第10讲 周期性、对称性、类周期（含抽象函数）讲义--2026届高三数学一轮复习

周期性与对称性 一、函数的周期性（“差”没周期） 1．定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有， 则称函数是一个周期函数，称为的一个周期． 2．周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等． 3．若是一个周期函数，则，那么， 即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期． 4．最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期．然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数 5．函数周期性的判定： （1）的周期T= （2）的周期T= （3）的周期 （4）（为常数）的周期T= （5）（为常数）的周期T= （6）的周期T= 考点一 利用周期性求值 【例1】1．已知函数的定义域为R．当x＜0时，；当x＞－2时，． 则 ． 2．定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（ ） A．335 B．338 C．1678 D．2012 【训练1】1．定义在上的函数对任意，都有，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（22新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 【例2】1．已知是定义在上的偶函数，都有，当x∈[0,1]时， f(x)＝x＋1，则________． 2．已知定义在上的函数满足，且时，，则（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2 022)等于( ) A．2 012 B．2 C．2 013 D．－2 2．已知偶函数f(x)对∀x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时f(x)＝2x，则f(2 021)＝( ) A．1 B．－1 C． D．－ 3．已知是定义在上的偶函数，都有，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，，求___________． 5．函数是周期为的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为___________． 6．已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 7． 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 ． 8．已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则的值为（ ） A．0.5 B．1.5 C． D．1 考点三 单调性、奇偶性、周期性综合问题 【例3】1．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断： ①f(x)是周期函数； ②f(x)的图象关于直线x＝2对称； ③f(x)在[0,1]上是增函数； ④f(x)在[1,2]上是减函数； ⑤f(4)＝f(0)． 其中判断正确的序号是________． 【训练3】1．定义在上的奇函数满足，且在上是增函数，则有（ ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数满足以下三个条件：（1）对于任意的，都有；（2）对于任意的且，都有；（3）函数的图像关于轴对称，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) 二．函数的对称性（“和”没对称） 1．轴对称： （1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）． （2）关于轴对称． ①在已知对称轴的情况下，可构造形如的等式，的取值保证为所给对称轴即可． ②是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称．（或平移） 注意：偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即.． 要与以下的命题区分：（找准自变量是关键） 若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有． 2、中心对称： （1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数） （2）关于中心对称 （3）关于中心对称 ①在已知对称中心的情况下，可构造形如的等式，的取值保证， c的取值保证为所给对称中心即可． ②是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。 注意：奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即， 要与以下的命题区分：（找准自变量是关键） 若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有 考点四 对称性求值 【例4】1．奇函数的图象关于点对称，，则__________． 2．函数y＝(x－1)3＋1的图象的对称中心是________． 【训练4】1．函数的图像的对称中心是,则实数______． 2．设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到______． 3．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 考点五 单调性、奇偶性、对称性 【例5】1．设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象关于直线x=1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）=0，则f（x+1）＞0的解集为（ ） A．