第9讲　二次函数与幂函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第9讲　二次函数与幂函数 知识梳理 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 　　　　　  　　　　　  单调性 单调递减区间是　　　　　　;  单调递增区间是　　　　　  单调递增区间是　　　　　　;  单调递减区间是　　　　　  对称性 函数的图象关于直线x=-对称 2.幂函数 (1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.幂函数的特征:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为1;③只有一项. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 性 质 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 　　 函数 　 函数 　 函数 　　 函数 　 函数 单调性 在R上 单调递增 在　 上单减;在 　　上 单增 在R上 单调递增 在　  上单调增 在　 和　  上单调减 考点01　二次函数的图象与性质 例1 在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是(　 ) A B C D 例2 已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2. (1)若a=2,求函数f(x)在区间(-1,2)上的取值范围; (2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值. 例3已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1处取得最大值1. ①求b·c的值; ②设0<m<n,若当m≤x≤n时,f(x)的最小值为,最大值为,求m,n的值. 考点02　幂函数的图象与性质 例4(1)已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为 (　 ) A B C D (2)如图中曲线C1,C2,C2,C4是幂函数y=xa中a取不同值时对应的(部分)图象, 已知a分别取,4,-4,-这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为 (　 ) A.4,,-,-4 B.-4,-,,4= C.-,4,-4, D.4,,-4,- 例5 (1)(多选题)若幂函数f(x)=(m+1)xα的图象经过点(4,2),则下列说法正确的是 (　 ) A.α=2 B.m=0 C.f(x)的定义域是[0,+∞) D.f(x)为偶函数 (2)(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(8,4),则下列说法正确的有(　 ) A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若0<x1<x2,则<f 例6若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 例7已知函数y=xα(α<0)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m,n>0,则+的最小值为 (　 ) A.1 B. C.2 D.4 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　 　　　　　　　　　　 1. 已知函数f(x)=-x2+ax+1在(2,6)上不单调,则a的取值范围为 (　 ) A.(2,6) B.(-∞,2]∪[6,+∞) C.(4,12) D.(-∞,4]∪[12,+∞) 2.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为 (　 ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 3.函数y=的单调递减区间是 (　 ) A. B.(-∞,1] C.[4,+∞) D. 4.若0<x<1,则x2,x,,这四个数中 (　 ) A.x最大,x2最小 B.x2最大,最小 C.x最大,最小 D.最大,x2最小 5.二次函数y=x2+(2a-1)x-3在[-1,3]上的最大值为1,则实数a的值为 (　 ) A.- B.- C.-或- D.-1或- 6.已知a∈R,则“0<a<1”是“函数f(x)=(1-a)x3在R上单调递增”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则m的值是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.(多选题)函数f(x)=ax2+4x+1(a≠0)与g(x)=xa在同一直角坐标系中的图象可能为 (　 ) A　 　　B C　　　 D 9.已知p:存在m∈[-1,1],使得函数f(x)=x2-2mx在区间[a,+∞)上单调,若p的否定为真命题,则a的取值范围是　　　　.  10.已知a,b,c为实数,函数f(x)=(3a-2)x2+(2b-18)x+3c-2(x∈R). (1)若函数f(x)为幂函数,求a,b,c的值; (2)若a≥,b>0,且函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,求ab的最大值. 11.已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 12.(多选题)已知幂函数f(x)=(-3a+1),其中a,m∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.a=-1 B.当<m<1时,f(2)>f(1) C.当m=4时,f(x)的图象关于y轴对称 D.f(x)的图象恒过定点(-1,-1) 13.函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为　　　　.  14.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)满足g(x-2)=f(x). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式; (2)若对任意x∈[-3,0),g(x)-f(x)≥ax2恒成立,求a的取值范围. 参考答案 1.C　[解析] 函数f(x)=-x2+ax+1的图象的对称轴为直线x=,依题意,2<<6,得4<a<12,所以a的取值范围为(4,12).