第3讲等式性质与不等式性质讲义-2026届高三数学一轮复习

第3讲　等式性质与不等式性质 知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)若a=b,则b=a; (2)若a=b,b=c,则a=c; (3)若a=b,则对任意c,都有　　 　　或　　　　　　或　　　　　　;  (4)若a=b,则对任意不为零的c,都有　　　　　　.  3.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔　　　　　(双向性).  (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c(单向性). (3)可加性:a>b⇔a+c　　b+c(双向性).  (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac　　bc;  a>b,c<0⇒ac　　bc.  (5)a>b,c>d⇒　　　　　(单向性).  (6)a>b>0,c>d>0⇒ac　　bd(单向性).  (7)乘方法则:a>b>0⇒an　　　bn(n∈N,n≥2)(单向性).  常用结论 (1)<<(b-m>0),即真分数越加越大,越减越小; 考点01 比较数(式)的大小 例1 （1）已知a=,b=,c=a2,则(　 ) A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c （2）若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则(　 ) A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m （3）若a=0.311.5,b=log312,c=log26,d=,则有(　 ) A.a>b>c B.b>a>d C.c>a>b D.b>c>a （4）若a=,b=,b=,则有(　 ) A.a>b>c B.b>a>d C.c>a>b D.b>c>a （5）为正数，2x=3y=6z,则的大小为 考点02　不等式的性质及应用 例2 (1)若a<b且ab≠0,则下列不等式中一定成立的是 (　 ) A.> B.>1 C.a3<b3 D.|a|<|b| (2)(多选题)已知b>a>0,c∈R,则下列不等式中一定成立的是 (　 ) A.< B.-c<-c C.> D.ac2<bc2 （3）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 例3（1）已知某个三角形的两条高的长度分别为5和10,则该三角形第三条高的长度的取值范围为 (　 ) A. B. C. D.(10,15) （2）已知 ,求 及 的取值范围. （3）若 ,则 的取值范围是 （4）设实数 满足 ,则 的最大值是 限时训练 (时间:45分钟) 1.已知a>b>c>0,则 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A.a>b+c B.a2<bc C.ac>b2 D.ab+bc>b2+ac 2.已知a,b∈R,则“<”是“a3>b3”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知<α<β<,则2α-2β的取值范围是 (　 ) A. B. C.(-π,π) D.(-π,0) 4.若a,b∈R,且a>b,则 (　 ) A.< B.a2b>ab2 C.a2>ab>b2 D.a>>b 5.若a>b,则 (　 ) A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b| 6.已知实数m,n,p满足m2+n+4=4m+p,且m+n2+1=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.n≥p>m B.p>n>m C.n>p>m D.p>m>n 7.(多选题)已知a,b,c∈R,且a>b,abc≠0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.< B.ac2>bc2 C.c-a<c-b D.2a>2b 8.已知4<a<6,3<b<4,则的取值范围是　　　　.  9.能够说明“若a,b,m均为正数,则<”是真命题的一组a,b可以为a=　　　　,b=　　　　.(写出一组即可)  10.若x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.  11.某人计划购买一批商品,根据自身实际情况,他决定分两次进行购买,并且制订了两种不同的方案:方案一是每次购入一定数量的该商品;方案二是每次购入一定金额的该商品.由于该商品价格并不稳定,预设两次购入的单价不同.现假设两次购入的单价分别为a1,a2,且a1≠a2,则下列说法正确的是 (　 ) A.当且仅当a1>a2时,方案一的平均购买成本比方案二更低 B.