第04讲 指数与指数函数 （高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第04讲 指数与指数函数 目录 考情探究 2 知识梳理 2 探究核心考点 4 考点一 指数与指数幂的运算 4 考点二 指数函数的图象及其应用 5 考点三 指数（型）函数的单调性 6 考点四 指数（型）函数的值域与最值 6 考点五 指数值的大小比较 7 三阶突破训练 8 基础过关 8 能力提升 9 真题感知 10 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第6题,5分 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性 根据分段函数的单调性求参数 2023年新I卷，第4题,5分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性 2022年新I卷，第7题,5分 比较指数幂的大小 用导数判断或证明已知函数的单调性 比较对数式的大小 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点 4.能结合指数函数比较指数式大小 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 知识点4 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 考点一 指数与指数幂的运算 典例1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 典例2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 跟踪训练1．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 跟踪训练2．若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 考点二 指数函数的图象及其应用 典例1．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 典例2．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 典例3．设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 跟踪训练2．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 跟踪训练3．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 考点三 指数（型）函数的单调性 典例1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例2．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 典例3．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四 指数（型）函数的值域与最值 典例1．若函数有最大值3，则 . 典例2．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 跟踪训练1．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 跟踪训练2．设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点五 指数值的大小比较 典例1．（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 典例2．记，，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，化简得（    ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西新余·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 7．函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 8．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 11．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 二、多选题 17．（2025·安徽安庆·模拟预测）设、是曲线上两个不同的点，则（） A． B． C． D． 18．（2025·陕西汉中·三模）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 三、填空题 19．（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 20．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 一、单选题 21．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 23．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 24．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 25．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 27．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 指数与指数函数 目录 考情探究 2 知识梳理 2 探究核心考点 4 考点一 指数与指数幂的运算 4 考点二 指数函数的图象及其应用 5 考点三 指数（型）函数的单调性 8 考点四 指数（型）函数的值域与最值 11 考点五 指数值的大小比较 12 三阶突破训练 14 基础过关 14 能力提升 18 真题感知 24 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第6题,5分 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性 根据分段函数的单调性求参数 2023年新I卷，第4题,5分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性 2022年新I卷，第7题,5分 比较指数幂的大小 用导数判断或证明已知函数的单调性 比较对数式的大小 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点 4.能结合指数函数比较指数式大小 【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考 知识点1 根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做___根式 ___，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①__负数____没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作___0___． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 知识点2 分数的指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定： （，且） 负分数指数幂 规定：（，且） 性质 0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂 无意义 知识点3 实数指数幂的运算性质 （1）= . . （2）= . . （3）= . . 知识点4 指数函数的一般形式 9．一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点5 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 0 时， 1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 知识点6 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点7 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断． 考点一 指数与指数幂的运算 典例1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 典例2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 跟踪训练1．（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 . 【答案】/0.5 【分析】由指数的运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以. 故答案为： 跟踪训练2．若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 考点二 指数函数的图象及其应用 典例1．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性得到，根据得到. 【详解】由于的图象单调递减，所以， 又，所以，即，. 故选：D． 典例2．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得. 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 典例3．设，如果，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用分段函数的形式写出的解析式，作出的图象，由数形结合可得的范围，结合，化简即可得到结果． 【详解】，其图象如图所示， 由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 要使，且成立，则有且，故必有且， 又，即为，整理得， 故选：A． 跟踪训练1．已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 跟踪训练2．函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于对称 【答案】C 【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数与，如果它们的图象关于原点对称，即在定义域内恒成立，则称与为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】令函数， 所以 即，所以函数与的图象关于原点对称， 即函数与的图象的图象关于原点对称， 故选：C. 跟踪训练3．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得且，求出a，即可求解. 【详解】因为函数图象过原点，所以， 得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交， 所以，则， 所以. 故选：C 考点三 指数（型）函数的单调性 典例1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 典例2．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断的单调性与奇偶性，依题意可得对于任意恒成立，再分，两种情况讨论，当时参变分离可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 典例3．