第6讲　函数的概念及其表示讲义-2026届高三数学一轮复习

第二单元　函数 第6讲　函数的概念及其表示 知识梳理 1.函数的概念 一般地,设A,B是非空的　　　,如果对于集合A中的　　　一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.  2.函数的定义域、值域 (1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的　　　　;与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的　　　　　　　叫作函数的　　　　.  (2)如果两个函数的　　　　相同,并且　　　　完全一致,那么这两个函数为同一个函数.  3.函数的表示法 表示函数的常用方法有　　　　、图象法和　　　　.  4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因　　　　不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.  (2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的自变量的取值范围的并集,值域等于各段函数的函数值的取值范围的并集. 常用结论 1.常见函数的定义域 (1)分式函数分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3零的零次方无意义. (4)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}. (5)指数、对数的底数大于0且不为1 (6)y=tan x的定义域为　　 　　　　　 　　　　　 考点01　函数的定义域 例1 (1)函数f(x)=+(3-x)0的定义域是 (　 ) A.[1,3) B.(3,+∞) C.(1,3)∪(3,+∞) D.[1,3)∪(3,+∞) (2) 已知函数f(x)的定义域为,则函数f(x2)的定义域为 (　 ) A. B. C. D.(-2,2) (3)若函数y=f(x)的定义域是[0,2025],则函数g(x)=的定义域是 (　 ) A.[-1,2024] B.[-1,2)∪(2,2024] C.[1,2)∪(2,2026] D.(1,2026] 考点02　求函数的解析式 例2（1） 已知函数 ,则f(1-3x)=　　　　　　 （2）已知函数 ,则f( x)=　　　　　　 （3）已知函数f(x)满足f=x2+,则f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=x2+2 B.f(x)=x2 C.f(x)=x2+2(x≠0) D.f(x)=x2-2(x≠0) （4）(多选题)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]=81x+80,则f(x)的解析式可能为 (　 ) A.f(x)=9x+8 B.f(x)=-9x-8 C.f(x)=9x+10 D.f(x)=-9x-10 （5）已知函数f(x)的定义域为R,且满足2f(x)-f(1-x)=x,则f(x)= (　 ) A.x-2 B. C. D.-x+2 （6）已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,若f(1)=1,则f(25)= (　 ) A.25 B.125 C.625 D.15 625 （7）已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对任意实数x,y恒成立,且f(0)=1,则f(x)的解析式为　　　　　　.  考点03　分段函数 例7 设f(x)=则f[f(-1)]= (　 ) A.3 B.5 C.-1 D.1 例8 (1)函数f(x)=的值域为 (　 ) A.[-1,+∞) B.[3,+∞) C.[-1,0] D.[-1,3] （2）设函数f(x)=若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.下列选项中可表示函数y=f(x)的图象的是 (　 ) A B C D 2.在下列函数中,与函数y=|x|是同一个函数的是 (　 ) A.y= B.y= C.y= D.y= 3.已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)-2x]=3,则f(5)= (　 ) A.11 B.9 C.7 D.5 4.已知f=2x-5,且f(a)=3,则a= (　 ) A.3 B. C.1 D. 5.函数y=1-x+的值域为 (　 ) A. B.[0,+∞) C. D. 6.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-4f=-,则f(2)的值为 (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的值不可能为 (　 ) A. B.1 C. D.2 8.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)-f(y)=x(x+2y-2),且f(1)=0,则f(x)的解析式为　　　　　　.  9.已知函数f(x)和g(x)分别由下表给出,则g[f(2)]=　　　　;若f[g(a)]>6,则实数a的取值集合为　　　　.  x 1 2 3 4 5 f(x) 1 4 9 16 25 x 2 3 4 5 6 g(x) 1 3 2 4 5 10.已知函数f(x)=, (1)求f[f(0)]; (2)若f(a)≤5,求实数a的取值范围. 11.已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 12.已知f(x)为定义在R上的单调函数,且对∀x∈R,f[f(x)-ex]=2+ln 2,则f(ln 3)= (　 ) A.3ln 2 B.3+ln 2 C.3-ln 2 D.ln 3 13.