第10讲 指数与指数函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

第10讲 指数与指数函数 知识点一：指数与根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 4.整数指数幂 （1）、正整数指数幂的定义：，其中， （2）、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 5、分数指数幂的意义 （1）分数指数幂的意义 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： （2）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 6、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 7、实数指数幂的运算性质 有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点二：指数函数 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 3.指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 注意：1、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 3.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 4.指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 5.指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 知识点三：指数比较大小及解不等式 一、比较指数幂的大小 常用方法有： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 二、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解 2、形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解 解题注意 1、正确区分与()n (1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 2、有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 3、根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 4、指数幂运算的常用技巧 指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. ②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. ③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. ④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 5、利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2. 6、判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求． 7、求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 8.指数函数常用技巧 (1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线. (2)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (3)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (4)指数函数与的图象关于轴对称． 9、指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，． 10、指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 11、函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 12、处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 注：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到. 特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. ②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 13、比较幂值大小的3种类型及处理方法 14、简单的指数不等式的解法 利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 15、指数型复合函数的单调性 (1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 16、解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较． (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可． (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 知识点四：复合函数 知识点一.求复合函数的定义域 形如的函数的定义域就是的定义域． 求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若的范围不确定，则需对进行讨论． 知识点二.求复合函数的值域 求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合确定出的值域． 知识点三.判断复合函数的单调性 令，，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那和复合函数在上是减函数． 知识点四.研究函数的奇偶性 1.定义法：即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性． 2.是图象法：作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或轴对称，则函数具有奇偶性． 知识点五.恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有 ①直接最值法 ②分类参数法 ③变换主元法 ④数形结合法 指数的运算 指数的运算 题型01：根式的化简求值 1.当时，化简 . 2.已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 3.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4.已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 7._________. 8.下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 题型02：分数指数幂的化简求值 1.计算下列各式： (1)（其中a>0，结果化为幂的形式）； (2) (3) 2.计算： . 3.计算: . 题型03：条件求值 1.已知，那么等于 . 2.已知，求下列各式的值： ①； ②. 3．已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）a2+a﹣2； （3）． 4．根据已知条件求下列值： （1）已知x，y，求的值； （2）已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值． 5．当x，y＝2时，化简（）•（）． 6.（1）计算：； （2）已知，求的值. 7.若，则______ 8.已知，，则______ 9.已知，，则的值为__________． 题型04：指数幂的综合运算 1.计算： (1)； (2)． 2.计算下列各式的值 (1)； (2)． 3.化简： . 4.计算 . 5.=____________ 6.化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 7.分别计算下列数值： （1）； （2）已知，，求. 8.已知，则=__________ 9.若满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．求值： (1) (2). 11.．（1）求值：； （2）已知，化简：. 题型05：解含幂的方程 1．若10x＝3，10y＝4，则103x﹣2y＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 2．已知b＝1，则 ． 3．22x+2+3•2x﹣1＝0，求x的值． 指数函数 题型01：指数函数的概念 1.已知函数（，且）的图象经过点，则（    ） A． B．2 C． D．4a的值为 2.若：函数是指数函数，，则是的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3.已知函数是指数函数，求实数的值． 4．已知函数（a>0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（    ） A． B．=2 C．=3 D．=6 5.已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 6.已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 7.若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 8.已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 9.对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 10．已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 题型02：指数型函数定义域 1．函数的定义域是___________． 2.函数的定义域为______． 3.函数的定义域是_______． 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______ 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的定义域为，则_________． 7.已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 8.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 10.下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 题型03：指数型函数值域 （1）求指数型函数值域 1.函数在的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为______． 3.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4.函数的值域为________. 5.已知函数，则其值域为__________. 6.已知满足，求函数的最大值及最小值． 7.对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________. 8.函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 9.已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10.已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（   ） A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 13.函数的最小值为 ，此时 ． 14.函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 15.若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____. 16.若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 17.已知函数的定义域是，设， (1)求的定义域； (2)求函数的最大值和最小值. 18.已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围. 19.已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 20.已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有最小值3，求的值. 21.已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 22.已知函数，且，． (1)求a，b的值，并写出的解析式； (2)设，求在的最大值和最小值． 23.已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域和单调区间． （2）根据指数型函数值域（最值）求参数 1.函数且的值域是，则实数 ____. 2.已知函数，若的值域是，求的值． 3.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若函数的值域为，则实数的取值范围为______． 5.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 7.如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 8.已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 9.设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 10.若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 11.已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则________. 12.已知函数．若函数的最大值为1，则实数（    ） A． B． C． D． 13.如果函数（，）在区间上的最大值是14，则的值为（    ） A．3 B． C．-5 D．3或 14.已知的最小值为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15.已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）含参指数函数的最值 1.已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R，且满足，若函数（，且）. (1)求的解析式； (2)求在R上的最大值. 4.设函数（且）是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值. 5.已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若，求在区间上的最大值. 6.已知函数在区间上有最大值和最小值. (1)求，的值； (2)若不等式在时有解，求实数的取值范围. （4）指数函数最值与不等式的综合问题 1.若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 2.已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 3.已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 4.已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________. 5.设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________. 6.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________． 8.已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04：指数函数图像问题 （1）判断指数函数图象的形状 1.已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2.函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 3.函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 4.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D．. 7.函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 8.函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 9.当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（    ） A． B． C． D． 11.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 12.函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   13.函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 14.函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 15.函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 16.函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． （2）指数型函数的图象变换 1.要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2.已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3.作出函数的图象. 4.已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 5.已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 6.如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 7.函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       8.若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．  C．     D．   （3）根据指数型函数图象判断参数的范围 1.若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 2.若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3.函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4.已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.已知函数的图像如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 6.若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 7.若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 （4）指数型函数恒过定点问题 1.函数的图象恒过的定点为 ． 2.已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 3.已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 4.函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 5.已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______． 6.函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______； 7.已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 8.已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是______. 9.若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____. 10.已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 11.对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． （5）指数函数图象应用 1.已知实数，满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中不可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知函数，若，则的取值范围是______ 3.若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（    ） A．2 B． C． D． 4.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ） A．2020 B．1010 C．1012 D．2023 6.已知函数，则不等式的解集是___________． 