（2025·广东广州·模拟预测）若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 跟踪训练1．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数关于对称，且在上单调递减，在单调递增，将原不等式转化为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·模拟预测）若函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数的单调性列式求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，而函数是R上的增函数， 则函数在上单调递增，于是， 所以a的取值范围为． 故选：D 考点四 指数（型）函数的值域与最值 典例1．若函数有最大值3，则 . 【答案】1 【分析】利用指数型复合函数单调性可知应有最小值，再由二次函数性质可得. 【详解】令，则， 因为有最大值3，所以应有最小值； 由此可得解得. 故答案为：1 典例2．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】根据函数图象的性质得，进而有时，结合基本不等式求最值即可. 【详解】由题设，且，则， 所以，则时，， 所以，令，则， 当且仅当时取等号，故最大值为. 故选：B 跟踪训练1．若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解． 【详解】∵函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或． 故选：A． 跟踪训练2．设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 考点五 指数值的大小比较 典例1．（2025·辽宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 典例2．记，，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对，进行转换，，．构建，求导判断函数单调性得出，从而得到，再结合指数函数的性质判断大小的关系. 【详解】已知， 所以，． 设，求导得， 由于，故为零点， 时，，在上为增函数； 时，，在上为减函数. 因为， 所以. 所以． 所以，即，得，． 由于幂函数，在均为单调递增函数， 所以，， 所以，. 故选：A． 跟踪训练1．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性即可判断. 【详解】显然，∴函数为减函数， 从而，即，即， ∴，即，从而． 故选：B． 跟踪训练2．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得,然后结合指数函数单调性和分式不等式性质可以判定的正负，进而做出判定. 【详解】∵，∴，∴， 又∵，∴，∴； 又，且， ∴，∴， ∴. 故选：C 一、单选题 1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性解不等式计算得出集合B，应用交集定义计算求解. 【详解】集合， 则. 故选：B. 2．（2025·福建厦门·三模）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先化简求解集合、，再求即可. 【详解】， ， 因为，函数单调递增， 所以，所以，即 . 所以. 故选：C 3．已知，，化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式和实数指数幂的运算法则，即得解 【详解】由题意：， 故选：B 4．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 5．（2025·江西新余·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由指数函数单调性可得，然后根据不等式性质及充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由指数函数的单调性得，由能推出， 反之，由推不出，例如，但， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】当时，，则，所以，. 故选：C． 7．函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】B 【分析】根据奇偶函数的定义即可判定奇函数，根据指数函数的单调性即可求解单调性. 【详解】的定义域为，而，则， 故是奇函数， 由于，函数单调递增，故在上单调递增， 故选：B 8．（2025·甘肃白银·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 9．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【详解】因为，所以，即， 故，即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 10．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 一、单选题 11．（2025·天津·二模）下列函数是奇函数，且在区间上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义排除AC；利用单调性排除D即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，是偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，是奇函数， 函数都是R上的增函数，因此函数在上单调递增，B是； 对于C，函数的定义域为，不是奇函数，C不是； 对于D，函数在上单调递减，在上不单调，D不是. 故选：B 12．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令，利用奇函数的定义计算可判断B，令，利用奇函数的定义计算可判断D. 【详解】因为， 对于A，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ，所以B正确； 对于C，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ， 所以不是奇函数，所以D不正确； 故选：B. 13．（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质求参数值，结合指数等相关的函数性质判断的区间单调性判断充分性；根据的单调性，结合指数等相关的函数性质求参数判断必要性，即可得. 【详解】若的奇函数，则，即恒成立， 所以，则，在上单调递增， 所以在上是减函数，充分性成立； 若在上是减函数，在上单调递增， 所以，故，此时不一定有，必要性不成立； 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A 14．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出，再利用复合函数单调性求出递增区间. 【详解】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为. 故选：D 15．（2025·重庆·二模）已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得函数 在 上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B 16．（2025·重庆·模拟预测）已知函数，若对任意的，满足，则恒有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断的区间单调性，讨论、、一正一负，结合不等式恒成立确定不等关系. 【详解】由，且的定义域为R，所以是偶函数， 当，令，则在上单调递增， 又在上单调递增，故在上单调递增， 由偶函数的对称性，在上单调递减， 当，由，则， 当，由，则， 当一正一负，不妨令，则， 显然与矛盾， 综上，. 故选：D 二、多选题 17．（2025·安徽安庆·模拟预测）设、是曲线上两个不同的点，则（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合图象，利用函数的凹凸性判断即可. 【详解】对于选项，构造点， 点恒在的上方，则，即，故A正确，B错误；    对于选项C，构造，则，点， 点恒在的上方，则， 两边取对数得，即，故C正确；    对于选项D，构造，则，点， 点恒在的上方，则， 两边取对数得，即，故D正确；    故选：ACD． 18．（2025·陕西汉中·三模）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，函数单调递增 B．存在正数，使得函数为偶函数 C．函数的图象与直线有两个交点 D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为 【答案】ABD 【分析】分、两种情况讨论，结合指数函数的单调性可判断A选项；取，结合函数奇偶性的定义可判断B选项；取，结合函数的单调性可判断C选项；利用函数单调性与导数的关系求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，为增函数， 当时，，则函数、均为增函数， 故函数也为增函数， 综上所述，当时，函数单调递增，A对； 对于B选项，取，则，此时， 所以，此时， 函数的定义域为，，即函数为偶函数， 因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对； 对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且， 此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错； 对于D选项，因为，则， 由题意可知时，函数为增函数， 当时，由题意可知，对任意的，恒成立， 只需，即， 因为，则， 因为，则，所以，即， 所以，可得，解得或， 因为，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对. 故选：ABD. 三、填空题 19．（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 【答案】5 【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出. 【详解】依题意，，整理得，则， 而，因此，又，则，而， 所以. 故答案为：5 20．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域可求得函数的值域；计算的值，可得出曲线的对称中心坐标. 【详解】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 一、单选题 21．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 22．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 23．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 24．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 25．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 26．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 二、填空题 27．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$