（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【训练5】1．对于任意，函数满足，且当时，，若，，，则，，之间的大小关系是______________． 2．设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（ ） A． B． C． D． 3．关于函数有下述四个结论： ①在单调递增 ②的图像关于直线对称 ③的图像关于点对称 ④的值域为R 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数f(x＋1)是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，设a＝，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 6．已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（ ） A．可正可负 B．恒大于0 C．可能为0 D．恒小于0 三、函数的周期性与对称性（奇偶性、周期性、对称性知二求一） （1）对称（奇偶）→周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设） ①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期 ②若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期 ③若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期 （2）奇偶，周期→对称： ①若是奇函数，周期为，则有关于对称； ②若是偶函数，周期为，则有关于对称 考点六 周期性与对称性 【例6】1．设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________． 2．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ） A． B．0 C．2 D．50 【训练6】1．已知定义在上的函数满足：，当时，，则______________． 2．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则 ． 4．定义在上的奇函数满足，且当时，，则 ． 5．函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，，则 ． 6．已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 ． 7．已知，方程在内有且只有一个，则在区间内根的个数为（ ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 考点七 模型类周期函数 【例7】1．定义域为的函数满足，当时，，则（ ） A． B． C． D． 2．定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是__________． 小结：将平移a个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍。 【训练7】1．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（易错）已知函数满足，且当时，．若，恰有6个解，则的取值范围 ． 3．定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 考点八 抽象函数周期性与对称性 【例8】1．函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数 【训练8】1．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ） A． B． C． D． 4．（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 5．（23新高考一）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ） A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$周期性与对称性 一、函数的周期性(“差”没周期) 1.定义:设的定义域为,若对,存在一个非零常数,有,则称函数是一个周期函数,称为的一个周期. 2.周期性的理解:可理解为间隔为的自变量函数值相等. 3.若是一个周期函数,则,那么,即也是的一个周期,进而可得:也是的一个周期. 4.最小正周期:正由第3条所说,也是的一个周期,所以在某些周期函数中,往往寻找周期中最小的正数,即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期,比如常值函数 5.函数周期性的判定: (1)的周期T= (2)的周期T= (3)的周期 (4)(为常数)的周期T= 提示:,两式相减可得: (5)(为常数)的周期T= (6)的周期T= 提示:,相加,得,则T= 考点一 利用周期性求值 【例1】1.已知函数的定义域为R.当x<0时,;当x>-2时,. 则 . 【答案】 -2 【解析】由x>-2时,,可知x>-2时,当, ∴. 2.定义在上的函数满足,当时,,当时,,则( ) A.335 B.338 C.1678 D.2012 【答案】B 【解析】∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=… =f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1 =335. 而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338. 【训练1】1.定义在上的函数对任意,都有,,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由及所求可联想到周期性, 所以考虑,所以是周期为4的周期函数, 故,故选D. 2.