)已知指数函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值可能为 (　 ) A. B.-1 C. D.+1 (2)若函数f(x)=在区间(-1,2)上单调递增,则a的取值范围是 (　 ) A.[0,6] B.[-2,0] C.[6,+∞) D.(6,+∞) (3)函数的单调递增区间　　　　 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.已知a+a-1=5,则-= (　 ) A. B.- C.± D.±2 2.已知函数f(x)=2+a2x-4(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为 (　 ) A.(0,2) B.(2,3) C.(2,4) D.(4,0) 3.已知a>0,则“a>3”是“aa>a3”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|1≤2x≤8,x∈Z}, 则A∩B= (　 ) A.[-1,3] B.{0,1} C.[0,2] D.{0,1,2} 5.已知3m=4,4m-a=4,2m-b=2,则下列说法正确的是 (　 ) A.a<b B.a>b C.a=b D.a=-b 6.若函数f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) 7.若<<<1,则 (　 ) A.aa<ab<ba B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa 8.(多选题)已知函数f(x)=2|x|,g(x)=2|x-1|,则 (　 ) A.f(x)与g(x)具有相同的最小值 B.f(x)与g(x)在(0,+∞)上具有相同的单调性 C.f(x)与g(x)都是轴对称图形 D.f(x)与g(x)在(-∞,0)上具有相反的单调性 9. 定义运算:a􀱋b=则函数f(x)=3-x􀱋3x的值域为　　　　.  10.已知函数f(x)=4x-a·2x-a+5(a∈R). (1)若a=2,求f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值; (2)若f(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,求a的取值范围. 11.已知f(x)=|2x-1|,当a<b<c时,f(a)>f(c)>f(b),则有(　 ) A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.2-a<2c D.1<2a+2c<2 12.(多选题)已知函数f(x)=ex,g(x)=e-x,则 (　 ) A.y=f(x)+g(x)是偶函数 B.f(2x)+g(2x)=[f(x)+g(x)]2+[f(x)-g(x)]2恒成立 C.y=f(x)+g(x)的值域是(0,+∞) D.y=f(x)-g(x)的值域是[0,+∞) 13. 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[2.1]=2,[-3.1]=-4.已知函数f(x)=,则[f(-1)]=　　　　,函数y=[f(x)]的值域为　　　　.  14.已知f(x)=a+是其定义域上的奇函数,且f(-1)=-3. (1)求f(1)的值; (2)求a与b的值,并求出f(x)的解析式(注明定义域); (3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并根据定义证明. 参考答案 1.C　[解析] 因为a+a-1=5,所以(-)2=a+a-1-2=5-2=3,所以-=±.故选C. 2.B　[解析] 令2x-4=0,解得x=2,则f(2)=2+a2×2-4=2+a0=3,即f(x)的图象过定点(2,3).故选B. 3.A　[解析] 若a>3,则函数y=ax在R上单调递增,所以aa>a3,充分性成立;当a=时,=>=,满足aa>a3,但a=<3,必要性不成立.所以“a>3”是“aa>a3”的充分不必要条件.故选A. 4.D　[解析] 因为集合A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2},B={x|1≤2x≤8,x∈Z}={x|0≤x≤3,x∈Z}={0,1,2,3},所以A∩B={0,1,2}.故选D. 5.B　[解析] 因为a=4m-4=(2m-2)(2m+2),b=2m-2,所以a=(2m+2)b,由3m=4,知m>1,所以b=2m-2>0,又2m+2>1,所以a=(2m+2)b>b.