(多选题)已知函数f(x)的图象由如图所示的两段线段组成,则 (　 ) A.f[f(3)]=1 B.不等式f(x)≤1的解集为 C.函数f(x)在区间[2,3]上的最大值为2 D.函数f(x)的解析式可表示为f(x)=x-3+2|x-3|(x∈[0,4]) 14.已知函数f(x)对任意x都满足3f(x)-f(2-x)=4x,二次函数g(x)满足g(x+2)-g(x)=4x且g(1)=-4. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)若a>0,解关于x的不等式(a+1)x2-(a+4)x-3>g(x)-f(x). 参考答案 1.B　[解析] 根据函数的定义可知一个x的值只能对应一个y值.故选B. 2.D　[解析] 对于A,y==x(x≥0),与y=|x|(x∈R)的定义域不同,对应关系也不同,不是同一个函数,故A错误;对于B,y==x(x∈R),与y=|x|(x∈R)的对应关系不同,不是同一个函数,故B错误;对于C,y==|x|(x≠0),与y=|x|(x∈R)的定义域不同,不是同一个函数,故C错误;对于D,y==|x|(x∈R),与y=|x|(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故D正确.故选D. 3.A　[解析] 设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3,整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0,所以可得所以f(x)=2x+1,所以f(5)=2×5+1=11.故选A. 4.C　[解析] 令2x-5=3,解得x=4,则f=f(1)=3,又易知f(x)为一次函数,所以a=1.故选C. 5.C　[解析] 令=t(t≥0),则x=,所以1-x+=1++t=+t+=≥,所以函数y=1-x+的值域为.故选C. 6.D　[解析] 因为定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)-4f=-,所以f-4f(x)=-15x,即f=4f(x)-15x,所以f(x)-4[4f(x)-15x]=-,可得f(x)=4x+,所以f(2)=8+=.故选D. 7.AD　[解析] y=x2-2ax+3的图象的对称轴为x=a,由题可知解得1≤a≤,结合选项可知,a的值不可能为和2.故选AD. 8.f(x)=x2-2x+1　[解析] 令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=-1,则f(0)=1.令y=0,得f(x)-f(0)=x(x-2),则f(x)=x2-2x+1. 9.2　{3,5,6}　[解析] 根据表格可得,f(2)=4,则g[f(2)]=g(4)=2.根据表格可得,当g(a)=3时,f[g(a)]=9>6,此时a=3;当g(a)=4时,f[g(a)]=16>6,此时a=5;当g(a)=5时,f[g(a)]=25>6,此时a=6.综上可得,实数a的取值集合为{3,5,6}. 10.解:(1)因为f(0)=0+2=2, 所以f[f(0)]=f(2)=2×2=4. (2)由f(a)≤5,得或或 解得a≤1或1<a<2或2≤a≤, 所以实数a的取值范围是. 11.D　[解析] 当x≥2时,f(x)=x+1≥3,要使函数f(x)=的值域为R,需满足解得a≥,则a的取值范围是.故选D. 12.B　[解析] 设f(x)-ex=t,则f(x)=ex+t,所以f(t)=et+t=2+ln 2,即et+ln et=2+ln 2.设g(x)=x+ln x(x>0),易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以et=2,即t=ln 2,所以f(x)=ex+ln 2,所以f(ln 3)=eln 3+ln 2=3+ln 2.故选B. 13.BD　[解析] 由题图可知,在区间[0,3]上,函数f(x)的图象为线段,且经过点(0,3)和点(3,0),则f(x)=3-x(0≤x≤3);在区间[3,4]上,函数f(x)的图象为线段,且经过点(3,0)和(4,3),则f(x)=3x-9(3≤x≤4).综上,f(x)=对于A,因为f(3)=0,所以f[f(3)]=f(0)=3,故A错误;对于B,由f(x)≤1,得或解得2≤x≤3或3<x≤,所以不等式f(x)≤1的解集为,故B正确;对于C,易知f(x)在区间[2,3]上单调递减,则f(x)在区间[2,3]上的最大值为f(2)=1,故C错误;对于D,f(x)=x-3+2|x-3|(x∈[0,4])=故D正确.故选BD. 14.解:(1)3f(x)-f(2-x)=4x①,用2-x代替①中的x, 得3f(2-x)-f(x)=8-4x②, 联立①②,可得f(x)=x+1. 设g(x)=dx2+bx+c(d≠0), 所以g(x+2)-g(x)=d(x+2)2+b(x+2)+c-dx2-bx-c=4x, 即4dx+4d+2b=4x,所以解得 又g(1)=-4,所以c=-3,所以g(x)=x2-2x-3. (2)由(a+1)x2-(a+4)x-3>g(x)-f(x), 得ax2-(a+1)x+1>0,即(x-1)(ax-1)>0. ①当>1,即0<a<1时,不等式的解集为; ②当<1,即a>1时,不等式的解集为; ③当=1,即a=1时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}. 综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为; 当a=1时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}; 当a>1时,不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$