定义在上的函数满足,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】所给的特点为才有解析式能够求值, 而只能通过减少自变量的取值, 由所求可联想到判断是否具有周期性,时,, 则有,两式相加可得:, 则,即在时周期是6, 故,而. 3.(22新高考 T8) 若函数的定义域为R,且,则( ) A. B. C.0 D.1 【答案】A 【解析】因为,令可得,, 所以,令可得,,即,所以函数为偶函数,令得,,即有, 从而可知,,故,即,所以函数的一个周期为.因为,,,,,所以一个周期内的.由于22除以6余4, 所以.故选:A. 考点二 利用奇偶性.周期性求值 【例2】1.已知是定义在上的偶函数,都有,当x∈[0,1]时, f(x)=x+1,则_. 【答案】 【解析】由,可得,∴. 2.已知定义在上的函数满足,且时,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】可知为奇函数,可得, 所以 【训练2】1.已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),若f(-2)=2,则f(2 026)等于( ) A.2 025 B.2 C.2 026 D.-2 【答案】D 【解析】∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2026)=f(2),又f(x)为奇函数, ∴f(2)=-f(-2)=-2,即f(2026)=-2. 2.已知偶函数f(x)对∀x∈R都有f(x-2)=-f(x),且当x∈[-1,0]时f(x)=2x,则f(2 025)=( ) A.1 B.-1 C. D.- 【答案】C 【解析】由f(x-2)=-f(x)得f(x-4)=f(x),即函数的周期是4,f(2025)=f(4 506+1)=f(1)=f(-1)=2-1=. 3.已知是定义在上的偶函数,都有,若,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】所以,解得. 4.已知是定义在上的奇函数,且对任意实数,恒有,当时,,求_. 【答案】 【解析】由可得:的周期, ∴ 5.函数是周期为的偶函数,当时,,则不等式在上的解集为_. 【答案】 【解析】从已知出发可知时,为增函数,且, 所以时,,时,, 由偶函数可得:时,,时,. 从而可作出草图,由所解不等式可将分为两部分, 当时,,所以,当时,,所以, 综上解集为: 6.已知是定义在上的函数,满足,当时,,则函数的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由可得是周期为2的周期函数, 所以只需要求出一个周期内的最值即可.由可得为奇函数, 所以考虑区间,在时,,所以, 而由于为奇函数,所以在时,, 所以即为在的最小值,从而也是在上的最小值. 7.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当时,,则 . 【答案】 【解析】∵为奇函数,∴;又∵周期为2,∴, ∴,,∴. 8.已知函数是R上的偶函数,且满足,当时,,则的值为( ) A.0.5 B.1.5 C. D.1 【答案】B 【解析】由可得:,两式相减可得:, 所以的周期,再由是偶函数可得: 考点三 单调性、奇偶性、周期性综合问题 【例3】1.定义在R上的偶函数f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下列关于f(x)的判断: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的图象关于直线x=2对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(4)=f(0). 其中判断正确的序号是_. 【答案】①②⑤ 【解析】f(x+1)=-f(x) f(x+2)=f(x),故f(x)是周期函数.又f(x)=f(-x),所以f(x+2)=f(-x), 故f(x)的图象关于直线x=1对称.同理,f(x+4)=f(x)=f(-x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称. 由f(x)在[-1,0]上是增函数,得f(x)在[0,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.因此可得①②⑤正确. 【训练3】1.定义在上的奇函数满足,且在上是增函数,则有( ) A. B. C. D. 【答案】B 2.已知定义在上的函数满足以下三个条件:(1)对于任意的,都有;(2)对于任意的且,都有;(3)函数的图像关于轴对称,则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 【答案】D 【解析】∵f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴函数f(x)是以8为周期的周期函数, 则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x), 得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,∴f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11). 二.函数的对称性(“和”没对称) 1.轴对称: (1)关于轴对称(当时,恰好就是偶函数). (2)关于轴对称. ①在已知对称轴的情况下,可构造形如的等式,的取值保证为所给对称轴即可. ②是偶函数,则,进而可得到:关于轴对称.(或平移) 注意:偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在中,仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的取相反数时,函数值相等,即.. 要与以下的命题区分:(找准自变量是关键) 若是偶函数,则:是偶函数中的占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相等,所以有. 2、中心对称: (1)关于中心对称(当时,恰好就是奇函数) (2)关于中心对称 (3)关于中心对称 ①在已知对称中心的情况下,可构造形如的等式,的取值保证, c的取值保证为所给对称中心即可. ②是奇函数,则,进而可得到:关于中心对称。 