故选B. 6.D　[解析] 若函数f(x)在R上单调递增,则即解得4≤a<8.若函数f(x)在R上单调递减,则即无解.综上,实数a的取值范围为[4,8).故选D. 7.C　[解析] <<<1即为<<<,因为函数f(x)=在R上为减函数,所以由f(1)<f(b)<f(a)<f(0),得0<a<b<1.因为函数y=ax在R上为减函数,所以ab<aa,因为函数y=xa在(0,+∞)上单调递增,所以aa<ba,可得ab<aa<ba.故选C. 8.AC　[解析] 对于A,在同一平面直角坐标系中, 作出函数f(x)=2|x|,g(x)=2|x-1|的图象,如图所示, 由图可知f(x)与g(x)的最小值都为1,故A正确; 对于B,f(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在(0,+∞)上不单调,故B错误;对于C,f(x)的图象关于直线x=0对称,g(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确;对于D,f(x)与g(x)在(-∞,0)上均单调递减,故D错误.故选AC. 9.(0,1]　[解析] 当x≤0时,3-x≥3x,当x>0时,3-x<3x,所以f(x)=3-x􀱋3x=当x≤0时,0<3x≤1,即f(x)∈(0,1];当x>0时,0<3-x<1,即f(x)∈(0,1).所以函数f(x)的值域是(0,1]. 10.解:(1)若a=2,则f(x)=4x-2×2x+3=-2×2x+3,令u=2x,因为x∈[-1,1],所以u∈, 令g(u)=u2-2u+3=(u-1)2+2,u∈,则g(u)在上单调递减,在(1,2)上单调递增, 又g(1)=2,g(2)=3,g=,所以g(u)min=2,g(u)max=3,所以f(x)在[-1,1]上的最小值为2,最大值为3. (2)因为f(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以a≤==2x+1+-2对任意x∈R恒成立, 又2x+1+-2≥2-2=2-2, 当且仅当2x+1=,即x=log2(-1)时等号成立, 所以a≤2-2,故a的取值范围是(-∞,2-2]. 11.D　[解析] 画出f(x)=|2x-1|的图象,如图所示. 对于A,a<0,b<0,c<0不能同时成立,因为当a<b<c<0时,f(a)>f(b)>f(c),得不到f(a)>f(c)>f(b),故A错误;对于B,由图可知,当a<b<c时,b可能小于零,也可能大于零,故B错误;对于C,当-a>c>0时,2-a>2c,故C错误;对于D,由图可知,当a<b<c时,a<0,c>0,所以0<2a<1,2c>1,又f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以1<2a+2c<2,故D正确.故选D. 12.AB　[解析] 对于A,f(-x)+g(-x)==f(x)+g(x),则y=f(x)+g(x)是偶函数,故A正确;对于B,f(2x)+g(2x)=e2x+e-2x,[f(x)+g(x)]2+[f(x)-g(x)]2=2[f(x)]2+2[g(x)]2=e2x+e-2x,故B正确;对于C,y=f(x)+g(x)=(ex+e-x)≥1,当且仅当ex=e-x,即 x=0时,等号成立,则y=f(x)+g(x)的值域为[1,+∞),故C错误;对于D,y=f(x)-g(x)=(ex-e-x),易知该函数在R上是增函数,当x<0时,y<0,故D错误.故选AB. 13.1　{0,1,2}　[解析] 因为f(x)==,所以[f(-1)]==1.因为2x+1>0,所以1+2x+1>1,可得0<<1,所以f(x)∈.若f(x)∈,则[f(x)]=0;若f(x)∈[1,2),则[f(x)]=1;若f(x)∈[2,3),则[f(x)]=2.综上所述,函数y=[f(x)]的值域为{0,1,2}. 14.解:(1)因为f(x)=a+是其定义域上的奇函数,所以f(1)=-f(-1)=3. (2)由f(-1)=a-2b=-3,f(1)=a+b=3,解得a=1,b=2,经验证,当a=1,b=2时,f(x)=1+是其定义域上的奇函数,则f(x)=1+,其定义域为{x|x≠0}. (3)f(x)在(0,+∞)上单调递减,证明如下:取任意x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=1+-=-=, 因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,且0<x1<x2,所以-1>0,-1>0,->0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. =1 学科网（北京）股份有限公司 $$