7.已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 9.已知函数，则其图象一定不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型05：指数函数的单调性 （1）判断函数的单调性 1.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（    ）． A． B． C． D． 2.已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 3.设函数且，那么是（    ）． A．奇函数，且在上是严格增函数 B．奇函数，且在上是严格减函数 C．偶函数，且在上是严格增函数 D．偶函数，且在上是严格减函数 4.函数的单调递增区间为______. 5.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6.函数的单调减区间是_______． 7.函数的单调递增区间为__________. 8.“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 10.设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）由函数的单调性求参数 1.下列各条件中，为“函数是上的减函数”的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 2.“”是“函数在R上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3.已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 4.若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 5.已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.函数 在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7.若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________． 9.若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A．（1，3）； B．（2，3）； C．； D．； 10.已知函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12.已知，，则__________. 13.已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 15.设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）比较大小 1．a＝41.7，b＝80.48，c＝（）﹣0.5，则a、b、c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 2．已知a＝log1.60.6，b＝0.60.6，c＝1.60.6，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 3．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（　　） A．xa＞yb B．xa＜yb C．ax＜by D．ax＞by 4．已知三个实数a，b＝aa，c，其中0.9＜a＜1，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.已知，则（    ） A． B． C． D． 8.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9.已知，则（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 11.设函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 12.下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 13.已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 14.若，则（    ） A． B． C． D． 15.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 16.设，则（   ） A． B． C． D． 17.已知，则（    ） A． B． C． D． （4）解不等式 1.已知集合或，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 2.不等式的解集是___________. 3.若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 7.已知函数，则不等式的解集为 ． 8.已知函数，则不等式的解集为__________． 9.已知函数为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)若，求实数的取值范围. 10.设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点． (1)求t和a的值； (2)若，求实数k的取值范围； 11.已知函数是奇函数． (1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）； (2)若，求的取值范围． 12.已知是定义在上的奇函数 (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围. 13.已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围. 题型06：零点问题 1．已知实数，满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中不可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（多选）已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 题型07：指数函数奇偶性 （1）奇偶性的判断 1.函数的图象（ ） A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 2.函数y＝2x－2－x是(　　) A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 2.设，那么是 A． 奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B． 偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C． 奇函数且在（0，＋∞）上是减函数 D． 偶函数且在（0，＋∞）上是减函数 3．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数). 4．已知函数. (1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性. 5．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并给出证明． 6．已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)求的值域． （2）已知函数奇偶性求值 1.已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 2.已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 （3）由函数的奇偶性求解析式 1.函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________． 3.若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求. （4）已知函数的奇偶性求参数 1.已知函数为偶函数，则函数的值域为___________. 2.已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__． 3.若函数为偶函数，则__________. 4.已知函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．-2 C．2 D．1 5.已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________. 6.（1）设函数(R)是偶函数，则实数a=______． （5）函数的奇偶性与单调性的综合 1.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________. 2.已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________. 3.已知函数，则不等式的解集为___________. 4.设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________ 5.设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08：指数函与数分段函数单调性求参 1.（多选）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D． 2.若函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3.设函数的最小值为2,则实数a的取值范围是　　　　　　. 4.已知函数是增函数，则实数a的取值范围是______． 题型09：与指数函数有关的恒成立与存在性有解问题 1.不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为___________． 2.设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______． 3.已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________. 4.已知函数是定义在上的奇函数． (1)求a的值； (2)求函数的值域； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 5. 若存在正数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是_______ 7.已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)当取何值时，方程在上有实数解. 8.已知且，函数， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围． 9.已知． (1)若时，，求实数k的取值范围； (2)设若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 题型10：指数函数的综合问题 1.若，则的最小值为_________． 2.已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3.关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（    ） A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项 B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项 C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项 D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项 4.已知定义在上的奇函数，偶函数，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； (3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 5.已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 6.已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明：在上为减函数； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 7.已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 8．若与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是(　　) A． B． C．[0，1] D．(0，1] 9．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 10．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么= A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 11．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．存在实数a，b使得函数为奇函数 B．若函数的图象经过原点，且无限接近直线，则 C．若函数在区间上单调递减，则 D．当时，若对，函数恒成立时b的取值范围为 13．已知函数在区间上有最大值和最小值. (1)求，的值； (2)若不等式在时有解，求实数的取值范围. 14．已知函数． （1）是否存在实数使得为奇函数？若存在，求出实数，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 15．已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且在上的最小值为，求的值. 题型11：指数函数的实际应用 1.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A．51.2% B．48.8% C．52% D．48% 2.生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论： ①该生物种群的数量不超过40000只； ②该生物种群数量的增长速度逐年减小； ③该生物种群数量的年增长量不超过10000只． 其中所有正确说法的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为，其中的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中为就餐人数（本窗口），为餐品新鲜度，则当，时，近似等于（    ）（已知） A．470 B．471 C．423 D．432 5.某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 6.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ） A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 8.已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是52℃，由此可求出的值约为0.24.现将55℃的物体，放在15°C的空气中冷却，则开始冷却 分钟（精确0.01）后物体的温度是35℃.（参考数据：） 题型12：指数函数中新定义问题 1.对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 2.对于定义在区间上的函数f(x)，若. (1)已知试写出、的表达式; (2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围； (3)若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围. 3.对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数c，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“卷函数”. (1)判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由： (2)设是（1）中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数x的取值范围； (3)若函数是区间上的“卷函数”，求的值. 巩固练习 一、单选题 1．设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（    ） A．56 B． C．54 D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 6．函数，若解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数 （，且），若对于任意恒成立，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则=（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．若函数满足，则函数的图象关于点对称 C．当时，函数的最小值为 D．函数的单调增区间为 10．设为正实数，且，已知函数，使得函数在R上单调递减成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数（为自然对数的底数），则（    ） A．为奇函数 B．方程的实数解为 C．的图象关于轴对称 D．，，且，都有 三、填空题 12．下列说法正确的是__________（填序号） ①任取，均有；                     ②当且时，均有； ③是R上的增函数；                 ④的最小值为1； ⑤在同一坐标系中，与的图象关于y轴对称． 13．设函数，则使得成立的的取值范围是___________ 14．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过__________分钟． 四、解答题(共0分) 15．求值： (1) (2). 16．已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 17．已知函数，若函数的图象过点， (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 18．设函数是定义域的奇函数． (1)求值； (2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上最小值为，求的值． 19.已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 20.已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 21.已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点． (1)求实数，的值并指出的单调性（不必证明）； (2)求不等式的解集． 22.已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)设，对，使得，求实数的取值范围. 23.已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 提升训练 一、单选题 1．设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 8．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A．B． C． D． 二、多选题 9．设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．若是偶函数，则 B．无论取何值，都不可能是奇函数 C．在区间上单调递减 D．的最大值小于1 三、填空题 11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 12．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 13．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 14．已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数m的取值范围. 15．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若函数，求在[1,3]的最小值； (3)若使得不等式成立，求实数的取值范围． 16．已知函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数. (1)求，的解析式； (2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 17．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 指数与指数函数 知识点一：指数与根式 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、根式： 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 在根式符号中，注意： ①， ②当为奇数时，对任意都有意义 ③当为偶数时，只有当时才有意义. 3、与的区别： ①当为奇数时，（） ②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且， ④为偶数时，且， 4.