内容正文:
兴宁市宋声学校九年级数学试卷
说明:1.考试范围:上册第一章~下册第三章.
2.考试时间120分钟,满分120分.
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 如图,在中,,是边上的中线,且,则的长是( )
A. B. 5 C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的特征:斜边的中线等于斜边的一半,熟记相关结论即可求解.
【详解】解:∵,是边上的中线,
∴
故选:D
2. 若方程□是关于x的一元二次方程,则“□”可以是( )
A. B. C. D. x
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义.熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
根据一元二次方程的定义判断作答即可.
【详解】解:由一元二次方程的定义可知,“□”可以是,
故选:A.
3. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”,其主视图为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.看不见的棱要用虚线表示.找到从前面看所得到的图形即可.
【详解】解:卷纸的主视图应是:
,
故选:C.
4. 如图,四边形是平行四边形,从①,②,③,这三个条件中任意选取两个,能使是正方形的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定,用概率公式求概率,掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键.
根据从①,②,③,这三个条件中任意选取两个,共有①②、①③、②③,3种方法,由正方形的判定方法,可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形.再根据概率公式求解即可.
【详解】解:从①,②,③,这三个条件中任意选取两个,共有①②、①③、②③,3种方法,由正方形的判定方法,可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形.
∴,从①,②,③,这三个条件中任意选取两个,能使是正方形的概率为.
故选:A.
5. 如图所示的4个三角形中,是相似三角形的是( )
A. ①和④ B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理,相似三角形的判定,掌握相似三角形的定理是解题关键.利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长,再根据两三角形的三组对应边的比例相等,则这两个三角形相似判断即可.
【详解】解:①中三角形三边分别为,,5,
②中三角形三边分别为,
③中三角形三边分别为,
④中三角形三边分别为,,
∵①和③中,
∴相似三角形的是①和③.
故选D.
6. 如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为,高为7米.用计算器求的长,下列按键顺序正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦的定义得出,进而可得答案.
【详解】解:由题意得,
∴,
∴按键顺序为,
故选:B.
【点睛】本题考查了正弦的定义,计算器的使用,正确理解三角函数的定义是解题的关键.
7. 在同一平面直角坐标系中,函数和大致图象如图所示,则函数的图象大致为( )
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象,根据反比例函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系进行解答即可,熟练掌握相关函数图象与其系数的关系是关键.
【详解】解:一次函数图象经过第一、二、四象限,
,即,
反比例函数的图象在第二四象限,
,
,,,
函数图象开口向下,对称轴为直线,在轴左侧,与轴交点在负半轴,选项A符合.
故选:A.
8. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以点O为圆心、为半径的圆弧,N是的中点,.“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式:.当,时,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接,根据等边三角形的性质,垂径定理,勾股定理,特殊角的三角函数,后代入公式计算即可.
【详解】连接,根据题意,是以点O为圆心、为半径的圆弧,N是的中点,,
得,
∴点M,N,O三点共线,
∵,,
∴等边三角形,
∴,
∴.
故选B.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,垂径定理,勾股定理,特殊角的函数值,熟练掌握相关知识是解题的关键.
9. 将一张半透明的矩形纸片在平而直角坐标系中按如图所示的位置摆放,其中点,在轴的负半轴上,且,.双曲线分别与边,交于点,连接,在矩形纸片沿着轴左右平移过程中,当点恰为中点时,有,则双曲线的表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质,平移,设点的坐标为,则点的横坐标为,由勾股定理求出,从而求出,,则,然后根据待定系数法即可求解,熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】设点的坐标为,
∴点横坐标为,
又在中,,
∴,,
∴,
∵点均在双曲线上,
∴,
∴,
∴,
∴双曲线为,
故选:.
10. 如图,已知点A(12,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=8时,这两个二次函数的最大值之和等于( )
A. 5 B. 2 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用勾股定理得到DE= ,然后利用抛物线的对称性及相似三角形的判定和性质得到和,两个式子相加得出结果.
【详解】解:分别过点B、D、C作BF⊥AO于点F,DE⊥AO于点E,CM⊥AO于点M,
∵DA=DO=8,
∴OE= ,
∴DE= ,
设OF=m,AM=n,则PF=OF=m,MP=AM=n,
∵OF+FP+PM+AM=OA=12,
∴m+n=6,
∵BF∥DE,
∴△OBF∽△ODE,
∴ ,
即 ①,
同理②,
①+②得
,
∴BF+CM= ,
故选B.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、抛物线的对称性以及相似三角形的判定和性质,利用相似三角形的性质得到比例式是解决问题的关键.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11. 反比例函数的图象,当时,随的增大而增大,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质,当比例系数k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大列式求解即可.
