第1讲　集合讲义-2026届高三数学一轮复习

第一单元　预备知识 第01讲　集合 必备知识： 1.集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性:　　　　、　　　　、　　　　.  (2)集合的三种表示方法: 　　　　、　　　　、　　　　.  (3)元素与集合的两种关系:属于,记为　　;不属于,记为　　.  (4)六个特定的集合及其关系图:N*或N+表示　　　　　,N表示非负整数集(或自然数集),Z表示　　　　　,Q表示　　　　　,R表示实数集,C表示　　　　.  2.集合间的基本关系 (1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作　　　　(或B⊇A).  (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集,记作A　B(或B　A).  (3)相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是　　　　的.  (4)空集是任何集合的子集,是　　　　　集合的真子集.  3.集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交集 属于A　　　属于B的元素组成的集合  {x|x∈A,　　　x∈B}  并集 属于A　　　属于B的元素组成的集合  {x|x∈A,　　　x∈B}  补集 全集U中　　　属于A的所有元素组成的集合  {x|x∈U,x　 　A}  4.集合的运算性质 (1)交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩⌀=⌀∩A=⌀;A∩B=A⇔A　　　B.  (2)并集的运算性质:A∪B=　　　　;A∪A=A;A∪⌀=⌀∪A=A;A∪B=　　　⇔B⊆A.  (3)补集的运算性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=　　;∁U(∁UA)=　　;∁U(A∪B)=(∁UA)　　(∁UB);∁U(A∩B)=　 　∪　 　.  考点01　集合的概念及表示 例1(1)设集合 ,则 A. B. C. D. （2）已知集合 ,则 中元素的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 （3）设 ,集合 ,集合 ,若 ,则 考点02　集合间的基本关系 例2 (1)下列八个关系式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) (6) (7) ; (8) ; 其中正确的个数为 ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 (2)设 ,则 与 的关系是 A. B. C. D. 以上都不对 （3）已知集合 ,若 ,则实数的取值范围为 考点03　集合的基本运算 例3 (1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　 ) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} (2)已知全集U={x|x>0},集合A={x|1≤x<2},则∁UA= (　 ) A.(-∞,1]∪[2,+∞) B.(0,1)∪[2,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(0,1)∪(2,+∞) (3)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N= (　 ) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 例4 (1)已知集合A={1,2,m},B={x|x2-2x-3<0},若A∪B=B,则实数m的值可能是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(多选题)设A={x|x2-5x+4=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的值可以是 (　 ) A.0 B. C.4 D.1 考点04　集合的新定义问题 例5（1） 定义:如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空真子集A1,A2,…,Ak(k∈N*,k>1),且A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称子集族{A1,A2,…,Ak}构成集合U的一个k划分.已知集合I={x∈N|x2-6x+5<0},则集合I的所有划分的个数为 (　 ) A.3 B.4 C.14 D.16 （2）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 （3）给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 （4）（多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 限时训练（35分钟） 1. 已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)= (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 2. 已知集合A={-1,0,1},B={1,2},C={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合C的元素个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 2. 如图,已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分表示的集合为 (　 ) A.