整数指数幂 （1）、正整数指数幂的定义：，其中， （2）、正整数指数幂的运算法则： ①（） ②（，，） ③（） ④（） ⑤（） 5、分数指数幂的意义 （1）分数指数幂的意义 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： （2）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 6、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 7、实数指数幂的运算性质 有理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 无理数指数幂 ①（，） ②（，） ③（，） 知识点二：指数函数 1、一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、学习指数函数的定义，注意一下几点 （1）定义域为： （2）规定是因为： ①若，则（恒等于1）没有研究价值； ②若，则时，（恒等于0），而当时，无意义； ③若，则中为偶数，为奇数时，无意义. ④只有当或时，即，可以是任意实数. （3）函数解析式形式要求： 指数函数只是一个新式定义，判断一个函数是指数函数的关键有三点：①的系数必须为1；②底数为大于0且不等于1的常数，不能是自变量；③指数处只有一个自变量，而不是含自变量的多项式. 3.指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 注意：1、指数函数的底数对图象的影响 函数的图象如图所示： 观察图象，我们有如下结论： 2.底数与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”. （1）当时，指数函数的图象是“上升”的，且当时，底数的值越大，函数的图象越“陡”，说明其函数值增长的越快. （2）当时，指数函数的图象是“下降”的，且当时，底数的值越小，函数的图象越“陡”，说明其函数值减小的越快. 3.底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是还是，底数越大，在第一象限内的函数图象越“靠上”. 在同一平面直角坐标系中，底数的大小决定了图象相对位置的高低； 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”； 4.指数函数的定义域与值域 1、定义域： （1）指数函数的定义域为 （2）的定义域与函数的定义域相同 （3）的定义域与函数的定义域不一定相同. 2、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 5.指数函数的图象变换 已知函数 1、平移变换 ① ② ③ ④ 2、对称变换 ① ② ③ 3、翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 知识点三：指数比较大小及解不等式 一、比较指数幂的大小 常用方法有： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 二、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解 2、形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解 解题注意 1、正确区分与()n (1)( )n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． 2、有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 3、根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 4、指数幂运算的常用技巧 指数幂运算的一般原则：①指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. ②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. ③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. ④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 5、利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键． (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式． x2＋x－2＝(x±x－1)2 ∓2，x＋x－1＝(±)2∓2，＋＝(±)2∓2. 6、判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求． (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求． 7、求指数函数的解析式或函数值 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式． 8.指数函数常用技巧 (1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线. (2)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (3)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (4)指数函数与的图象关于轴对称． 9、指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，． 10、指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 11、函数y＝af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合． (2)值域：①换元，令t＝f(x)； ②求t＝f(x)的定义域x∈D； ③求t＝f(x)的值域t∈M； ④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 12、处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 注：①对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到. 特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. ②有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 13、比较幂值大小的3种类型及处理方法 14、简单的指数不等式的解法 利用指数函数的单调性，将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. (1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式． (2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)． 15、指数型复合函数的单调性 (1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性． (2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成． 16、解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较． (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可． (3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 知识点四：复合函数 知识点一.求复合函数的定义域 形如的函数的定义域就是的定义域． 求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域．若的范围不确定，则需对进行讨论． 知识点二.求复合函数的值域 求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合确定出的值域． 知识点三.判断复合函数的单调性 令，，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那和复合函数在上是减函数． 知识点四.研究函数的奇偶性 1.定义法：即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性． 2.是图象法：作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或轴对称，则函数具有奇偶性． 知识点五.恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有 ①直接最值法 ②分类参数法 ③变换主元法 ④数形结合法 指数的运算 指数的运算 题型01：根式的化简求值 1.当时，化简 . 【答案】4 【知识点】根式的化简求值 【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简. 【详解】因为,所以, 所以, 故答案为：4. 2.已知，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 3.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算法则即可判断. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：CD. 4.已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幂的运算化简即可判断. 【详解】由题意，即， 而“”是“”的必要而不充分条件，所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 5.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 6.化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】因为 所以， 故， 故选：A 7._________. 【答案】/ 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】, 故答案为： 9.下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 题型02：分数指数幂的化简求值 1.计算下列各式： (1)（其中a>0，结果化为幂的形式）； (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据根式的运算与指数幂的运算法则化简即可； （2）根据根式的性质与指数幂的运算法则化简即可； （3）根据指数幂的运算法则化简即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式. 2.计算： . 【答案】3 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算法则，结合根式与指数幂的互化即可得解. 【详解】 . 故答案为：3. 3.计算: . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据分数指数幂运算法则计算可得结果. 【详解】易知原式； 故答案为： 题型03：条件求值 1.已知，那么等于 . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 2.已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】①7；②47 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果； ①由求解出结果；②由求解出结果. 【详解】①因为，所以，即，所以； ②由①知，两边平方得，. 3．已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）a2+a﹣2； （3）． 【答案】（1）7；（2）47；（3）3． 【解答】解：（1）∵， ∴9，即a+a﹣1+2＝9，得a+a﹣1＝7； （2）∵a+a﹣1＝7， ∴（a+a﹣1）2＝49，即a2+a﹣2+2＝49，得a2+a﹣2＝47； （3）∵（）（a﹣1+a﹣1） 而a+a﹣1＝7，，∴3×（7﹣1）＝3×6＝18， ∴3． 4．根据已知条件求下列值： （1）已知x，y，求的值； （2）已知a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）∵x，y， ∴ ； （2）∵a，b是方程x2﹣6x+4＝0的两根， ∴a+b＝6，ab＝4， 又a＞b＞0，∴0， 而， ∴． 5．当x，y＝2时，化简（）•（）． 【答案】2． 【解答】解：原式＝x2﹣y﹣1＝2＝22＝2． 6.（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）108；（2）2 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算性质分别计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以， 所以. 7.若，则______ 【答案】 【详解】在等式两边平方可得， 因此，. 故答案为：. 8.已知，，则______ 【答案】 【分析】根据已知，通分计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为：. 9.已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】将变形为，设，求出t的值，可化为，即可求得答案. 【详解】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 题型04：指数幂的综合运算 1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据幂的运算性质，可得答案. 【详解】（1） . （2）. 2.计算下列各式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数运算公式直接求值； （2）根据指数运算公式化简求值. 【详解】（1） ； （2） . 3.化简： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 4.计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 5.=____________ 【答案】 【详解】 故答案为： 6.化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式 （2）原式＝. （3）原式. 7.分别计算下列数值： （1）； （2）已知，，求. 【答案】（1）；（2）-12. 【解析】（1）利用根式的性质和指数幂的运算律求解. （2）由，利用平方差公式和完全平方公式，分别求得，的值代入即可. 【详解】（1）原式， ， ， （2）∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴. 8.已知，则=__________ 【答案】 【详解】， . 故答案为： 9.若满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边底数化为同样，得到，对应相等，得出方程，解方程即可. 【详解】，得，得，得，解得. 故选：C. 10．求值： (1) (2). 【答案】(1)110； (2). 【详解】（1） （2） . 11.．（1）求值：； （2）已知，化简：. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ； （2） 题型05：解含幂的方程 1．若10x＝3，10y＝4，则103x﹣2y＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】C． 【解答】解：103x﹣2y， 故选：C． 2．已知b＝1，则 ． 【答案】3． 【解答】解：∵b＝1， ∴•3b31＝3， 故答案为：3． 3．22x+2+3•2x﹣1＝0，求x的值． 【答案】﹣2． 【解答】解：∵22x+2+3•2x﹣1＝0， ∴4•（2x）2+3•2x﹣1＝0； 设2x＝t（t＞0），则原方程化为4t2+3t﹣1＝0； 解得t，t＝﹣1（舍去）； ∴2x， 解得x＝﹣2． 指数函数 题型01：指数函数的概念 1.已知函数（，且）的图象经过点，则（    ） A． B．2 C． D．4a的值为 【答案】B 【详解】因为函数（，且）的图象经过点， 所以，解得：. 故选：B. 2.若：函数是指数函数，，则是的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2， ∴q是p的必要不充分条件. 故选：C． 3.已知函数是指数函数，求实数的值． 【答案】4 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得， 即实数a的值为4。 4．已知函数（a>0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（    ） A． B．=2 C．=3 D．=6 【答案】AD 【详解】由已知得，两式相比得，所以， 由得 ，所以， 故选：AD． 5.已知指数函数在上单调递增，则的值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据函数是指数函数求参数 【分析】令系数为，解出的值，又函数在上单调递增，可得答案． 【详解】解得， 又函数在上单调递增，则， 故选：B 6.已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合指数函数定义求出即可计算得解. 【详解】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以. 故选：A 7.若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果. 【详解】由已知可得，且. 又时，， 即 ， 所以有，即， 解得或. 故答案为：或. 8.已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可. 【详解】， 故选：A. 9.对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 10．已知指数函数和幂函数的图象都过点，若，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据指数函数、幂函数的知识求得和，通过解方程求得，由此求得正确答案. 【详解】依题意，设，， 代入得，，解得. 所以，，由，， 解得：，所以. 故答案为：. 题型02：指数型函数定义域 1．函数的定义域是___________． 【答案】且 【分析】根据题意得到求解即可. 【详解】由题知：且. 故答案为：且. 2.函数的定义域为______． 【答案】 【详解】， 即定义域为. 故答案为： 3.函数的定义域是_______． 【答案】. 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，即可求得结果. 【详解】由题意得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______ 【答案】 【详解】由条件可知，函数的定义域需满足，解得：， 所以函数的定义域是. 故答案为： 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致. 【详解】的定义域为，，即， ，解得：且， 的定义域为. 故选：. 6.已知函数的定义域为，则_________． 【答案】 【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值. 【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得， 当时，由，可得，解得，合乎题意. 故答案为：. 7.已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______． 【答案】[-1，0] 【分析】把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解． 【详解】∵f（x）的定义域为R， ∴0对任意x∈R恒成立， 即恒成立， 即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立， ∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0． 故答案为[﹣1，0]． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 8.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得. 所以该函数的定义域为. 故选：B. 9.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 10.下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为. 故选：B. 题型03：指数型函数值域 （1）求指数型函数值域 1.函数在的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为函数是单调递增函数， 所以函数也是单调递增函数， 所以. 故选：C 2．函数的值域为______． 【答案】 【分析】用含的式子表达出，得到，求出值域. 【详解】， 故，即，解得：或， 故值域为 故答案为： 3.函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二次函数开口向下， 当时，最大值为， 函数是单调递减函数， 所以的值域为. 故选：B. 4.函数的值域为________. 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以， 故答案为: . 5.已知函数，则其值域为__________. 【答案】 【分析】根据换元法将函数变为，结合二次函数的单调性即可求解最值,进而求解值域. 【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为， 故答案为： 6.已知满足，求函数的最大值及最小值． 【答案】， 【详解】由可得：可得：，令，， 则，， 当即时，；当即时，． 7.对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，所以， 又当时，， 所以， 当且仅当时等号成立， 即当时，， 因为为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 8.函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合指数函数单调性即可求解. 