注意:奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在中,仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的取相反数时,函数值相反,即, 要与以下的命题区分:(找准自变量是关键) 若是奇函数,则:是奇函数中的占据整个括号,所以是指括号内取相反数,则函数值相反,所以有 考点四 对称性求值 【例4】1.奇函数的图象关于点对称,,则_. 【答案】2 【解析】由题设有, 从而有,为周期函数且周期为,所以. 2.函数y=(x-1)3+1的图象的对称中心是_. 【答案】(1,1) 【解析】y=x3的图象的对称中心是(0,0),将y=x3的图象向上平移1个单位, 再向右平移1个单位,即得y=(x-1)3+1的图象,所以对称中心为(1,1). 【训练4】1.函数的图像的对称中心是,则实数_. 【答案】3 【解析】由题意,其图象对称中心是,∴, 2.设函数的定义域为,若对于任意的,当时,恒有,则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到_. 【答案】 【解析】由知当时,.,,,,,, 则. 3.设是定义域为R的奇函数,且.若,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得:, 而,故.故选:C. 考点五 单调性、奇偶性、对称性 【例5】1.设是定义在上的函数,满足条件,且当时,,则,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意,所以.因为, 且当时,为减函数,所以. 2.已知函数的图象关于直线x=1对称,且在[1,+∞)上单调递减,f(0)=0,则f(x+1)>0的解集为( ) A.(1,+∞) B.(﹣1,1) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 【答案】B 【解析】由f(x)的图象关于x=1对称,f(0)=0,可得f(2)=f(0)=0, 当x+1≥1时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(2),由f(x)在[1,+∞)上单调递减, 可得:x+1<2,解得x<1,即有0≤x<1① 当x+1<1即x<0时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(0), 由f(x)在(﹣∞,1)上单调递增,可得:x+1>0,解得x>﹣1,即有﹣1<x<0② 由①②,可得解集为(﹣1,1).故选:B. 【训练5】1.对于任意,函数满足,且当时,,若,,,则,,之间的大小关系是_. 【答案】 【解析】因为函数满足,所以的图象关于直线对称, 当时,,因为函数和都在上单调递增, 所以函数在上单调递增.则,,因为,所以,即, 所以,即. 2.设函数定义在实数集上,,且当时,,则有( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵,∴函数的对称轴为,∵时,, ∴函数以为对称轴且左增右减,故时函数有最小值,离越远,函数值越大,故选C. 3.关于函数有下述四个结论: ①在单调递增 ②的图像关于直线对称 ③的图像关于点对称 ④的值域为R 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】的定义域是,,令, 所以在单调递增,在单调递增, 且值域为R又因为,所以, 所以①③④正确,②是错误的. 4.已知定义域为的函数在上为减函数,且函数为偶函数,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵为偶函数,∴,即关于直线对称, 又∵在上为减函数,∴在上为减函数.即, 又由,则有,即. 5.已知函数f(x+1)是偶函数,当1<x1<x2时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,设a=,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( ) A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 【答案】A 【解析】∵f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴y=f(x)关于x=1对称. 又1<x1<x2,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,知y=f(x)在[1,+∞)是增函数, 又f=f,且2<<3,∴f(2)<f<f(3),即b<a<c.故选A. 6.已知定义域为的函数满足,且函数在区间上单调递增,如果,且,则的值( ) A.可正可负 B.恒大于0 C.可能为0 D.恒小于0 【答案】D 【解析】数形结合.先从分析出关于中心对称, 令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同, 从而可作出草图。而,即的中点位于的左侧, 所以比距离更远,结合图象便可分析出恒小于0. 三、函数的周期性与对称性(奇偶性、周期性、对称性知二求一) (1)对称(奇偶) 周期:若一个函数存在两个对称关系,则是一个周期函数,具体情况如下:(假设) ①若的图像关于轴对称,则是周期函数,周期 分析:关于轴对称 关于轴对称 的周期为 ②若的图像关于中心对称,则是周期函数,周期 ③若的图像关于轴对称,且关于中心对称,则是周期函数,周期 (2)奇偶,周期 对称: ①若是奇函数,周期为,则有关于对称; ②若是偶函数,周期为,则有关于对称 考点六 周期性与对称性 【例6】1.设为定义在上的奇函数,,当时,,则_. 【答案】 【解析】由可得:的周期, 考虑将用中的函数值进行表示:, 此时周期性已经无法再进行调整,考虑利用奇偶性进行微调: , 所以 2.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则( ) A. B.0 C.2 D.50 【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数,且, 所以, 因此, 因为,所以, 因为,从而.