第5讲　一元二次方程、不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

第5讲　一元二次方程、不等式 知识梳理 1.一元二次不等式 把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,其一般形式为ax2+bx+c>0或　　　　　　　(a,b,c均为常数,a≠0).  2.一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零,左边为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集. 3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+ bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0) 的解集 　　　  　　　  R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 　　　  ⌀ ⌀ 4.一元二次方程根的分布 常用结论 1.简单分式不等式 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. 2.能成立问题的转化:a>f(x)能成立⇒a>f(x)min; a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 　　　　　 　　　　　 考点01　求解一元二次不等式 例1 (1)已知集合A={x|x≥1},B={x|2x2-5x-3<0},则A∪B= (　 ) A.{x|x≥1} B. C. D.{x|1≤x<3} (2)若A={x|x2<1},B={x|y=ln(-x2+2x)},则A∩B= (　 ) A.(-1,2) B.[0,1) C.(0,1) D.(-1,0) 例2 (1)设a为实数,则关于x的不等式(ax-1)(x+2)>0的解集不可能是 (　 ) A.(-∞,-2) B.∪(-2,+∞) C. D. (2)(多选题)已知a为实数,则关于x的一元二次不等式(x-a)(x-2)<0的解集可能为 (　 ) A.(-∞,2)∪(a,+∞) B.(-∞,a)∪(2,+∞) C.(a,2) D.⌀ (3)已知关于x的不等式x2-(1+2a)x+2a<0的解集中不含有整数,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(0,1) B.∪ C.∪ D.[0,1] 考点02　三个二次间的关系 例3 (1)关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-2)=0有一个正实根和一个负实根的一个充分不必要条件是 (　 ) A.a∈(2,1) B.a∈(-2,0) C.a∈(-1,0) D.a∈(-1,1) (2)若关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数解,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C.∪(-1,+∞) D.∪(1,+∞) 考点03　一元二次不等式恒成立问题 例4 (1)若不等式16kx2+8kx+3>0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为 (　 ) A.{k|0<k<3} B.{k|0≤k≤3} C.{k|0<k≤3} D.{k|0≤k<3} (2)(多选题)若对任意x∈R,都有x2-2mx+m≥0,则m的值可以是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 例5 (1) 若∀x∈,3x2-λx+1≥0恒成立,则实数λ的最大值为 (　 ) A. B.2 C.4 D. (2)(多选题)∀x∈(0,3],x2-ax+9≥0 恒成立的一个充分条件是 (　 ) A.a≤5 B.a≤6 C.a≤7 D.a≤8 例6 当1≤m≤2时,mx2-mx-1<0恒成立,则实数x的取值范围是 (　 ) A.<x< B.<x< C.<x< D.<x< (1)已知关于x的不等式(a-1)x2-ax+a+1≥0的解集为R,则实数a的取值范围是(　 ) A.(1,+∞) B. C. D.∪ (2)若关于x的不等式x2-ax+1<0在上恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  限时训练(时间:45分钟) 1.已知集合A={x|x2-4<0},集合B={x|x2-4x+3<0},则A∪B= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A.{x|-2<x<1} B.{x|-2<x<3} C.{x|1<x<2} D.{x|1<x<3} 2.已知关于x的不等式x2≤ax-b的解集是{4},那么logab= (　 ) A.1 B. C.12 D. 3. 若不等式cx2+ax+b>0的解集为,则函数y=ax2+bx-c的图象大致为 (　 ) A　　B C　　D 4.已知x∈R,则“-1≤x≤2”是“≤0”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.不等式≥0的解集为 (　 ) A.[-3,1)∪[2,+∞) B.(-∞,-3]∪(1,2] C.[-3,1)∪(1,2] D.(-∞,-3]∪[2,+∞) 6.已知“∃x∈[0,4],x2-2x-3+a≥0”是真命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|a≤-4} B.{a|a≥4} C.{a|a≥-5} D.{a|a≥3} 7.(多选题)若关于x的不等式x2-(m+1)x+m<0的解集中恰有三个整数,则m的值可以是 (　 ) A.1 B.- C.-3 D.5 8.已知x1,x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根,那么+的最大值是　　　　.  9.若两个正实数x,y满足4x+y=xy,且存在这样的x,y使不等式x+<m2+3m(m为常数)有解,则实数m的取值范围是　　　　　　.  10.