【详解】由题意，所以，. 故选：C. 9.已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果. 【详解】当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则， 所以当时，，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以， 所以，解得， 故选：C 10.已知且，且在区间上有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，”，分别讨论和，得到关于的不等式，即可求解出结果． 【详解】“在区间上，恒成立”等价于“在区间上，” 当时，在上单调递增，此时，在处取得最小值，即，解得，故； 当时，，即，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 故选：C 11.已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原问题等价于，使得，利用函数的单调性求出最大值即可求解. 【详解】解：，使得，等价于， ， 由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以， 又在上单调递增，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 12.已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（   ） A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【分析】由指数函数与反比例函数的单调性，根据复合函数的单调性，求得最值，可得答案. 【详解】由，则在上单调递增， 所以，，. 故选：B. 13.函数的最小值为 ，此时 ． 【答案】 0 1 【分析】化简为，即可确定时，取得最小值．再结合，的图象即可求得取值小值时x的值. 【详解】由题意得， 当时，取得最小值0． 作出函数，的图象， 可知，的图象只有一个交点，且， 故结合图象可知交点的横坐标为1，所以方程的解为． 故答案为：0；1 14.函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，根据二次函数性质得到最值. 【详解】设，，则， 当，即时，函数有最大值为. 故选：. 【点睛】本题考查了指数型函数的最值，换元可以简化运算，是解题的关键. 15.若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____. 【答案】 【详解】函数恒过点， 则， 区间变为， 由函数， 令， 则， 利用二次函数的单调性， 当时，， 则函数在上的最小值是. 故答案为：. 16.若函数 的图像经过点 ， 则（    ） A． B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 81 D． 的最小值为 【答案】AC 【分析】利用函数经过点,可求出,再应用函数性质每个选项分别判断即可. 【详解】对于:由题意得  ， 得 ,故正确; 对于:令函数 ， 则该函数在上单调递减，在 上单调递增． 因为 是减函数， 所以在上单调递增， 在 上单调递减， 故错误; 对于:因为在上单调递增， 在 上单调递减, 所以 ,无最小值．故正确, 错误; 故选:. 17.已知函数的定义域是，设， (1)求的定义域； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）的定义域是，， 因为的定义域是，所以，解得 于是的定义域为. （2）设. 因为，即，所以当时，即时， 取得最小值，值为； 当时，即时，取得最大值，值为. 18.已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值； （2）首先将函数和在定义域的最小值设为，由题意可知，首先求得，，确定的取值范围，再讨论去绝对值，求，然后解不等式，即可求解. 【详解】（1）若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值； （2）设在上的最小值为，在上的最小值为， 由题意可知，， 若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值2，即； 所以在上的最小值应该满足，； 因为，解得：或， 当时，且，则， 可得， 可得的最小值为，则，解得：， 当时，且，， 可得， 可知，的最小值为，则，解得：， 综上可知，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数的最小值，根据，缩小的取值范围，再讨论去绝对值. 19.已知定义在上的函数() (1)若，求函数在上的最大值； (2)若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【知识点】求已知指数型函数的最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值； （2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解. 【详解】（1）若，则， 因为，令， 可得的图象开口向上，对称轴为， 可知：当时，取得最大值， 所以函数在上的最大值为8. （2）因为， 即， 整理得， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，， 则，整理得， 由题意可知：方程在内有解， 因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 20.已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若有最小值3，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）令，利用复合函数的单调性分析求解； （2）设，结合指数函数单调性可知的最小值为1，然后分和两种情况，结合二次函数最值分析求解. 【详解】（1）因为，所以. 设，则. 因为，所以为R上的单调递增函数. 又在上单调递增，在上单调递减. 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）设，则.因为，所以为R上的单调增函数. 因为有最小值3，所以，的最小值为1. 当时，，无最小值，不合题意； 当时，则，解得. 21.已知函数，. (1)当时，求的最小值； (2)记的最小值为，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求已知指数型函数的最值、复合函数的最值 【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可； （2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得． 【详解】（1）设，因为，则， 则，， 当时，，， ∴时，，即当时，. （2）由（1）知，， 其图象的对称轴为． ①当时，在上单调递增，所以； ②当时，， ③当时，在上单调递减，所以. 综上，. 22.已知函数，且，． (1)求a，b的值，并写出的解析式； (2)设，求在的最大值和最小值． 【答案】(1)，， (2)最大值为，最小值为． 【知识点】求已知指数型函数的最值、求解析式中的参数值 【分析】（1）根据，列出方程组，解出的值，进而可得的解析式； （2）先求出，然后利用换元法，结合二次函数的知识可求出结果． 【详解】（1）由，得， 解得，．且． 所以a，b的值分别为1，2，的解析式为． （2）， 令，则由得， 所以变为，． 对称轴为直线，， 所以当，即时，； 当，即时，． 综上时，的最大值为，最小值为． 23.已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为；单调递减区间为，单调递增区间为 【知识点】求指数函数解析式、判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值 【分析】（1）由可求出的值，可得出函数的解析式； （2）令，，利用复合函数的单调性可得出函数在上的单调增区间和减区间，并由此求出函数的值域. 【详解】（1）解：因为函数（且）的图象过点，则，解得， 因此，. （2）解：，令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，， 又因为函数单调递增， 所以，函数在上的减区间为，增区间为. 故当时，， 又因为，，故， 所以，函数在上的值域为. （2）根据指数型函数值域（最值）求参数 1.函数且的值域是，则实数 ____. 【答案】或 【详解】当时，函数且是增函数， 值域是， ； 当时，函数且是减函数， 值域是， . 综上所述，可得实数或. 故答案为：或 2.已知函数，若的值域是，求的值． 【答案】0 【分析】利用换元法，令，则，则由题意可知的值域为，从而可求出的值 【详解】令，则， 因为的值域是，即的值域是， 所以的值域为， 若，则为二次函数，其值域不可能为， 若，则，其值域为， 所以 3.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 4.若函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由指数函数性质求解 【详解】令，由题意得的值域为， 又的值域为，所以解得 所以的取值范围为． 故答案为： 5.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程有解转化为有正根，即在有解，根据解出的范围． 【详解】方程有解， 有解， 令， 则可化为有正根， 则在有解，又当时， 所以， 故选：． 6.若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 7.如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可. 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 8.已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 9.设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可. 【详解】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 10.若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（    ） A． B．1 C．或2 D．2 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性求出最值，即可得出答案. 【详解】解：当时，函数为增函数， 则， 故，解得或（舍去）， 当时，函数为减函数， 则， 故，无解， 综上，. 故选：D. 11.已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则________. 【答案】或 【详解】（1）若，则函数在区间上是递增的， 当时，取得最大值，即， 又，∴. （2）若，则函数在区间上是递减的， 当时，取得最大值， 所以. 综上所述，的值为或. 故答案为：或 12.已知函数．若函数的最大值为1，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令， 则，当时，，解得. 故选：B 13.如果函数（，）在区间上的最大值是14，则的值为（    ） A．3 B． C．-5 D．3或 【答案】D 【详解】令ax＝t，则． 当a＞1时，因为，所以， 又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增， 所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）． 当0＜a＜1时，因为，所以， 又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增， 则ymax＝， 解得（舍去）． 综上知a＝3或． 故选：D 14.已知的最小值为2，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意观察时，，所以让时， 恒成立即可，根据参变分离和换元方法即可得解. 【详解】当时，， 又因为的最小值为2， ，所以需要当时， 恒成立， 所以在恒成立， 所以在恒成立， 即在恒成立， 令 ，则， 原式转化为在恒成立， 是二次函数，开口向下，对称轴为直线， 所以在上 最大值为， 所以， 故选：D. 15.已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数在两段上的单调性，确定每一段上函数的取值范围后比较可得． 【详解】易知在上单调递增，所以当时，； 在上单调递增，所以当时，. 所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得. 故选：C. （3）含参指数函数的最值 1.已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可. 【详解】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有． 故选：C 2.已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为， 当时，函数显然不存在最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数无最大值， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由在上恒成立，可得； 由在上恒成立，即在上恒成立，可得； 由在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得函数在上单调递增，所以，即， 综上可得，即实数的取值范围是. 故选：A. 3.已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R，且满足，若函数（，且）. (1)求的解析式； (2)求在R上的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可知， 由为奇函数，为偶函数，可知，， 则， 则. （2）由（1）得， 当，且时，，则， 当且仅当，即时取等号， 故在R上的最大值为. 5.设函数（且）是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，即， 当时，符合条件. （2）因为，所以， 解得或（舍）. 故， 令，由，故， 所以 函数图象的对称轴为， ①时，，解得（舍去）； ②时，，解得. 所以，. 6.已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若，求在区间上的最大值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：当时，， 由可得，，所以. 即当时，函数的零点为. （2）解：令，即求在区间上的最大值. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，，则； ③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，，则； ④当时，即当时，函数在区间上单调递减，所以. 综上所述. 7.已知函数在区间上有最大值和最小值. (1)求，的值； (2)若不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：令，则原函数可转化为， 因为且对称轴， 所以在上单调递增， 由已知可得，解得； （2）解：由（1）知，. 令，由，得，则在上有解， 即在上有解. 令，，则， ，， 即实数k的取值范围为. （4）指数函数最值与不等式的综合问题 1.若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 2.已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由为偶函数，为奇函数，构造方程组，分别解出和的解析式，代入不等式中，利用换元法求出函数的最值，可得实数的范围． 【详解】为偶函数，为奇函数，，即 又，解得， 时，等价于， 化简得，， 令，则，在上单调递增， 当时， 则实数的最大值为 故答案为： 3.已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：有解 令 有解，即有解，显然无意义 ,当且仅当，即时取等， 故答案为：. 4.已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________. 【答案】． 【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案. 【详解】令 因为在区间上是增函数， 所以 因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为． 故答案为：. 5.设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由函数， 均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数， 且满足，所以函数为奇函数， 因为，即， 可得恒成立，即在上恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可求得在上单调递减，且，所以由得，得，即对于任意的恒成立，从而得解． 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递减． 因为， 所以由，得，即， 所以，即对于任意的恒成立， 而，则，即实数的取值范围是． 故选：A． 7.已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】，， 【分析】设，，则，对于，恒成立，问题转化为，于，恒成立，即，即可解得答案． 【详解】设，， 则，对于，恒成立， 即，对于，恒成立， ∴， 即， 解得或， 即或， 解得或， 综上，的取值范围为，，． 故答案为：，，﹒ 8.已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可. 【详解】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有． 故选：C 题型04：指数函数图像问题 （1）判断指数函数图象的形状 1.已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断. 【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线， 该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A． 故选：A 2.函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系. 【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而. 故选：C． 3.函数的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】ABD 【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足； 当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足； 当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足； 图象C过点，此时，故C不成立. 故选：ABD 4.函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项. 【详解】的定义域为, ,所以为奇函数,由此排除AC选项; 又,排除B选项. 故选：D. 5.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征即可排除错误答案. 【详解】定义域为，且， 即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D； 当时，，所以，故排除C； 故选：A 6.函数的图象大致是（    ） A． B． C． D．. 【答案】C 【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案. 【详解】，函数定义域为， ，函数为奇函数，排除BD； ，，故，排除A. 故选：C 7.函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分类讨论函数的单调性及极值点判断各个选项即可. 【详解】， 当时, ,A选项正确； ， ， , 时, 有两个根,且时 ,根据极值点判断，故C选项正确,D选项错误； 当时, 有两个根,且此时 ,故B选项正确. 故选：ABC． 8.函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图象． 【详解】依题意可得， 又，则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合． 故选：B． 9.当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，是减函数，排除CD， ，，是增函数，又排除B， 故选：A． 10.已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确； 当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误． 故选：C 11.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根， 由可得两根为a，b， 观察的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间与上， 又∵，∴，， 由可知， 当时，为增函数， 又由得的图象与y轴的交点在x轴上方， 分析选项可得C符合这两点． 故选：C． 12.函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 13.函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用 【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值排除即可. 【详解】定义域为，且，则原函数为奇函数.排除B. 再取特殊值，且为正数.