当且仅当a1>a2时,方案二的平均购买成本比方案一更低 C.无论a1,a2的大小关系如何,方案一的平均购买成本比方案二更低 D.无论a1,a2的大小关系如何,方案二的平均购买成本比方案一更低 12.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a<b<0,则a2>ab C.若c>a>b>0,则< D.若a>b>1,则a->b- 13记min{a,b,c}为a,b,c中最小的数.已知0<x<y<z<1,且y≤2x,则min{y-x,z-y,1-z}的最大值为　　　　.  14.对于四个正数x,y,z,w,如果xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序对”,设a,b,c,d均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,求,,之间的大小关系. 参考答案 1.D　[解析] 当a=3,b=2,c=1时,a=b+c,且ac<b2,故A,C错误;因为a>b>0,a>c>0,所以a2>bc,故B错误;因为ab+bc-(b2+ac)=(b-c)(a-b)>0,所以ab+bc>b2+ac,故D正确.故选D. 2.A　[解析] 若<,则a>b>0,所以a3>b3,充分性成立;若0>a3>b3,则0>a>b,但,无意义,必要性不成立.综上,“<”是“a3>b3”的充分不必要条件.故选A. 3.B　[解析] 因为<α<,<β<,所以<2α<π,-π<-2β<-,所以-<2α-2β<,又α<β,所以2α-2β<0,所以-<2α-2β<0.故选B. 4.D　[解析] 取a=1,b=-1,则==,a2b<ab2,故A,B错误;取a=0,b=-2,则a2=0,ab=0,b2=4,故C错误;因为a>b,所以2a>b+a>2b,所以a>>b,故D正确.故选D. 5.C　[解析] 因为a>b,所以a-b>0,所以ln(a-b)∈R,故A错误;因为a>b,所以3a>3b,故B错误;当a=0,b=-1时,|a|<|b|,故D错误;因为幂函数y=x3在R上单调递增,且a>b,所以a3>b3,所以a3-b3>0,故C正确.故选C. 6.B　[解析] 由m+n2+1=0,得m=-n2-1,所以m≤-1,则n-m=n-(-n2-1)=n2+n+1=+>0,所以n>m.因为m2+n+4=4m+p,所以m2-4m+4=p-n,所以p-n=(m-2)2≥0,又m≤-1,所以p>n.综上所述,p>n>m.故选B. 7.BCD　[解析] 对于A,当a>0,c>0,b<0时,>,故A不一定成立;对于B,因为a>b,abc≠0,所以ac2>bc2,故B一定成立;对于C,因为a>b,所以-a<-b,所以c-a<c-b,故C一定成立;对于D,因为f(x)=2x在R上单调递增,且a>b,所以f(a)>f(b),即2a>2b,故D一定成立.故选BCD. 8.(2,3)　[解析] 由题意可知,=+1,因为4<a<6,<<,所以1<<2,所以2<+1<3.故的取值范围是(2,3). 9.1　2(只要满足0<a<b即可)　[解析] 因为“若a,b,m均为正数,则<”是真命题,所以-=>0,因为a,b,m均为正数,所以0<a<b,不妨取a=1,b=2. 10.[15,19]　[解析] 因为x+y=4-z,2x-y=5-z,所以x=3-,y=1-,由x,y,z≥0,得解得0≤z≤3,所以M=4x+3y+5z=4+3+5z=+15∈[15,19]. 11.D　[解析] 方案一:设每次购入商品的数量为m,则平均购买成本x==. 方案二:设每次购入商品的金额为n,则平均购买成本y===. x-y=-==,因为a1≠a2,所以x-y=>0,即x>y,所以无论a1,a2的大小关系如何,方案二的平均购买成本比方案一更低.故选D. 12.ABD　[解析] 对于A,若ac2>bc2,则a>b,故A正确;对于B,若a<b<0,则a2>ab,故B正确;对于C,-==,因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,a-b>0,所以->0,即>,故C错误;对于D,a--=a-b+-=a-b+=(a-b)=(a-b)·,因为a>b>1,所以a-b>0,ab-1>0,所以a->b-,故D正确.故选ABD. 13.　[解析] 设t=min{y-x,z-y,1-z},则t≤y-x①, t≤z-y②,t≤1-z③,由2×①+②+③得4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤.取z=,y=,x=,显然满足0<x<y<z<1且y≤2x,此时t=,所以tmax=. 14.解:因为(a,b)是(c,d)的“下位序对”,所以ad<bc, 因为a,b,c,d均为正数, 所以-==>0,所以>, 同理-==<0,即<. 综上所述,<<. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$