[解答下面两题. (1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)解关于x的不等式ax2+x+1>0,a∈R. 11.已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C.(-∞,0] D.(-∞,0) 12.(多选题)“关于x的不等式ax2-2x+1<0的解集为非空集合”的必要不充分条件可以是 (　 ) A.a<0 B.a<1 C.a<2 D.a<3 13.若不等式ax2-4x+a-3<0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  14.已知函数h(x)=ax2+ax+2. (1)若对任意x∈R,不等式h(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围; (2)当a<0时,解关于x的不等式h(x)<(1-a)x+4. 参考答案 1.B　[解析] ∵A={x|x2-4<0}={x|-2<x<2},B={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},∴A∪B={x|-2<x<3}.故选B. 2.D　[解析] 因为关于x的不等式x2≤ax-b,即x2-ax+b≤0的解集为{4},所以即所以logab=log816=lo24=.故选D. 3.B　[解析] 由题意知c<0,且-1,是关于x的方程cx2+ax+b=0的两个根,则-1+=-,-1×=,则a=c<0,b=-c>0,所以y=ax2+bx-c的图象开口向下,对称轴为直线x=->0,与y轴交点的纵坐标为-c>0.故选B. 4.B　[解析] 由≤0,得(x+1)(x-2)≤0且x+1≠0,可得-1<x≤2,所以“-1≤x≤2”是“≤0”的必要不充分条件.故选B. 5.A　[解析] 由≥0,得或解得x≥2或-3≤x<1,则原不等式的解集为[-3,1)∪[2,+∞).故选A. 6.C　[解析] 因为“∃x∈[0,4],x2-2x-3+a≥0”是真命题,所以关于x的不等式a≥-x2+2x+3在[0,4]上有解,因为当x∈[0,4]时,-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[-5,4],所以a≥-5,则实数a的取值范围为{a|a≥-5}.故选C. 7.BCD　[解析] 因为关于x的不等式x2-(m+1)x+m=(x-1)(x-m)<0的解集中恰有三个整数,所以-3≤m<-2或4<m≤5.故选BCD. 8.18　[解析] 因为x1,x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根,所以x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5,所以+=-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19,因为关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0有两个实根,所以Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-(3k+4)(k+4)≥0,解得-4≤k≤-,所以当k=-4时,+取得最大值-(-4+5)2+19=18. 9.(-∞,-4)∪(1,+∞)　[解析] 因为x,y>0,且4x+y=xy,所以+=1,则x+==2++≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时等号成立.要使不等式x+<m2+3m有解,则m2+3m>4,解得m<-4或m>1.故实数m的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞). 10.解:(1)由题意可知,可得-<m<0. 故实数m的取值范围为.(2)当a=0时,x+1>0,解得x>-1. 当a<0时,Δ=1-4a>0,关于x的方程ax2+x+1=0的两个根分别为x1=,x2=,且x1<x2, 此时不等式的解集为. 当a>0时,若Δ=1-4a<0,即a>,则不等式的解集为R; 若Δ=1-4a=0,即a=,则不等式的解集为{x|x≠-2}; 若Δ=1-4a>0,则0<a<, 关于x的方程ax2+x+1=0的两个根分别为x1=,x2=,且x1>x2, 此时不等式的解集为. 综上可知,当a=0时,不等式的解集为{x|x>-1}; 当a<0时,不等式的解集为; 当a>时,不等式的解集为R; 当a=时,不等式的解集为{x|x≠-2}; 当0<a<时,不等式的解集为. 11.B　[解析] 当x∈(0,2]时,由ax2-2x+3a<0,可得a<=,因为≤=,当且仅当x=,即x=时,等号成立,所以a<.故选B. 12.CD　[解析] 原不等式的解集为非空集合等价于原不等式有解,当a=0时,-2x+1<0,解得x>;当a<0时,关于x的不等式ax2-2x+1<0一定有解;当a>0时,若关于x的不等式ax2-2x+1<0有解,则Δ=4-4a>0,解得0<a<1.综上可知,a<1.故原不等式有解的必要不充分条件所表示的集合真包含集合{a|a<1},故选CD. 13.(-∞,-1)　[解析] 当a=0时,原不等式可化为-4x-3<0,解得x>-,不符合题意;当a≠0时,原不等式为一元二次不等式,要对任意x∈R恒成立,则二次函数y=ax2-4x+a-3的图象开口向下且与x轴无交点,所以解得a<-1.综上,实数a的取值范围为(-∞,-1). 14.解:(1)h(x)>-1,即ax2+ax+3>0,所以不等式ax2+ax+3>0对任意x∈R恒成立. 当a=0时,不等式可化为3>0,符合题意; 当a≠0时,由解得0<a<12. 综上,实数a的取值范围是[0,12). (2)不等式h(x)<(1-a)x+4,即ax2+(2a-1)x-2<0,即(ax-1)(x+2)<0, 因为a<0,所以(x+2)>0. 当<-2,a<0,即-<a<0时,不等式的解集为; 当=-2,即a=-时,不等式的解集为{x|x≠-2}; 当>-2,即a<-时,不等式的解集为. 综上,当-<a<0时,不等式的解集为; 当a=-时,不等式的解集为{x|x≠-2}; 当a<-时,不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$