排除D. 当时，，越大函数值越接近1，排除C. 故选：A. 14.函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、具体函数的定义域 【分析】由奇偶性及函数值即可判断. 【详解】由知：， ，偶函数，AC错， ，B错， 故选：D 15.函数 且的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、指数函数图像应用 【分析】结合指数函数的图象性质，分，分别研究单调性和渐近线，进而得到答案. 【详解】当时，， 显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故A，B不符合； 对于C，D，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合； 当时，， 当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故B符合，A，C，D不符合； 故选：BC. 16.函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． （2）指数型函数的图象变换 1.要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【详解】因为， 所以，只需将函数向左平移1个单位，即可得到函数的图象. 故选：A. 2.已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，在单调递减，在单调递增， 故可得在时，取得最大值. 故，， 又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换，再向左平移1个单位得到. 故满足的函数图象是选项. 故选： 3.作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【知识点】指数函数图像应用 【分析】根据图象变换的知识，由的图象进行图象变换，从而画出函数的图象. 【详解】设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位， 再向下平移1个单位得到， 而，其图象可由的图象保留时的图象， 然后将该部分关于y轴对称得到， 则图象如图示： 4.已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】． 【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用 【分析】依题意，作出函数的图象，要使两者有两个公共点，需使，即可求得参数范围. 【详解】 由，作出函数的图象如图． 由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即. 故实数a的取值范围为． 5.已知的图象，指出下列函数的图象是由的图象通过怎样的变换得到的. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】指数函数图像应用 【分析】直接根据函数图像的平移和对称法则得到答案. 【详解】（1）的图象是由的图象向左平移1个单位长度得到的． （2）的图象是由的图象向上平移1个单位长度得到的． （3）与的图象关于y轴对称， 作的图象关于轴的对称图形便可得到的图象． （4）为偶函数，其图象关于轴对称， 故保留当时，的图象，再作其关于轴的对称图形，即可得到的图象． 6.如图所对应的函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明A错误，利用奇偶性并综合排除法判断BCD即可得解. 【详解】对于A，当趋于0时，趋于，对比题图可知，A不符合题意； 对于B，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，B不符合题意； 对于D，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于轴对称，与题图不符，D不符合题意； 对于C，的定义域关于原点对称，且， 所以的图象关于原点对称，与题图相符，经检验，C符合题意. 故选：C. 7.函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 8.若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．  B．  C．     D．   【答案】D 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数解析式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. （3）根据指数型函数图象判断参数的范围 1.若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 2.若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 3.函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围. 【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项； 分析可知： 函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确. 故选：D 4.已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图象，根据图象先确定，再由函数确定出c的取值范围， 再由确定出，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如图， 当时，， 由图可知，，即 得，则， 由，即，得，求得， ∴， 故选：D 5.已知函数的图像如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像分析可知，根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断不等式的正误. 【详解】解：函数的图像可由函数的图像向下平移个单位长度得到，由图可知，. 对于A，，，A选项正确； 对于B，，，，B选项正确； 对于C，，，，C选项正确; 对于D，，，D选项错误； 故选：D. 6.若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】依据函数的图象的单调性，先确定出，在结合，得到，即可求解. 【详解】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以， 又由，可得，可得， 结合选项，只有C项适合. 故选：C. 7.若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论． 【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． （4）指数型函数恒过定点问题 1.函数的图象恒过的定点为 ． 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意结合指数函数定点分析求解即可. 【详解】令，解得，且， 所以函数的图象恒过的定点为. 故答案为：. 2.已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为， 从而， ，当且仅当时等号成立， 故选：C 3.已知函数（且）的图象恒过定点，点的坐标是 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定的坐标． 【详解】令，解得，此时， 点的坐标为. 故答案为：. 4.函数（其中，）的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令可得定点. 【详解】令，即，得， 函数（其中，）的图象恒过的定点是. 故选：B. 5.已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______． 【答案】 【详解】令得，此时， 所以图象过定点． 故答案为：． 6.函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_______； 【答案】27 【分析】先求出定点的坐标，然后代入幂函数中，即可求出幂函数的方程，进而可以求出. 【详解】解：因为函数（，且）的图象恒过定点， 所以由指数型函数性质得， 因为在幂函数的图象上 所以，解得， 所以，. 故答案为： 7.已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据指数函数的性质，求定点，代入直线方程，利用基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】由函数，可得，则，整理可得， 故，当且仅当，即时，等号成立， 故选：D. 8.已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是______. 【答案】 【详解】函数且的图象过定点， 则，所以， 由，得， 则 令，则， 则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 9.若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____. 【答案】 【解析】先利用指数型函数恒过定点问题求定点，得到，换元，令，利用二次函数的单调性，即可求解. 【详解】函数恒过点， 则， 区间变为， 由函数， 令， 则， 利用二次函数的单调性， 当时，， 则函数在上的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：把指数型复合函数求最值问题转化为二次函数求最值问题是解决本题的关键. 10.已知函数，且的图象恒过定点.若点在幂函数的图象上，则幂函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意先得定点，再求出幂函数表达式即可得解. 【详解】，,则设，则，解得，则， 故选：A. 11.对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案. 【详解】对于函数，令， 故的图象过定点， 由于点在角的终边上，则， 故选：B （5）指数函数图象应用 1.已知实数，满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中不可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：画出函数与的图象， 当时，的图象在的图象下方， 当时，的图象在的图象上方， 当，时，则， 当时，成立， 当，时，则， 故③，④不成立. 故选：B． 2.已知函数，若，则的取值范围是______ 【答案】 【详解】设， 由于，所以， 由，解得， 画出的图象如下图所示， 不妨设，则由， 得，， 所以的取值范围是. 故答案为： 3.若直线与函数，且的图象有两个公共点，则可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】CD 【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得． 【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示， 由已知得，； 当时，的图象如图（2）所示， 由已知可得， ，结合可得无解． 综上可知的取值范围为． 故选：． 4.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 即为函数与直线有两个交点， 函数图象如图所示： 所以， 故选：D. 5.已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（ ） A．2020 B．1010 C．1012 D．2023 【答案】A 【分析】根据条件先得出函数的周期性和对称性，然后再利用函数与函数的图像交点研究问题即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即当时， 由已知， ， ，故是周期函数，且对称轴为， 又，即， 所以函数关于对称 如图函数和函数在上的图像 在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期， 在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期， 所以函数和函数在和上都有个交点， 根据对称性可得所有交点的横坐标之和为. 故选：A. 6.已知函数，则不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】由得，作出和的图像，结合图像求得不等式的解集． 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图像如图： 两函数图像的交点坐标为， 由图可知：当或时，成立， 所以不等式的解集为：． 故答案为：． 7.已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为“与的图象有个不同的交点,且交点横坐标异号”，然后结合图象求解出的取值范围. 【详解】关于的方程有2个不同的实根直线与的图象有2个不同的交点，且交点横坐标异号； 在同一平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示， 当经过时，且此时斜率为，由此逆时针旋转直线至靠近轴都可满足要求， 由图可知，即， 故选：C. 8.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 9.已知函数，则其图象一定不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】计算出，，，判断出图象过第一，第四，第三象限，得到答案. 【详解】因为，取，得，所以在第一象限有图象， 取，得，所以在第四象限有图象， 取，得，所以在第三象限有图象． 由排除法知图象不过第二象限． 故选：B． 题型05：指数函数的单调性 （1）判断函数的单调性 1.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性性质即可求解. 【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意． B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意； C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意． D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意. 故选：D． 2.已知函数，则（    ） A．图象关于原点对称，且在上是增函数 B．图象关于原点对称，且在上是减函数 C．图象关于轴对称，且在上是增函数 D．图象关于轴对称，且在上是减函数 【答案】B 【分析】根据定义判断奇偶性，由解析式判断单调性，即可得答案. 【详解】由且定义域为R， 所以为奇函数，即关于原点对称， 又在R上递减，故在上是减函数. 故选：B 3.设函数且，那么是（    ）． A．奇函数，且在上是严格增函数 B．奇函数，且在上是严格减函数 C．偶函数，且在上是严格增函数 D．偶函数，且在上是严格减函数 【答案】A 【分析】利用对数运算整理函数解析式，根据指数函数的单调性以及函数奇偶性的定义，可得答案. 【详解】由，则，即， 因为在上单调递增，在单调递减， 所以在上单调递增； 由，则为奇函数. 故选：A. 4.函数的单调递增区间为______. 【答案】 【分析】令，求出的单调区间，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，则在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递减， 所以的单调递增区间. 故答案为： 5.函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为函数在区间上单调递减，在上单调递增， 函数在定义域内是单调递减函数， 所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为. 故选：D 6.函数的单调减区间是_______． 【答案】 【详解】令，则 ∵，∴在上单调递减 作出的图象 由图象可以在上单调递减，在上单调递增 ∴在上单调递增，在上单调递减 故答案为：. 7.函数的单调递增区间为__________. 【答案】 【详解】设，则， 对称轴为，当，即， 即，即时，为减函数， 函数为增函数， 则为减函数， 即函数单调减区间为； 当，即， 即，即时，为减函数， 函数为减函数， 则为增函数， 即函数单调增区间为. 故答案为： 8.“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 9.已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．定义域为R B．值域为 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】ABD 【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据函数的解析式可判断A；求出的值域再利用指数函数的单调性可判断B；根据复合函数的单调性可判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，所以， 故函数的值域为，故B正确； 对于CD，因为在R上是减函数， 在上是减函数，在上是增函数， 所以函数在上单调递减，C错误，D正确. 故选：ABD. 10.设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A （2）由函数的单调性求参数 1.下列各条件中，为“函数是上的减函数”的充要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵函数是上的减函数，等价于， 故“函数是上的减函数”的充要条件的是. 故选：B. 2.“”是“函数在R上为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数函数的性质可得在R上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解. 【详解】解：在R上为增函数，则，即． 故时，为增函数，充分性成立； 但为增函数，a还可以是，故必要性不成立． 故选：A． 3.已知指数函数（，且），且，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由指数函数（，且），且 根据指数函数单调性可知 所以， 故选：A 4.若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，由于函数在上是减函数， 函数为上的增函数，则函数为上的减函数， 所以，，解得. 故选：B. 5.已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数为增函数，若在区间上是增函数， 由复合函数的单调性知，必有在区间上是增函数， 又在区间上是增函数， 所以，故有. 故选：B． 6.函数 在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记， 其图象为抛物线，对称轴为，且开口向上， 因为函数在区间上是单调减函数， 所以函数在区间上是单调增函数， 而在上单调递增， 所以，解得， 故选：C． 7.若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，则可得在上递减，在上递增，然后分和两种情况求出的增区间，使为增区间的子集，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 的对称轴为， 则在上递减，在上递增， 当时，在定义域内递减，所以在上递增，在上递减， 因为在上单调递增，所以，不等式无解， 当时，在定义域内递增，所以在上递减，在上递增， 因为在上单调递增，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：C 8.若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________． 【答案】 【分析】先画出函数，再根据函数在上单调递减求解. 【详解】解：因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的， 函数图象如图所示： 由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是． 故答案为： 9.若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A．（1，3）； B．（2，3）； C．； D．； 【答案】D 【分析】直接根据分段函数减函数的定义构造不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围. 【详解】在上为严格增函数，，解得. 即实数的取值范围是. 故选：D 10.已知函数在上单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】的开口向下，对称轴是直线， 所以函数在上单调递增， 依题意可知，在上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 11.已知函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的性质判断分段函数的单调性，结合已知不等式求参数范围. 【详解】由解析式易知：在R上递增，又， 所以，则. 故选：D 12.已知，，则__________. 【答案】 【分析】化简已知条件，通过构造函数，结合函数的单调性求得的关系式，从而求得. 【详解】，， 设，在上递增， 而， 所以，则. 故答案为： 13.已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可知内层函数在上单调递减，且，结合复合函数法可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】令，因为且，则内层函数在上单调递减， 且，可得， 因为函数且在区间上单调递增， 则外层函数为减函数，所以，， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 14.若函数是上的单调函数，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数单调性即可分类求解. 