第7讲　函数的单调性与最值讲义-2026届高三数学一轮复习

第7讲　函数的单调性与最值 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D,如果∀x1,x2∈I 当x1<x2时,都有　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数  当x1<x2时,都有　　　　　,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数  图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上　　　　　　或　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,　　　　　叫作y=f(x)的单调区间.  2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D,都有　　　; (2)∃x0∈D,使得　　　 (1)∀x∈D,都有　　　　; (2)∃x0∈D,使得　　　  结论 M为最大值 M为最小值 常用结论 1.复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2. (1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则f(x)在闭区间[a,b]上单调递增; (2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则f(x)在闭区间[a,b]上单调递减. 考点01　求函数的单调区间 例1 (1) 函数y=1-的单调递增区间是 (　 ) A.[0,3] B.(-∞,3] C.[3,6] D.[3,+∞) (2)f(x)=的单调递减区间为　　　　.  例2 设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数K,定义函数fK(x)=设函数f(x)=2-|x|,当K=时,函数fK(x)的单调递增区间为 (　 ) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) 考点02　函数单调性的判断与证明 例3已知函数f(x)=x+,且f(1)=2. (1)求m的值; (2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明. 例4 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0. (1)求f(1)的值; (2)用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. (3)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f(x)-f(y)=f,且当-1<x<0时,f(x)<0,证明:f(x)在(-1,1)上单调递增. 考点03　函数单调性的应用 例5已知函数f(x)的定义域为[0,16],则“f(13)>f(2)”是“函数f(x)在区间[0,16]上单调递增”的 (　 ) A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 例6 (多选题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,且f=3,f(3)=9,则下列正确的是 (　 ) A.不等式f(x)>3x的解集为(3,+∞) B.不等式f(x)>3x的解集为(0,3) C.不等式f(x)<6x的解集为 D.不等式f(x)<6x的解集为 例7 (1)(多选题)已知函数f(x)=在区间(-∞,+∞)上单减,则整数a的值可以为(　 ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 (2)[2023·新课标Ⅰ卷] 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 考点04　函数的值域与最值 例8 (1)已知函数f(x)=x2-2x-2,x∈[-2,2],则函数f(x)的值域为 (　 ) A.[-3,6] B.[-2,6] C.[2,10] D.[1,10] (2)函数y=的值域为 (　 ) A. B.[2,+∞) C.∪ D.(-∞,2)∪(2,+∞) 变式1、函数的值域为　　　　 若加条件呢？ 2、 函数的值域为　　　　 (3)已知函数,则f(x)的值域是　　　　 变式1、函数,则f(x)的值域是　　　　 2、函数,则f(x)的值域是　　　　 3、函数,则f(x)的值域是　　　　 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1. 函数f(x)=-的单调递增区间是 (　 ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(-2,2) D.(-∞,2),(2,+∞) 2.已知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且x0>0,则下列结论中一定成立的是 (　 ) A.f(x0+1)>f(x0) B.f(x0+1)<f(x0) C.f(x0-1)>f(x0) D.f(x0-1)<f(x0) 3.已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1-x)的解集为 (　 ) A. B. C. D. 4.已知函数y=x2+bx+c在(-∞,1)上是单调函数,则b的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-2) C.[-2,+∞) D.(-2,+∞) 5.函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递增区间是 (　 ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-2]和[0,2] C.[-2,2] D.[-2,0]和[2,+∞) 6.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),都满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)在R上单调递减 B.f(-5)<f(0)<f(1) C.f(0)=0 D.f(2x-1)<f(3-x)的解集为 7.函数y=+的最大值是　　　　.  8.函数y=的值域为　　　　.  9.已知x<,y>2,且x+y-xy=3,则x-y的取值范围为　　　　.  10.设函数f(x)=. (1)判断函数f(x)在区间[-1,1]上的单调性,并用定义证明结论; (2)若x∈,求函数g(x)=的取值范围. 11.已知函数f(x)=则f(x)的值域为 (　 ) A.(-∞,8] B.(-∞,6] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 12.