{x|-1≤x≤3} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-2≤x<4} 4.已知集合A={0,1,2},B={1,2,3},若集合C={z∈N*|z=xy,x∈A,y∈B},则C的子集的个数为 (　 ) A.8 B.16 C.32 D.64 5.若m∈{1,3,4,m2},则m的可能取值的集合为 (　 ) A.{0,1,4} B.{0,3,4} C.{-1,0,3,4} D.{0,1,3,4} 6.已知集合A={x|log2(x-1)<2},B={x|m<x<2m+1},若B≠⌀且B⊆A,则m的取值范围为 (　 ) A.[1,2] B.[1,3] C.[1,+∞) D.(-∞,3] 7.(多选题)已知集合A={x|1<x<4},B={x|x2-(a+1)x+a<0},则下列说法中正确的是 (　 ) A.若A∪B=B,则a≥4 B.若A∪B=A,则1≤a≤4 C.若B∩A=B,则1<a<4 D.若A∩B=⌀,则a<1 8.已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0,a≠0},若集合A,B中至少有一个非空集合,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  9.若{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}=⌀,则实数m的取值范围为　　　　.  10.已知集合M={x|x=4n+1,n∈Z},N={x|x=3n+1,n∈Z},P={x|x=12n+1,n∈Z},则 (　 ) A.M⫋P B.N⫋P C.M∩N⊆P D.M∩N=⌀ 11.(多选题)对于集合A,若∀x∈A,2-x∈A,则称A为对偶互存集.下列集合为对偶互存集的是 (　 ) A.{-1,0,1,2,3} B.{x|x=2k-1,k∈Z} C. D.{y|y=1+sin x} 12.已知集合A={x|4x2-x-5>0},B={x|x>m},若m=0,则(∁RA)∩B=　　　　;若A∪B=R,则m的取值范围为　　　　.  13．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 限时训练答案 1.D　[解析] 因为A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},所以B={1,4,9,16,25,81},所以A∩B={1,4,9},则∁A(A∩B)={2,3,5}, 故选D. 2.C　[解析] 由题意知,a∈{-1,0,1},b∈{1,2},当a∈{-1,0,1},b=1时,a+b∈{0,1,2},当a∈{-1,0,1},b=2时,a+b∈{1,2,3},所以C={0,1,2,3},所以集合C中的元素个数为4.故选C. 3.A　[解析] 由题图可知,阴影部分表示的集合为B∩(∁UA)={x|-2≤x≤3}∩{x|-1≤x≤4}={x|-1≤x≤3}.故选A. 4.C　[解析] 因为0×1=0×2=0×3=0,1×1=1,1×2=2×1=2,1×3=3,2×2=4,2×3=6,所以集合C={1,2,3,4,6},所以集合C的子集的个数为25=32.故选C. 5.B　[解析] 由m∈{1,3,4,m2},得m=1或m=3或m=4或m=m2.当m=1时,m2=1,不符合题意;当m=3时,m2=9,符合题意;当m=4时,m2=16,符合题意;当m=m2时,m=0或m=1,若m=0,则m2=0,符合题意,若m=1,则m2=1,不符合题意.综上,m的可能取值的集合为{0,3,4}.故选B. 6.A　[解析] 不等式log2(x-1)<2,可化为0<x-1<4,解得1<x<5,所以A={x|1<x<5},因为B≠⌀,B⊆A,所以解得1≤m≤2.故选A. 7.AB　[解析] B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-1)(x-a)<0}.当a>1时,B={x|1<x<a};当a=1时,B=⌀;当a<1时,B={x|a<x<1}.对于A,若A∪B=B,则A⊆B,∴a≥4,故A正确;对于B,若A∪B=A,则B⊆A,∴1≤a≤4,故B正确;对于C,若B∩A=B,则B⊆A,∴1≤a≤4,故C错误;对于D,若A∩B=⌀,则a≤1,故D错误.故选AB. 8.{a|a≥8或a≤4且a≠0}　[解析] 对于集合A,由Δ1=4-4(9-a)<0,解得a<8;对于集合B,由Δ2=16-4a<0,解得a>4.因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,所以实数a的取值范围是{a|a≥8或a≤4且a≠0}. 9.(-∞,0]　[解析] 因为{x|0≤x≤1}∩{x|x2-2x+m>0}=⌀,所以x2-2x+m≤0对任意x∈[0,1]恒成立,即m≤-x2+2x对任意x∈[0,1]恒成立,根据二次函数的性质可知,当x∈[0,1]时,-x2+2x的最小值为0,所以实数m的取值范围为(-∞,0]. 10.C[解析] 5∈M,5∉P,故A错误;4∈N,4∉P,故B错误;M∩N={x|x=12n+1,n∈Z}≠⌀,故D错误,C正确. 11.ABD　[解析] 对于A,当x∈{-1,0,1,2,3}时,2-x∈{-1,0,1,2,3},故A正确;对于B,{x|x=2k-1,k∈Z}为全体奇数构成的集合,当x为奇数时,2-x也为奇数,故B正确;对于C,={y|y≠0},2∈{y|y≠0},但2-2=0∉{y|y≠0},故C错误;对于D,{y|y=1+sin x}=[0,2],当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],故D正确.故选ABD. 12.　(-∞,-1)　[解析] 由4x2-x-5>0,即(x+1)(4x-5)>0,得x>或x<-1,则A=,所以∁RA=.若m=0,则B={x|x>0},则(∁RA)∩B=.若A∪B=R,则m<-1,故m的取值范围为(-∞,-1). 13（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$