【详解】①函数单调性递增， 则满足，即 ， 解得. ②若函数单调性递减， 则满足即，此时无解. 综上实数取值范围为：. 故选：D. 15.设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 16.若函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，，得到，当时，，得到，解得答案. 【详解】当时，单调递增，且； 当时，，，函数单调递增， 且，解得； 当时，，，. 函数单调递增，则，解得； 同理可得：当时，，，函数单调递增， 且，解得； 综上所述：. 故选：B. （3）比较大小 1．a＝41.7，b＝80.48，c＝（）﹣0.5，则a、b、c的大小关系是（　　） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 【答案】C． 【解答】解：∵a＝41.7＝23.4， b＝80.48＝21.44， c＝（）﹣0.5＝20.5， 则a、b、c的大小关系为a＞b＞c． 故选：C． 2．已知a＝log1.60.6，b＝0.60.6，c＝1.60.6，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【答案】C． 【解答】解：∵a＝log1.60.6＜log1.61＝0， 0＜b＝0.60.6＜0.60＝1， c＝1.60.6＞1.60＝1． ∴c＞b＞a． 故选：C． 3．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（　　） A．xa＞yb B．xa＜yb C．ax＜by D．ax＞by 【答案】C． 【解答】解：y＝ax（0＜a＜1）在R递减， ∵x＞y＞1，0＜a＜b＜1， 故ax＜ay＜by， 故选：C． 4．已知三个实数a，b＝aa，c，其中0.9＜a＜1，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【答案】A． 【解答】解：∵0.9＜a＜1； ∴a1＜aa，即a＜b； ∴，即c＜b； ∵a0＞aa； ∴，即，a＜c； ∴a＜c＜b． 故选：A． 5.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， 因为指数函数单调递减，所以, 所以，所以. 故选:D. 6.已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为函数为减函数， 所以， 又因为， 所以. 故选：A. 7.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解. 【详解】，又因为通过计算知，所以，即， 又，所以，所以. 故选：B 8.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案． 【详解】由，，， 则，， 又，， 则，即， 所以． 故选：D． 9.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得，，结合结构特征，先构造函数，利用导数分析单调性，比较出；结合，，进而求解. 【详解】因为，， 即，， 先证明， 设， 则， 令，则；令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，即， 所以， 即，即. 而， 所以. 故选：D. 10.已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小. 【详解】由，， 所以函数为偶函数， 又当时，， 所以函数在上单调递增， 因为，且 又，，，， 则， 又，则， 所以， 所以， 所以， 即， 故选：C. 11.设函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断出函数的单调性，再判断出，，的大小关系，进而求得结论． 【详解】解函数， 当时，由和在定义域上单调递减， 所以在上单调递减， 当时，单调递减， 又因为， 函数在上单调递减， ，，， . 故选：D． 12.下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】利用指数函数和幂函数单调性来比较各选项中数的大小. 【详解】对于A选项，对于指数函数，因为，指数函数单调递减. 又因为，，即. 所以，A选项正确. 对于B选项,对于，是单调递减函数，. 在单调递增，,所以，B选项错误. 对于C选项,，. 是单调递增函数，.所以，C选项正确. 对于D选项,，. 是单调递增函数，，则，其倒数关系为. 所以，D选项错误. 故选：AC. 13.已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性，即可判断. 【详解】，，， 单调递减，， 所以，即. 故选：D 14.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数的单调性结合中间量法求解即可. 【详解】因为函数是增函数， 所以，即， 又， 所以. 故选：D. 15.已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可判断，根据，即可求解. 【详解】由于，， 故， 又，故， 故选：B 16.设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 17.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性判断大小，利用对数函数单调性判断的符号，然后可得. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C （4）解不等式 1.已知集合或，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】解法一：根据题意求集合M，进而根据交集运算求解；解法二：取特值检验排除. 【详解】解法一：由题可得或或， 所以或. 故选：B. 解法二：由题可得，所以，故排除A、D； 又且，所以，故排除C. 故选：B. 2.不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】结合指数函数的单调性、一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【详解】，， 由于在上递减，所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 3.若，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是减函数，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：D. 4.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为恒成立，利用判别式，从而求得实数的取值范围. 详解：不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B. 5.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知的取值范围. 【详解】因为，所以， ，即 ， 当时，有最小值， ， 故选：A 6.已知函数的表达式为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意分和两种情况，结合指数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为， 若，则，即，解得； 若，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 7.已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则由得，解得，即不等式的解集为． 故答案为： 8.已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答. 【详解】当时，，解得，于是得：， 当时，，解得，于是得， 所以的解集为． 故答案为： 9.已知函数为奇函数. (1)求实数的值及函数的值域； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1， (2) 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由奇偶性求参数、根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）由奇函数的性质可得，即可求出m的值；由可得，即可求解； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为R，且为奇函数， 则有，即， 经检验，符合题意，所以. 又，则，即，即， 则，所以函数的值域为. 另解：显然是R上的增函数，且， 由函数单调性的性质可得在上递增， 即也在上递增，故当时，，同时， 由增函数性质可得，故函数的值域为. （2）由，可得， 又函数为奇函数，则， 所以 ， 又是R上的单调增函数，由函数单调性的性质可得是R上的单调减函数， 即是R上的单调增函数， 由可化为，即， 所以实数的取值范围为. 10.设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点． (1)求t和a的值； (2)若，求实数k的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】(1)直接利用奇函数性质可得到的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a. (2)利用奇函数的性质可得，再由函数单调性脱去“”，转化为二次不等式恒成立求解即可. 【详解】（1）因为函数（，且）是定义域为的奇函数， 所以，所以， 所以，解得， 所以， 因为函数的定义域为关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，故满足题意， 又因为的图象过点， 所以，，且， 解得或（舍去）， 综上t和a的值分别为2，2. （2）由（1）可知函数是奇函数， 所以不等式等价于， 因为指数函数在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知在上单调递增， 所以不等式等价于， 即，不等式恒成立， 当且仅当，解得， 所以实数k的取值范围为. 11.已知函数是奇函数． (1)求的值，并判断的单调性（注：无需证明的单调性）； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，在和上都是减函数． (2)． 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）由奇函数的定义求得参数，再由单调性定义证明． （2）利用奇函数性质变形不等式，再由单调性求解． 【详解】（1）由题意恒成立，即，整理得， ∴，， ，它在和上都是减函数， 设且均不为0，， 若，则，，，所以，即， ∴在上是减函数， 同理若，则，，，所以，即， ∴在上是减函数． （2），时，，时，， ，是奇函数，则， ，若，则，不合题意， ∴且，解得． 12.已知是定义在上的奇函数 (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析； (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、下结论即可； （2）根据奇函数和单调性原不等式等价于，即可求解. 【详解】（1）解：因为，在上单调递增， 所以在上单调递减，证明如下： 证明： ． 设，则， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上是减函数； （2）解：因为函数是奇函数， 所以成立，等价于成立， 因为在上是减函数， 所以，，即，解得：， 所以实数的取值范围为． 13.已知函数 （1）画出函数的图象； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示： （2）， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 14.设函数则满足的x的取值范围是____________. 【答案】 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 题型06：零点问题 1．已知实数，满足等式，下列五个关系式： ①；②；③；④；⑤． 其中不可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：画出函数与的图象， 当时，的图象在的图象下方， 当时，的图象在的图象上方， 当，时，则， 当时，成立， 当，时，则， 故③，④不成立. 故选：B． 2．（多选）已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 【答案】BC 【详解】解：已知函数（，且），则 对于A，，函数恒过定点，故A错误； 对于B，，则，所以，函数的值域为，故B正确； 对于C，任取，则，当时，函数单调递增，则，当，则恒成立，所以；当时，函数单调递减，则，当，则恒成立，所以，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，故C正确； 对于D，的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示： 当时不合题意；时，需要，即，故D错误； 故选：BC. 题型07：指数函数奇偶性 （1）奇偶性的判断 1.函数的图象（ ） A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 【答案】D． 2.函数y＝2x－2－x是(　　) A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 【答案】A 【解析】 f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y＝－2－x，y＝2x均是在R上的增函数，故y＝2x－2－x在R上为增函数． 2.设，那么是 A． 奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B． 偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C． 奇函数且在（0，＋∞）上是减函数 D． 偶函数且在（0，＋∞）上是减函数 【答案】D 【解析】满足，所以是偶函数；当时，，为减函数. 故选D. 3．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数). 【答案】偶函数. 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可 【详解】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令（），则∵∴ g(x)为奇函数， ∵为奇函数，∴，∴ ∴ 为偶函数. 4．已知函数. (1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性. 【答案】(1)(2)奇函数 【分析】（1）由分母不为零即可求解；（2）由奇偶性的定义判断即可 (1)由，得，即，因此函数的定义域为. (2)由（1）知，函数的定义域为，关于坐标原点对称，又，所以为奇函数. 5．已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并给出证明． 【答案】(1)奇函数，证明见解析.(2)在R上单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；（2）利用单调性的定义进行证明. (1)的定义域为R.因为，所以为奇函数. (2)在R上单调递增，下面进行证明：. 任取，则 .因为在R上单调递增，且，所以，所以， 即.所以在R上单调递增. 6．已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)求的值域． 【答案】(1)；(2)是奇函数，证明见解析；(3). 【分析】（1）由的解析式，由进行求解，即可得出的定义域； （2）利用定义法判断和证明的奇偶性； （3）分类讨论当和时，求出范围，综合即可得出的值域. (1)解：已知，由，可得，∴函数的定义域为. (2)解：是奇函数，证明如下：，， ∴是奇函数. (3)解：当时，，则；当时，，，∴的值域为. （2）已知函数奇偶性求值 1.已知函数，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】设，则可得是奇函数，利用可得可得答案. 【详解】，设，则，即是奇函数， 故，即，即， 因为，所以. 故选：B. 2.已知函数的最大值为M，最小值为m，则等于（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先构造并证明其是奇函数，得到，即得到，即得结果. 【详解】依题意， 故令，所以， 所以函数为奇函数，所以，故， 所以. 故选：C. （3）由函数的奇偶性求解析式 1.函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】解：由题意得： 当时，， 函数是R上的奇函数，故 故选：C 2.已知函数，，是奇函数，且当时，，则时，________． 【答案】 【分析】由奇函数性质得，再根据奇函数求解析式即可. 【详解】解：因为为上的奇函数，当时，， 所以，解得． 所以当时，． 当时，． 所以． 所以． 所以，时， 故答案为： 3.若定义在 R 上的偶函数和奇函数满足，求. 【答案】 【分析】将代入，结合奇偶性化简再解方程组即可 【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以，，因为①，所以，所以②，由①②式消去，得. （4）已知函数的奇偶性求参数 1.已知函数为偶函数，则函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】函数（）是偶函数， ， ，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：． 2.已知函数为奇函数，则实数a＝__，函数f（x）在[1，3]上的值域为__． 【答案】 【分析】由是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f（﹣x）＝﹣f（x），代入可求出实数a；再判断数f（x）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f（x）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x）， 即aa， 即aa， 则2a1， 则a， 则f（x）在[1，3]为减函数， 则f（3）≤f（x）≤f（1）， 即f（x）， 即函数的值域为[，]， 故答案为：；[，] 3.若函数为偶函数，则__________. 【答案】2 【分析】由偶函数的概念列方程即可求得. 【详解】∵函数为偶函数 ∴ 即 又∵∴ 故答案为： 4.已知函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．-2 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据偶函数定义计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，所以， ， ， 所以，即得 可得，成立， 所以. 故选：A. 5.已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________. 【答案】/1.5 【解析】依题意函数是一个奇函数， 又，所以， 所以定义域为， 因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得. 又，所以， 所以，即， 所以，所以. 故答案为：. 6.（1）设函数(R)是偶函数，则实数a=______． 【解析】 －1设，∵为奇函数，由题意也为奇函数．所以，解得． （2）.设，，若为奇函数，则_____． 【答案】． （3）.设，试确定的值，使为奇函数. 【答案】 （5）函数的奇偶性与单调性的综合 1.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________. 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，根据偶函数的性质及单调性原不等式等价于，解得即可. 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且当时，， 即在上单调递增，所以在上单调递减， 则不等式等价于，即，解得， 即. 故答案为： 2.已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解， 【详解】由函数与均在上单调递增， 故在上单调递增， 而为上的奇函数，故在上单调递增， 等价于，得， 故答案为： 3.已知函数，则不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 当时，为增函数， 因为，则， 所以，，所以，，所以，， 因为，故恒成立， 由可得，解得. 因此，原不等式的解集为. 故答案为：. 4.设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性解不等式即可. 【详解】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，所以，解得，故的取值范围是． 故答案为： 5.设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得函数在定义域上奇函数，进而可得在上是减函数，根据题意结合单调性解不等式即可. 【详解】∵，即， 故函数在定义域上奇函数， 若在上是减函数，则在上是减函数， ∵，且， 若，则，解得， 故不等式的解集为. 故选：A. 题型08：指数函与数分段函数单调性求参 1.（多选）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】由已知结合指数函数，一次函数及分段函数单调性要求建立关于的不等式组，解不等式可求. 【详解】解：因为是上的增函数， 所以，解得.故选：CD. 2.若函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C【解析】要使得函数在实数域上是增函数，必须满足，解得：因此，选C 3.设函数的最小值为2,则实数a的取值范围是　　　　　　. 【答案】[3,+∞)【解析】当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>a-1,由题意知,a-1≥2,∴a≥3. 