(多选题)已知函数f(x)=x+,g(x)=x2-ax+1,若对任意x1∈[1,3],x2∈[1,3],都有f(x1)≥g(x2),则实数a的值可以是 (　 )A.-2 B.-3 C.2 D.3 13.已知函数f(x)=若f(x)在R上单调递增,则a的一个取值为　　　　;若f(x)在R上不具有单调性,则a的取值范围是　　　　.  14.已知定义域在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)-4,且当x>1时,f(x)>4. (1)求f(1),f(-1)的值; (2)证明f(x)是偶函数; (3)解不等式f(2)+f(x+2)<f(x-1)+4. 参考答案 1.D　[解析] 函数f(x)=-的定义域为{x|x≠2},且f(x)=-的图象是由y=-的图象向右平移2个单位长度得到的,因为y=-的单调递增区间为(-∞,0),(0,+∞),所以f(x)=-的单调递增区间为(-∞,2),(2,+∞).故选D. 2.B　[解析] 因为x0+1>x0>0,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x0+1)<f(x0),故B正确,A错误;当x0∈(0,1)时,x0-1<0,x0-1不在(0,+∞)内,无法比较f(x0-1)与f(x0)的大小,故C,D错误.故选B. 3.A　[解析] 由题得f(x)=x|x|=易知f(x)在R上单调递增,由f(2x)>f(1-x),得2x>1-x,解得x>.故选A. 4.A　[解析] 因为函数y=x2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=-,所以函数y=x2+bx+c在上单调递减,所以-≥1,解得b≤-2,所以b的取值范围是(-∞,-2].故选A. 5.D　[解析] f(x)=x2-4|x|+3=作出f(x)的图象,如图所示, 由图可知,函数f(x)的单调递增区间是[-2,0]和[2,+∞).故选D. 6.BD　[解析] 由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,所以f(x)在R上单调递增,故A错误;由-5<0<1,得f(-5)<f(0)<f(1),故B正确;不一定有f(0)=0,如f(x)=2x在R上单调递增,但f(0)=1,故C错误;由f(2x-1)<f(3-x),得2x-1<3-x,解得x<,故D正确.故选BD. 7.2　[解析] y2=(+)2=4+2=4+2,易知当x=时,y2取得最大值8,则y=+的最大值是2. 8.　[解析] 当-1≤x≤0时,因为y=x4在[-1,0]上单调递减,所以y∈[0,1];当0<x≤2时,因为y=在(0,2]上单调递增,所以y∈.综上所述,函数的值域为. 9.　[解析] 因为x+y-xy=3,y>2,所以x=1-,由x<,得1-<,可得2<y<5,则x-y=1--y=-.设t=y-1∈(1,4),结合对勾函数的性质,得f(t)=t+在(1,)上单调递减,在(,4)上单调递增,因为f(1)=3,f()=2,f(4)=,所以f(t)∈,所以x-y的取值范围为. 10.解:(1)函数f(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下: 任取x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==, 因为-1≤x1x2<1,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增. (2)因为f(x)=,所以f(x2)=,[f(x)]2=,所以g(x)==1+=1+2f(x2). 由(1)的证明过程知,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减, 所以由复合函数的单调性可得,函数f(x2)在[0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减, 所以当x∈时,函数g(x)在上单调递增,在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1+2f(1)=2, 又g=1+2f=,g(3)=1+2f(9)=,所以g(x)min=. 故当x∈时,函数g(x)的取值范围为. 11.A　[解析] 当x≤3时,设t=,t≥0,则x=3-t2,此时f(x)=g(t)=2(3-t2)+4t=-2(t-1)2+8,因为t≥0,所以f(x)=g(t)≤8;当x>3时,设u=,u>0,则x=u2+3,此时f(x)=h(u)=-2(u2+3)+4u+12=-2(u-1)2+8,因为u>0,所以f(x)=h(u)≤8.综上,函数f(x)的值域为(-∞,8].故选A. 12.CD　[解析] 对任意x∈[1,3],f(x)=x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以f(x)在[1,3]上的最小值为4.g(x)=x2-ax+1=+1-,当≤2,即a≤4时,g(x)在[1,3]上的最大值为g(3)=10-3a,由4≥10-3a,解得a≥2,所以2≤a≤4;当>2,即a>4时,g(x)在[1,3]上的最大值为g(1)=2-a,由4≥2-a,解得a≥-2,所以a>4.综上可知,实数a的取值范围是[2,+∞).故选CD. 13.0(满足-2≤a≤0的任意a的值均可)　(-∞,-2)∪(0,+∞)　[解析] 因为y=x3在R上单调递增,y=-x2+2a在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以要使f(x)在R上单调递增,只需解得-2≤a≤0.若f(x)在R上不具有单调性,则a<-2或a>0,即a的取值范围是(-∞,-2)∪(0,+∞). 14.解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)-4,解得f(1)=4, 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)-4=4,解得f(-1)=4. (2)证明:函数f(x)的定义域关于原点对称, 令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)-4=f(x) ,所以f(x)是偶函数. (3)令x=x1,y=,0<x1<x2,则>1,所以f>4. 因为f=f(x1)+f-4=f(x2),所以f(x2)-f(x1)=f-4>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(x)为偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减. 由f(2)+f(x+2)<f(x-1)+4,得f(2)+f(x+2)-4=f(2x+4)<f(x-1),所以0<|2x+4|<|x-1|, 解得-5<x<-1,又x+2≠0,即x≠-2, 所以原不等式的解集为(-5,-2)∪(-2,-1). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$