【详解】∵反比例函数y=的图象,当x>0时,y随x的增大而增大,
∴k-5<0,
解得k<5.
故答案为k<5.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质,对于反比例函数y=,当k>0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,函数值y随自变量x增大而增大.
12. 已知一条线段能与,,这三条线段组成成比例线段,这条线段的长可以是________.(写出一个即可)
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查了成比例的线段.熟练掌握若四条线段满足,则是成比例的线段是解题的关键.
根据成比例的线段的定义进行判断作答即可.
【详解】解:设这条线段为d,
根据题意可以是:,
∴,
∴ ,
故答案为:(答案不唯一).
13. 如图,一束光线照在坡度为的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角是______度.
【答案】30
【解析】
【分析】理解坡角的概念,应用解直角三角形求出坡角,从而求出.
【详解】解:坡度,所以坡角为.
平面镜反射成与地面平行的光线,所以.
故答案为:30.
【点睛】考查坡度、坡角的定义及其关系.注意光线入射夹角等于反射夹角.
考点:解直角三角形的应用—坡度坡角问题.
14. 小影与小冬一起写作业,在解一道二次项系数为1的一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是和.原来的方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据题意得出原方程中,即可求解.
【详解】解:根据题意设一元二次方程为:,
∵小影在化简过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1;
∴,即,
又∵小冬写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是.
∴,
原来的方程是,
故答案为:
15. 如图,正方形的顶点A,C在抛物线上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n,则________.
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点,分别过点和点作轴的垂线,垂足分别为和,证得;由题意得:,进而得,即可求解;
【详解】解:分别过点和点作y轴的垂线,垂足分别为和,
∵,
∴;
∵,
∴;
∴;
由题意得:,
∴,
∴,
整理得:,
∵,
∴,
∴,
故答案为:1
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)当时,用配方法解方程.
【答案】(1)且
(2),
【解析】
【分析】(1)根据题意,可得,注意一元二次方程的系数问题,即可解答,
(2)将代入,利用配方法解方程即可.
【小问1详解】
解:依题意得:,
解得且;
【小问2详解】
解:当时,原方程变为:,
则有:,
,
,
方程根为,.
【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数,用配方法解一元二次方程,熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键.
17. 如图所示为一几何体的三种视图.(单位:)
(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据,可以得出左视图中的 , ;
(2)根据图中所标数据,求这个几何体的侧面积.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)由三视图可知,该几何体为三棱柱,底面为边长为4的等边三角形,高为10,因此,b等于底面三角形的高;
(2)三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积.
【小问1详解】
解:由三视图可知,该几何体为三棱柱,底面为边长为4的等边三角形,高为10,
因此,,
故答案为:,;
【小问2详解】
解: ,
即这个几何体的侧面积为.
【点睛】本题考查简单几何体的三视图,求三棱柱的侧面积等知识点,解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状.
18. 某一电路中,电源电压U保持不变,电流I、电压U与电阻R之间满足关系,电流I(单位:)与电阻R(单位:)之间的函数关系如图所示,当电路中的电流不超过时,电路中电阻R的取值范围是什么?
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查反比例函数的应用,理解题意,确定函数解析式,然后代入求解,结合图象求解即可.
【详解】解:由图象,可知函数解析式的图象经过点,
∴.
∴I与R的函数解析式为,
∴当时,,
根据图象得:当电路中的电流不得超过时,.
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.小明在了解了甲骨文后,制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母表示,正面文字依次是文、明、自、由,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同),现将四张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)小明从中随机抽取一张卡片,抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ;
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回,小亮再从中随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算,树状图法或列表法求解概率:
(1)根据概率计算公式求解即可;
(2)先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数,再找到两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果数,最后依据概率计算公式求解即可.
【小问1详解】
解:∵一共有4张卡片,卡片上的文字是“文”的卡片有1张,且每张卡片被抽到的概率相同,
∴小明从中随机抽取一张卡片,抽取的卡片上的文字是“文”的概率为,
故答案为:
【小问2详解】
解:解法一:画树状图下:
由树状图可知,共有12种等可能的结果,两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,
两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词.