故选C. 2.A　[解析] 因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上单调递增,所以解得m=2.故选A. 3.B　[解析] 由x2-5x+4≥0,即(x-4)(x-1)≥0,解得x≥4或x≤1,令t=x2-5x+4(x∈R),则t=x2-5x+4的图象的对称轴为直线x=,∴t=x2-5x+4在(-∞,1]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增,又y=在[0,+∞)上单调递增,∴y=在(-∞,1]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增.故选B. 4.D　[解析] 作出函数y=x2,y=x,y=,y=在(0,+∞)上的图象,如图, 当0<x<1时,由图可得x2<x<<,所以最大,x2最小.故选D. 5.D　[解析] 二次函数y=x2+(2a-1)x-3的图象开口向上,对称轴为直线x=.若≤1,即a≥-,则当x=3时,函数取得最大值1,即9+(2a-1)×3-3=1,解得a=-;若>1,即a<-,则当x=-1时,函数取得最大值1,即1+(2a-1)×(-1)-3=1,解得a=-1.综上,a=-1或a=-.故选D. 6.A　[解析] 对于函数f(x)=(1-a)x3,当a=1时,f(x)=0,为常数函数,当a>1时,1-a<0,函数f(x)=(1-a)x3在R上单调递减,当a<1时,1-a>0,函数f(x)=(1-a)x3在R上单调递增,所以“0<a<1”是“函数f(x)=(1-a)x3在R上单调递增”的充分不必要条件.故选A. 7.A　[解析] 因为幂函数y=(m∈Z)在区间(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3,因为m∈Z,所以m=0,1,2.当m=0时,函数y=x-3是奇函数,其图象不关于y轴对称,故舍去;当m=1时,函数y=x-4是偶函数,其图象关于y轴对称;当m=2时,函数y=x-3是奇函数,其图象不关于y轴对称,故舍去.所以m=1.故选A. 8.ABC　[解析] 对于A,显然不过原点的图象为二次函数f(x)的图象,该图象开口向上,则a>0,此时存在a使g(x)=xa的图象与A中图象符合,如a=2,故A正确;对于B,二次函数的图象开口向下,则a<0,此时存在a使g(x)=xa的图象与B中图象符合,如a=-1,故B正确;对于C,二次函数的图象开口向上,则a>0,此时存在a使g(x)=xa的图象与C中图象符合,如a=,故C正确;对于D,二次函数的图象开口向上,则a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,其图象与D中图象不符合,故D错误.故选ABC. 9.(-∞,-1)　[解析] p的否定为“对任意m∈[-1,1],都有函数f(x)=x2-2mx在区间[a,+∞)上不单调”,由函数f(x)=x2-2mx在(-∞,m)上单调递减,在(m,+∞)上单调递增,且p的否定为真命题,得a<m,又m∈[-1,1],所以a<-1,故a的取值范围是(-∞,-1). 10.解:(1)由函数f(x)的定义域为R,得当f(x)为幂函数时,或 解得或 (2)当a=时,f(x)=(2b-18)x+3c-2(x∈R),由题意知0<b<9,所以0<ab<6; 当a>时,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=,依题意得≥3,即9a+b≤15, 所以15≥9a+b≥6,当且仅当a=,b=时同时取等号,得0<ab≤.综上可得,ab的最大值为. 11.B　[解析] 当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2= 当2<x<a时,f(x)=-x2+ax-2a2,此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0,所以f(x)<0,不满足当x>2时,f(x)>0,故a>2不符合题意;当0<a≤2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),由f(x)>0,可得x>2a,由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,可得0<a≤1;当a=0,x>2时,f(x)=x2>0,符合题意;当a<0,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),由f(x)>0,可得x>-a,由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,可得-2≤a<0.综上,a的取值范围是[-2,1].故选B. 12.BC　[解析] 对于A,因为f(x)=(-3a+1)是幂函数,所以-3a+1=1,解得a=0,故A错误;对于B,当<m<1时,m2-3m+2=(m-1)(m-2)>0,根据幂函数的性质可知,此时f(x)是增函数,则f(2)>f(1),故B正确;对于C,当m=4时,f(x)==x6,满足f(-x)=f(x),所以f(x)的图象关于y轴对称,故C正确;对于D,根据幂函数性质可知,f(x)的图象恒过定点(1,1),故D错误.故选BC. 13.2+2　[解析] 当x≥0时,f(x)=x2-2x,当x<0时,f(x)=-2x-x2,作出y=f(x)的图象,如图所示.由图得,当x>0时,令x2-2x=1,可得x=1+;当x<0时,令-2x-x2=-1,可得x=-1-.所以f(x)在[-1-,1+]上的最大值为1,最小值为-1,即nmax=1+,mmin=-1-,所以n-m的最大值为nmax-mmin=1+-(-1-)=2+2. 14.解:(1)因为幂函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增, 所以3-m2>0,解得-<m<, 又m∈Z,所以m=0,1,-1. 当m=0时,3-m2=3,此时f(x)=x3为奇函数,不符合题意; 当m=1或m=-1时,3-m2=2,此时f(x)=x2为偶函数,符合题意. 故f(x)=x2. 由g(x-2)=f(x),可得g(x-2)=x2,令x-2=t, 所以g(t)=(t+2)2=t2+4t+4, 故g(x)=x2+4x+4. (2)因为对任意的x∈[-3,0),g(x)-f(x)≥ax2恒成立, 所以对任意的x∈[-3,0),a≤+恒成立. 又+=4-1(x∈[-3,0)),所以当x=-2时,+取得最小值-1, 故a≤-1,即a的取值范围为(-∞,-1]. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$