故选C. 【训练6】1.已知定义在上的函数满足:,当时,,则_. 【答案】 【解析】由可得:关于中心对称,由可得:关于轴对称,所以可求出的周期,则. 2.已知定义在R上的函数满足,且为偶函数,若在内单调递减,则下面结论正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵函数满足,∴=, ∴f(x)在R上是以6为周期的函数,∴f(12.5)=f(12+0.5)=f(0.5), 又为偶函数,∴f(x)的对称轴为x=3,∴f(3.5)=f(2.5),又∵0<0.5<1.5<2.5<3, 且在(0,3)内单调递减,∴f(2.5)<f(1.5)<f(0.5)即f(3.5)<f(-4.5)<f(12.5) 3.已知定义在上的函数满足,,且当时,,则 . 【答案】1 【解析】因为,所以函数为偶函数所以, 即所以周期,. 4.定义在上的奇函数满足,且当时,,则 . 【答案】-1 【解析】∵定义在上的奇函数,, ,可得. 则的周期是4,, 5.函数是偶函数,且函数的图象关于点成中心对称,当时,,则 . 【答案】2 【解析】根据题意,函数是偶函数,则函数的对称轴为, 则有,又由函数的图象关于点成中心对称,则, 则有,即, 变形可得,则函数是周期为8的周期函数, . 6.已知奇函数的定义域为,若为偶函数,且,则 . 【答案】1 【解析】奇函数 的定义域为,若为偶函数, ,且, 则,则, 则函数的周期是8,且函数关于对称, 则, ,则. 7.已知,方程在内有且只有一个,则在区间内根的个数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,可得关于轴对称, 因为在内有且只有一个零点,所以由对称性可得在只有两个零点 所以一个周期中含有两个零点,区间共包含1010个周期,所以有2020个零点. 8.设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为是奇函数,所以①;因为是偶函数, 所以②.令,由①得:, 由②得:,因为,所以, 令,由①得:,所以.从周期性入手由两个对称性可知,函数的周期.所以.故选:D. 考点七 模型类周期函数 【例7】1.定义域为的函数满足,当时,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由,可类比函数的周期性,所以考虑将向进行转化: 小结:将平移a个单位,再将纵坐标扩大为原来的倍. 2.定义在R上的函数满足,且当时,.若对任意,都有,则t的取值范围是_. 【答案】 【解析】因为当时,,所以, 因为,当时,即时,由, 所以,同理可得依此类推,作出函数的图象, 如图所示: 由图象知:当时,令,则,对任意,都有,则 故的取值范围为,故答案为: 【训练7】1.设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵,.∵时,; ∴时,,; ∴时,,,如图: 当时,由解得,,若对任意,都有,则.则m的取值范围是,故选B. 2.(易错)已知函数满足,且当时,.若,恰有6个解,则的取值范围 . 【答案】 【解析】∵,且当时,,即自变量增加两个单位,函数值扩大二倍,所以可得函数图像如图所示: 当时,,当时,,若,恰有6个解,即在上恰有6个交点, 由图可得,故答案: 3.定义域为的函数满足,当时,,若时,恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以,因为时,, 所以,因为函数满足, 所以,所以,, 又因为,恒成立,故,解不等式可得或. 考点八 抽象函数周期性与对称性 【例8】1.函数的定义域为,若与都是奇函数,则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数 【答案】D 【解析】从已知条件入手可先看的性质,由为奇函数分别可得到: ,所以关于中心对称,双对称出周期可求得,所以不正确,且由已知条件无法推出一定符合。对于选项,因为,所以,进而可推出关于中心对称,所以为图像向左平移个单位,即关于对称,所以为奇函数,正确 【训练8】1.已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数为偶函数,则,可得,因为函数为奇函数,则,所以,,所以,,即,故函数是以为周期的周期函数,因为函数为奇函数,则,故,其它三个选项未知.选:B. 2.已知函数的定义域为,且是偶函数,是奇函数,则下列选项中值一定为0的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设,则是偶函数,所以,即①, 设,则是奇函数,所以,即②, 在②中取得,所以,在①中取得,故, 在②中取得,故选. 3.已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为的图像关于直线对称,所以, 因为,所以,即, 因为,所以,代入得,即,所以, . 因为,所以,即,所以. 因为,所以,又因为, 联立得,,所以的图像关于点中心对称,因为函数的定义域为R,所以因为,所以.所以.故选:D 4.(多选)定义在上的函数满足,是偶函数,,则( ) A.是奇函数 B. C.的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】对于选项,∵是偶函数,∴, ∴函数关于直线对称,∴, ∵,∴,∴是奇函数,则正确; 对于选项,∵,∴,∴, ∴的周期为,∴,则正确; 对于选项,若的图象关于直线对称,则, 但是,,即,这与假设条件矛盾,则选项错误; 对于选项,将代入,得, 将,代入,得, 同理可知, 又∵的周期为,∴正奇数项的周期为, ∴ ,则正确.故选:ABD. 5.(23新高考一)(多选)已知函数的定义域为,,则( ) A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点 【答案】ABC 【解析】方法一: 因为, 对于A,令,,故正确. 对于B,令,,则,故B正确. 对于C,令,,则, 令, 又函数的定义域为,所以为偶函数,故正确, 对于D,不妨令,显然符合题设条件,此时无极值,故错误. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$