4.已知函数是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性求解. 【详解】解：∵是定义域R上的增函数，∴，即，解得：， ∴实数a的取值范围为．故答案为：． 题型09：与指数函数有关的恒成立与存在性有解问题 1.不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题设知对任意恒成立，结合指数函数的值域求参数的范围即可. 【详解】由题设，对任意恒成立，而， 所以.故答案为： 2.设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：由，得，即，   ，，则， ，则，即．故答案为： 3.已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】对任意恒成立，利用参变分离，可等价为对任意恒成立，即，然后利用复合函数值域的求法，求出的最小值，从而求出的取值范围. 【详解】依题意，对任意恒成立，可等价为 对任意恒成立，即， 令，，， ，解得，实数的取值范围为.故答案为：. 4.已知函数是定义在上的奇函数． (1)求a的值； (2)求函数的值域； (3)当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用函数是奇函数求解即可． （2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可． （3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可． （1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 当时，，此时，所以时，是奇函数. 所以； （2）由（1）可得，因为，可得，所以， 所以，所以，所以函数的值域为； （3）由可得，即，可得对于恒成立，令，则，函数在区间单调递增，所以，所以，所以实数m的取值范围为． 5. 若存在正数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为在上能成立，根据右侧的单调性求值域，进而求参数范围. 【详解】由题意知成立，即成立．令，显然在上单调递增，所以，，所以实数a的取值范围是．故选：C 6.函数，，对，都成立，则的取值范围（用区间表示）是_______ 【答案】 【分析】分析可得在上递增，再将原问题转换为分析即可 【详解】二次函数在区间上递增，反比例函数在上增函数，指数函数在上递增，综上函数在上递增，又原问题等价于：，所以，因为函数在上递增，所以，故，所以． 所以，的取值范围是．故答案为： 7.已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)当取何值时，方程在上有实数解. 【答案】(1)(2)在上为减函数，证明见解析(3) 【分析】（1）结合函数的奇偶性求得正确答案.（2）结合函数单调性的定义进行证明. （3）求得在区间上的值域，从而求得正确答案. （1）依题意，是定义在实数集上的奇函数，所以，当，，所以. （2）当时，，在上为减函数，证明如下：任取， .由于，所以，所以在上为减函数. （3）由（2）可知在上为减函数，所以，即，由于在上有实数解，所以. 8.已知且，函数， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若对于任意，任意，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)函数的递增区间为，递减区间为，(2)(3) 【分析】（1）先判断函数的奇偶性，然后根据复合函数单调性之间的关系，即可求的单调区间和值域 （2）若对于任意，总存在，使得成立，即等价于且，然后可得取值范围. （3）若对于任意，任意，都有恒成立，等价为，然后可得取值范围. (1)则，为偶函数 设，则函数等价为若，当时，单调递增，且，此时函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知此时单调递增． 若，当时，单调递减，且，此时函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知此时单调递增．综上当时，函数单调递增 函数是偶函数，当时，函数单调递减．故函数的递增区间为，递减区间为． 函数的值域为]． (2)且，的对称轴为， 函数在时，函数单调递减．，． 即，若对于任意，总存在，使得成立，即且，则，即，此时， 且，，即的取值范围是； (3)若对于任意，任意，都有恒成立 即则，，解得且即的取值范围 9.已知． (1)若时，，求实数k的取值范围； (2)设若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围． 【答案】(1)；(2)[，＋∞） 【分析】（1）将含参不等式，进行参变分离，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k的取值范围； （2）将原方程转换为，利用整体换元，结合二次函数的实根分布即可求解. (1)解： 即，令，记．∴，∴即k的取值范围是． (2)解：由得， 即，且， 令，则方程化为． 又方程有三个不同的实数解，由的图象可知， 有两个根，且或． 记，则 或，解得或综上所述，k的取值范围是[，＋∞）． 题型10：指数函数的综合问题 1.若，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答. 【详解】依题意，，，则， 当且仅当，即时取“=”，此时，， 所以，当时，取最小值. 故答案为： 2.已知函数（且）图像恒过的定点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求定点,再由点在线上得出和为定值,应用常值代换求出最值转化恒成立问题,最后解出一元二次不等式即可. 【详解】因为函数（且）图像恒过的定点, 又因为定点在直线上,所以, ,所以最小值为 因为关于的不等式恒成立,所以 所以,即得,,解得 故选: . 3.关于“函数的最大、最小值与数列的最大、最小项”，下列说法正确的是（    ） A．函数无最大、最小值，数列有最大、最小项 B．函数无最大、最小值，数列无最大、最小项 C．函数有最大、最小值，数列有最大、最小项 D．函数有最大、最小值，数列无最大、最小项 【答案】A 【分析】依题意可得，根据反比例函数及指数函数的性质分析函数的单调性与值域，即可得到数列的单调性，即可判断. 【详解】解：函数， 令，由，解得，所以函数的定义域为， 因为且，所以， 则，则，所以函数无最大、最小值； 又在，上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在，上单调递减，且当时， 因为 对于数列， 则，，且时， 所以数列有最小项，有最大项. 故选：A 4.已知定义在上的奇函数，偶函数，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性； (3)已知对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)为奇函数，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇偶性定义研究式子恒成立即可求得的值； （2）利用奇偶性定义判断，利用单调性定义证明即可； （3）可将不等式转化为，再应用函数的单调性转化成，再分类讨论解出的取值范围即可. 【详解】（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数， 所以，即， 所以恒成立，所以； 所以，即， 所以恒成立，所以 （2）因为， 则的定义域为， 因为，所以为奇函数； 因为， 于是任取，且， 则 ， ， 所以为上增函数； （3）解：因为， 所以即， 又因为为上增函数，所以对任意恒成立， 当时，解集不为，所以； 当时，只需，可得到. 综上实数的取值范围是 5.已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数函数解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【详解】（1）设（，且），由，得， 所以. （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3）由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 6.已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明：在上为减函数； (3)若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）定义域为的奇函数满足，据此求解即可； （2）根据定义证明单调性即可； （3）根据奇函数性质转化成，再结合函数单调性求解. 【详解】（1）因为为上的奇函数， 所以，得. 又，得. 经检验，符合题意. （2）任取，且， 则. 因为，根据指数函数单调性，所以. 又因为， 所以，所以为上的减函数. （3）因为，不等式恒成立， 所以. 因为为奇函数，所以. 因为为上的减函数， 所以，即恒成立， 而，取得等号. 所以. 7.已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并用定义法证明； (3)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据函数的奇函数的性质与定义求参数即可得结论； （2）利用单调性的定义，取值，作差，变形，定号，从而可证得函数单调性； （3）根据函数的奇偶性与单调性得不等式为，再利用不等式的恒成立、能成立求解最值即可得结论. 【详解】（1）∵为上的奇函数． ∴，∴，∴ 检验：此时为奇函数，满足条件； （2）为上的增函数， 证明：，且， ， ∵，∴，∴， ∴，即，∴为上的增函数． （3）∵，∴， ∵在上的奇函数，∴， ∵为上的增函数，∴， ∵对恒成立，∴， ∵在上单调递增，∴， ，使不等式成立，∴， ∵在上单增，在上单减， ∴，∴，∴， 另解：，使不等式成立， ∴， ∵，∴在上单减，在上单增 ∴ ∴即  ∴对恒成立 ∴， ∵在上单增，∴， ∴，∴． 8．若与在区间[1，2]上都是减函数，则的取值范围是(　　) A． B． C．[0，1] D．(0，1] 【答案】D 【详解】f（x）=﹣x2+2ax在区间[1，2]上是减函数，故对称轴x=a≤1； g（x）=（a+1）1﹣x在区间[1，2]上是减函数，只需a+1＞1，即a＞0，综上可得0＜a≤1． 故选D． 9．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可知函数为增函数， 所以需满足， 的取值范围是. 故选：C 10．已知,设函数()的最大值为M , 最小值为N ,那么= A．2025 B．2022 C．2020 D．2019 【答案】B 【详解】由题可知， ， 在为增函数， 故选B 11．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】画出函数的图象如图所示． 不妨令，则，则． 结合图象可得，故． ∴． 故选：B． 12．（多选）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．存在实数a，b使得函数为奇函数 B．若函数的图象经过原点，且无限接近直线，则 C．若函数在区间上单调递减，则 D．当时，若对，函数恒成立时b的取值范围为 【答案】ABC 【详解】A.当时，，此时为奇函数，故选项A正确； B.为偶函数，在区间上为减函数，图象过点，且以x轴为渐近线. 若函数的图象经过原点，且渐近线为时，，，选项B正确; C.因为偶函数，在区间上为减函数， 故若函数在区间上单调递减，则，选项C正确： D.当时，,，若恒成立，得，即，而，此时，， 当时，，得，若恒成立，得， 当时，，得， 若恒成立，得，即，而，因此得， 选项D不正确， 故选:ABC. 13．已知函数在区间上有最大值和最小值. (1)求，的值； (2)若不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)解：令，则原函数可转化为， 因为且对称轴， 所以在上单调递增， 由已知可得，解得； (2)解：由（1）知，. 令，由，得，则在上有解， 即在上有解. 令，，则， ，， 即实数k的取值范围为. 14．已知函数． （1）是否存在实数使得为奇函数？若存在，求出实数，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）若为奇函数，则， 即，解得， ， 故存在，使得为奇函数 （2）（），， 则在上为增函数， ∵为奇函数，， 即， 又在上为增函数，∴， 则恒成立， 令，则， 令， ，∴ 15．已知函数是定义域为的奇函数. （1）求实数的值； （2）若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若且在上的最小值为，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以， 所以，所以， （2）由（1）知：， 因为，所以，又且，所以， 所以是上的单调递增，又是定义域为的奇函数， 所以 即在上恒成立， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）因为，所以，解得或(舍去)， 所以， 令，则， 因为在上为增函数，且，所以， 因为在上的最小值为， 所以在上的最小值为， 因为的对称轴为 所以当时，，解得或(舍去)， 当时，，解得， 综上可知：. 题型11：指数函数的实际应用 1.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A．51.2% B．48.8% C．52% D．48% 【答案】B 【详解】依题意有， 可得， 当时， 因此，前6个小时消除了污染物的48.8%. 故选∶B． 2.生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论： ①该生物种群的数量不超过40000只； ②该生物种群数量的增长速度逐年减小； ③该生物种群数量的年增长量不超过10000只． 其中所有正确说法的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可知，求出，然后得，化成带分式便可求出的取值范围判断①，对求导，根据单调性便可求出增长速度，可判断②③. 【详解】解：由题意得： ，即，解得，故．因为，故①正确； 因为，可知当时，单调递增，当时，单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故②错误； 当时，，故③正确. 故选C． 3.已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，化简后利用换元法解此不等式可求得结果 【详解】由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式， 可得10小时后的电量为，则由题意可得 ， 化简得， 即 令，则， 由题意得，则， 令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等， 由函数和的图象可知， 该不等式的解集为， 所以，得， 故选：C 4.日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为，其中的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中为就餐人数（本窗口），为餐品新鲜度，则当，时，近似等于（    ）（已知） A．470 B．471 C．423 D．432 【答案】A 【分析】根据题目将数据代入公式，结合指数函数单调性求解即可. 【详解】当，时，， 因为，且单调递减， 所以， 所以当时， 故选：A 5.某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在储藏温度为时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为时的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定条件列出方程组，求得相关量，再将代入计算即得. 【详解】依题意，，解得， 所以当时，. 故选：B. 6.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（    ） A．5.94万元 B．1.18万元 C．6.18万元 D．0.94万元 【答案】D 【详解】由题意可得，则， 即存期，本利和为， 则存期，则利息为万元. 故选：D 7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 8.已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）近似满足函数关系（a，b为常数，e为自然对数底数），若该果蔬在7℃的保鲜时间为216小时，在28℃的有效保鲜时间为8小时，那么在14℃时，该果蔬的有效保鲜时间大约为 小时. 【答案】72 【分析】根据题意列出方程组，求出，确定函数解析式，再代入求值即可. 【详解】由题意得：，①÷②得：，故， 则，，故 故当时，. 故答案为：72 9.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数.若将62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，可测得1min以后物体的温度是52℃，由此可求出的值约为0.24.现将55℃的物体，放在15°C的空气中冷却，则开始冷却 分钟（精确0.01）后物体的温度是35℃.（参考数据：） 【答案】2.89 【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果. 【详解】由题意可知，，， 代入方程得即， 两边取对数得， 由参考数据可知， 所以，故答案为：2.89 题型12：指数函数中新定义问题 1.对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” (1)已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； (2)若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 【答案】(1)不是伪奇函数；不是伪偶函数，理由见解析 (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次方程根的分布问题、函数新定义、等式的性质与方程的解 【分析】（1）求出即可判断是否为“伪奇函数”；求解方程即可判断是否为“伪偶函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，然后利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围；同时根据是“伪偶函数”求出范围，进而可得到答案； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可． 【详解】（1）因为，其定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得， 所以不是“伪奇函数”． 若，则， 则，且，解得， 故在函数定义域内不存在非零实数满足， 所以不是“伪偶函数”． （2）因是幂函数， 则，所以，， 所以，， 因为在上是“伪奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，则，且， 令，且， ， 当且时，，则， 当且时，，则， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即，故， 因为是“伪偶函数”， 所以存在非零实数解， 即存在非零实数解，显然， 综上，实数的取值范围为． （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， ∵，当且仅当，即时取等号， 又，∴， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即， 故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为． 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“伪奇函数”“伪偶函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 2.对于定义在区间上的函数f(x)，若. (1)已知试写出、的表达式; (2)设且函数如果与恰好为同一函数，求a的取值范围； (3)若存在最小正整数k，使得 对任意的成立，则称函数为上的"k阶收缩函数"，已知，函数是上的“3阶收缩函数”，求b的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】函数新定义、判断指数函数的单调性 【分析】（1）根据函数、在上的单调性可得出、的表达式； （2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解； （3）根据题意，结合在上的单调性和值域，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 则， 因为函数在上单调递增，则. （2）若与恰好为同一函数，只需要在上是单调递增， 当时，令，则， 由，则，对称轴， 根据复合函数的单调性，函数显然在为单调递减，故成立． 当时，令，由，则，只需， 化简得，解得， 综上所述，a的取值范围为. （3）当时，函数在上单调递减， 则，， 由题意，对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立，符合题意. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 由题意，当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意. 综上所述，b的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解. 3.对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数c，使得对任意，都有，且对任意，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“卷函数”. (1)判断函数是否为上的“卷函数”？并说明理由： (2)设是（1）中的“卷函数”，若不等式对恒成立，求实数x的取值范围； (3)若函数是区间上的“卷函数”，求的值. 【答案】(1)函数为上的“卷函数”，理由见解析 (2) (3)4 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）写出函数的分段函数形式，再结合新定义判断即可； （2）令，结合二次函数的性质及题意可得不等式恒成立，进而结合函数的值域可得，进而求解即可； （3）根据题意可得存在区间和常数，使得恒成立，即，列出方程组即可求得m、c、n的值，代入函数验证是否满足题意即可确定m、n的值，进而求解. 【详解】（1）函数为上的“卷函数”，理由如下： 对于函数， 当时，，且当或时，恒成立， 所以函数为上的“卷函数”. （2）由于，当且仅当，即时等号成立， 令，则， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以当时，， 由题意，不等式对恒成立， 即不等式恒成立， 由（1）知，当时，，且当或时，恒成立， 则，解得， 即实数x的取值范围为. （3）因为函数是区间上的“卷函数”， 则存在区间和常数，使得恒成立. 所以恒成立，即， 解得或， 当时，， 当时，，当时，恒成立. 此时，是区间上的“卷函数”. 当时，. 当时，，当时，， 此时，不是区间上的“卷函数”. 综上所述，，， 所以. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 巩固练习 一、单选题 1．设a为实数，若关于x的方程有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 令（），则（）， 要想方程有实数解只需与有交点即可； 设，当时，单调递增，所以， 即时，解得：， 故a的取值范围是为：. 故选：C. 2．函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：函数的定义域为，且， 所以为偶函数，函数图象关于轴对称， 且当时，函数在上单调递减，故符合题意的为A. 故选：A 3．已知是定义在上的奇函数，当时，（m为常数），则（    ） A．56 B． C．54 D． 【答案】D 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 得 当时，，得 故选：D. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，，， 又因为在R上是增函数，所以， 所以. 故选：B. 5．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，得， ，即. 故选：B 6．函数，若解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令 则 若解集为 则对恒成立 所以 或 解得或 综上：实数的取值范围是 故选：B 7．已知函数 （，且），若对于任意恒成立，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，开口向上，对称轴为， 所以当时，，所以， ，要使对于任意恒成立， 则需在递减，所以，则在上递减. 由于在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故选：D 8．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以是周期为4的函数， 所以， 因为是奇函数，所以 故选：D 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．若函数满足，则函数的图象关于点对称 C．当时，函数的最小值为 D．函数的单调增区间为 【答案】BD 【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A错误； 对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确； 对C：因为，故 ， 当且仅当时取得等号，故C错误； 对D：要使有意义，则，解得， 则的定义域为， 由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，又在上单调递减， 故在单调递减，在单调递增，故D正确. 故选：BD. 10．设为正实数，且，已知函数，使得函数在R上单调递减成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数在R上单调递减， 所以，解得， 对于A，因为当成立，不一定成立，所以不是在R上单调递减成立的充分不必要条件，所以A错误， 对于B，因为当成立，一定成立，所以是在R上单调递减成立的充分不必要条件，所以B正确， 对于C，因为当成立，一定成立，所以是在R上单调递减成立的充分不必要条件，所以C正确， 对于D，是在R上单调递减成立的充分必要条件，所以D错误， 故选：BC. 11．已知函数（为自然对数的底数），则（    ） A．为奇函数 B．方程的实数解为 C．的图象关于轴对称 D．，，且，都有 【答案】ABD 【详解】对于A，由题知，其定义域为，因为，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，由，得，解得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，所以图象关于原点对称，故C错误； 对于D，， 因为函数为上的增函数， 所以为上的增函数， 所以，，且，都有，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．下列说法正确的是__________（填序号） ①任取，均有；                     ②当且时，均有； ③是R上的增函数；                 ④的最小值为1； ⑤在同一坐标系中，与的图象关于y轴对称． 【答案】①④⑤ 【详解】对于①，任意，，故，①正确 对于②，若，则，②错误 对于③，，在R上单调递减，③错误 对于④，，故，④正确 对于⑤，由指数函数图象知与的图象关于y轴对称，⑤正确 故答案为：①④⑤ 13．设函数，则使得成立的的取值范围是___________ 【答案】 【详解】的定义域是， ，是偶函数， 时，设， ，，，从而， 所以，即，是增函数， 不等式化为， 所以，，解得． 故答案为： 14．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过__________分钟． 【答案】120 【详解】∵现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是， ∴，即①， 要使物体的温度变为，则，即②， 联立①②，，解得， 故还要经过分钟． 故答案为：120． 四、解答题(共0分) 15．求值： (1) (2). 【答案】(1)110； (2). 【详解】（1） （2） . 16．已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)1 (2)递减函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，则，即， 可得 ，解得； （2），故在R上是递减函数． 证明：任取、，且， ， ∵，∴，∴，即， 故是定义在R上的递减函数； （3）∵，∴， 因为是R上的奇函数，∴， ∵是R上的递减函数，∴， ∴对任意的恒成立， 设，且，即． ∵，∴，∴， （当且仅当即时等号成立）， ∴． 17．已知函数，若函数的图象过点， (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) (3) 【详解】（1）因为，即，所以，解得. （2）由（1）可得， 所以，即， 所以，解得. 故实数的取值范围 （3）当时，是减函数，值域为. ，是偶函数， 时，是增函数，值域为， 所以的值域为，在上单调递增，在上单调递减， 函数有两个零点，即与有两个交点， 所以，即. 18．设函数是定义域的奇函数． (1)求值； (2)若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的的取值范围； (3)若，且在上最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)在上单调递增； (3) 【详解】（1）是定义域为的奇函数， ，即， 解得；经检验成立 （2）因为函数（且）， 又， ，又， ， 由于单调递增，单调递减，故在上单调递增， 不等式化为． ，即恒成立， ，解得； （3）由已知，得，即，解得，或（舍去）， ， 令，是增函数， ，， 则， 若，当时，，解得,不成立； 若，当时，，解得，成立； 所以． 19.已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【答案】(1)；0； (2)作图见解析， 【分析】（1）直接代入式子计算、即可； （2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象. 【详解】（1）， ； （2）由（1）知，，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，且， 为增函数， 因为，所以， 得函数的值域为. 的图象如下图， 20.已知函数是奇函数． (1)求的定义域及实数a的值； (2)用单调性定义判定的单调性． 【答案】(1)定义域为， (2)在、上单调递减 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）借助函数单调性的定义作差判断即可得. 【详解】（1）由：，得，所以的定义域为， 因为是奇函数，则，即， 即，所以，则，所以； （2），， 则， 当时，，，，则， 即，所以在上单调递减， 当，，，，则， 即，所以在上单调递减， 故在、上单调递减. 21.已知函数是定义在R上的奇函数，其图象经过点． (1)求实数，的值并指出的单调性（不必证明）； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，在上单调递减 (2) 【分析】（1）根据R上奇函数的性质得，再由，列出方程组，求得，再利用函数的单调性定义证明函数单调性即得； （2）观察易得，代入不等式，利用奇函数性质将其化成，最后利用函数单调性化为一元二次不等式，解之即得.， 【详解】（1）是R上的奇函数，，即，又   解得. 故，易得在R上单调递减，证明如下. 任取，由， 因，则，而，则，故在R上单调递减. （2）易得：，不等式可化为， 是R上的奇函数， 又在R上单调递减，，即，解得或 故原不等式的解集为. 22.已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)设，对，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）方程组法去求解与的解析式即可解决； （2）对，使得，即为函数的值域为为函数的值域的子集，讨论解之. 【详解】（1）由题意   ①， 所以  ， 函数，分别是定义在上的偶函数与奇函数， 所以 所以   ②， 由①②解得，； （2）， 由，则 ， 所以的值域为， ，      ， 设，根据知为增函数，若，则， 则， 若，则在上单调递增， 则，即， 因为对，使得， 则，所以，解得， 所以； 若， 则，即， 则，解得，所以， 综上所述，若对，使得，则. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 23.已知函数的图象经过点． (1)求的值，判断的单调性并说明理由； (2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；是上的单调递增函数，理由见解析； (2), 【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性； （2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围． 【详解】（1）函数经过点， 所以，解得，即， ， 则是上的单调递增函数，理由如下： 任取、，且，则， 则， 所以，即， 所以是定义域上的单调递增函数． （2）因为， 故是奇函数且在上单调递增， 则不等式等价于， 所以，即， 即存在,不等式有解， 即在,上有解， 由,，可得， 由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增， 且，故在的最大值为， 所以，即 所以， 即实数的取值范围是,． 提升训练 一、单选题 1．设指数函数且，则“”是“是增函数”的 （   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、判断指数函数的单调性 【分析】根据指数函数的底数与单调性的关系直接判断即可. 【详解】由指数函数的性质可知，“是增函数”“”， 所以“”是“是增函数”的充要条件， 故选：C. 2．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用函数，和的单调性，结合条件，即可求解. 【详解】因为是减函数，所以， 因为在上单调递增，又，所以， 又是增函数，所以，则， 故选：A. 3．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可； 【详解】由题知，解得. 故选：A. 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】根据奇偶性可排除CD，根据或时，可排除B. 【详解】由于的定义域为，关于原点对称， 且为偶函数，故图象关于轴对称，排除CD, 又当或时，，可排除B, 故选：A 6．已知定义在上的奇函数是常数，存在实数使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】结合指数函数的单调性和奇偶性，以及运用参数分离和基本不等式、结合能成立思想，可得所求范围． 【详解】因为是上的奇函数，所以，所以. 因为，所以，解得， 所以， 检验，此时为上的奇函数， 因为函数为减函数， 所以函数为增函数； 因为能成立， 所以能成立， 参变分离，即能成立. 因为（当且仅当，即时取等号）， 故选：D. 7．已知函数，则满足不等式的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】分别用定义判断函数的单调性和奇偶性，然后将转换为求解即可. 【详解】函数定义域为关于原点对称， ，所以为奇函数， 在定义域为内任意选取两个自变量，且， ， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 因为，即，即， 结合单调性知，即，解得， 所以的范围是， 故选：A. 8．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、函数新定义 【分析】依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增, 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，不等式组无解； 综上所述；. 故选；C. 二、多选题 9．设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD. 【详解】，故可作出的图象如图所示，    由图可知，要使且成立，则有且， 故必有且， 又，即为，所以． 由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能， 故选：BC． 10．已知函数，则（    ） A．若是偶函数，则 B．无论取何值，都不可能是奇函数 C．在区间上单调递减 D．的最大值小于1 【答案】ABC 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求已知指数型函数的最值、由奇偶性求参数 【分析】对于A，由函数定义得，由此即可验算；对于B，由实数域上奇函数的必要条件即可判断；对于C，由指数函数、复合函数单调性即可判断；对于D，由复合型指数函数的值域和最值即可判断. 【详解】对于A项，若是偶函数，则， 所以，即可得，故A项正确； 对于B项，不过点，故B项正确； 对于C项，在上单调递减，又在上单调递增， 所以在上单调递减，故C项正确； 对于D项，，又在上单调递增， 所以的最大值为，所以最大值大于等于1，故D项错误. 故选：ABC. 三、填空题 11．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】利用图象以及的值域来求得实数的取值范围. 【详解】依题意，， ， ，当时，， 由解得或， 而，结合图象可知：. 故答案为： 12．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】函数，，则， 函数，，则， 因为对任意的，存在，使得， 所以的值域为函数的值域的子集，即， 所以，解得， 即实数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 13．已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求指数型复合函数的值域、对勾函数求最值、根据二次函数的最值或值域求参数、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值； （3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，而， 所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 14．已知定义域为的函数是奇函数，且. (1)求出a，b的值，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，函数在上单调递增，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据题意可得，进而解出a，b的值，再利用函数单调性的定义证明单调性即可； （2）根据函数的奇偶性可将不等式化为，再结合单调性及定义域求解即可. 【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，且 所以，解得， 此时，则，符合题意， 所以. 函数在上单调递增，证明如下： 由， 任取，且， 则 ， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递增. （2）由题意，函数是定义在上的奇函数， 由，即， 由（1）知，函数在上单调递增， 则，解得， 即实数m的取值范围为. 15．已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若函数，求在[1,3]的最小值； (3)若使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、判断指数函数的单调性、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）根据指数函数的性质解指数不等式即可得解集； （2）利用指数函数的性质结合基本不等式求最值即可； （3）根据指数函数与二次函数的性质，结合换元转化求函数最值即可得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，且函数在上为减函数， 所以不等式的解集为； （2） 因为，所以，则， 当且仅当，则，即时取等号，取得最小值为1． （3）因为，所以， 令，∴， 所以当时，． 因为，则只需，所以，解得或． 16．已知函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数. (1)求，的解析式； (2)根据定义证明函数在区间上单调递增； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题、函数方程组法求解析式 【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，再解关于，的方程组即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）参变分离可得对任意的恒成立，结合对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）因为是奇函数，是偶函数， 所以，， 因为，则，即， 解得，； （2）由（1）知，设且， 则 ， 因为且，所以，，即，， 所以，即，即， 所以在区间上单调递增； （3）因为不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立， 由（2）可得当时， 所以对任意的恒成立， 令，则，又对勾函数在上单调递增，在上单调递减， ，，所以， 所以，当且仅当， 即时取等号， 所以，即实数的取值范围为. 17．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若为区间上的“9阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是，证明见解析； (2)． (3) 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由解聘 ，再由判断是否不一定有即得； （2）由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得； （3）方法一：由，求得，然后由确定的范围，再利用这个范围是的子集求得的范围；方法二：令，求出，等价转化得在上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的，最后对进行分类讨论即可. 【详解】（1）是区间上的“2阶自伴函数” 对任意的，， 则，首先中唯一的， 其次时，，，因此，不一定有， 例如取，由解得， 所以不是区间上的“2阶自伴函数”； （2）由已知，对任意，，， ，所以且， 即，解得． （3）方法一：由题意，， ， ，则，所以， 设，则， 于是，， ，， 所以对，恒成立，或恒成立， 恒成立，则，解得， 恒成立，则，解得， 综上，的取值范围是． 方法二：， 令，则，则， 所以. 因为是在区间上的"2阶伴随函数"， 所以对任意的，总存在唯一的，使得成立， 所以， 即在上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的； 又因为开口向上，对称轴为. ①当，即时，在$[0，1]$上单调递增，则必有，解得； ②当，即时，在$[0，1]$上单调递减，则必有，解得； ③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解； ④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，如图，由唯一性， 则必有，此时无解. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新意识，解题关键是理解新定义并能应用转化，对为区间上的“阶自伴函数”，求参数范围问题，只要解方程，用表示（注意唯一解），然后由求得的范围，再利用此范围是的子集可求得参数（或范围）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$