解法二:列表如下:
文
明
自
由
文
(文,明)
(文,自)
(文,由)
明
(明,文)
(明,自)
(明,由)
自
(自,文)
(自,明)
(自,由)
由
(由,文)
(由,明)
(由,自)
由表可知,共有12种等可能的结果,两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种,两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词.
20. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏,滑梯的坡角越小,安全性越高.从安全性及适用性出发,小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研,制定了如下改造方案,请你帮小亮解决方案中的问题.
方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图,将滑梯顶端拓宽为,使,并将原来的滑梯改为,(图中所有点均在同一平面内,点在同一直线上,点在同一直线上)
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度;
【步骤二】在点处用测角仪测得;
【步骤三】在点处用测角仪测得.
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面?(即求的长)
(参考数据:)
【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,矩形的性质与判定,过点E作于H,则四边形是矩形,可得,再解直角三角形求出的长即可得到答案.
【详解】解:如图所示,过点E作于H,则四边形是矩形,
∴,
在中,,
∴,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴,
答:调整后的滑梯会多占的一段地面.
21. 如图,在菱形中,对角线交于点O,过点A作于点E,延长BC到点F,使,连接.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若,求的长.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)根据菱形的性质得到且,等量代换得到,推出四边形是平行四边形,根据矩形的判定定理即可得到结论;
(2)设,则,求出(负值已舍去),,根据直角三角形的性质即可得到的长.
【小问1详解】
证明:∵四边形是菱形,
∴且,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴,
∴四边形是矩形.
【小问2详解】
解:设,则,
∵四边形是菱形,
∴,
∵四边形是矩形.
∴,
∴
∵,
∴
∴(负值已舍去),
∴
在中, 是的中点,
∴,
即的长为.
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,菱形的性质,勾股定理、直角三角形的性质等知识;正确的识别图形是解题的关键.
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22. 如图,是的直径,是上异于的点.外的点在射线上,直线与垂直,垂足为,且.设的面积为的面积为.
(1)判断直线与的位置关系,并证明你的结论;
(2)若,求常数的值.
【答案】(1)与相切,理由见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)与相切,理由如下:连接,先证得,又证,进而有,于是即可得与相切;
(2)先求得,再证,得,从而有,又,即可得解.
【小问1详解】
解:与相切,理由如下:
连接,
∵是的直径,直线与垂直,
∴,
∵,
∴,
∴
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴与相切;
【小问2详解】
解:∵,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴
又∵,
∴,
∴
∵,
∴.
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角,垂线的性质,相似三角形的判定及性质,切线的判定,勾股定理,熟练掌握直径所对的圆周角是直角,垂线的性质,相似三角形的判定及性质,切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键.
23. 某游乐场将修建一款大型过山车.下图为这款过山车的一部分轨道设计图,为笔直轨道,为第一段抛物线轨道,为第二段抛物线轨道(接口处轨道忽略不计为均为抛物线顶点),在同一直线上且平行于地面,为米,若以点为原点,地面水平线为轴,点竖直方向为轴,以米为一个单位长度,建立如图所示的平面直角坐标系,其中点为,点为.
(1)设第一段抛物线轨道函数解析式为,请求出该函数解析式;
(2)设计规定点离地距离需在到米之间(含米和米),请求出点横坐标的范围;
(3)在()()的基础上,取最高点,已知第二段抛物线轨道函数为,为保证安全,抛物线轨道最低点不低于米,请确认第二段抛物线轨道是否符合要求,并说明理由.
【答案】(1);
(2);
(3)第二段抛物线轨道不符合要求,理由见解析.
【解析】
【分析】()由为抛物线顶点,点为,可得,把代入计算即可求解;
()分别求出和时点对应的横坐标即可求解;
()利用待定系数法求出第二段抛物线轨道函数解析式,求出顶点坐标即可判断;
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的应用,利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键.
【小问1详解】
解:∵为抛物线顶点,点为,
∴,,
∴第一段抛物线轨道函数解析式为,
把代入得,
,
解得,
∴第一段抛物线轨道函数解析式为;
【小问2详解】
解:由()得,
当时,,
解得,,
∵,
∴不合,舍去,
∴;
当时,,
解得,,
∵,
∴不合,舍去,
∴;
∴点横坐标的范围为;
【小问3详解】
解:第二段抛物线轨道不符合要求,理由:
∵,
∴第二段抛物线轨道函数为,
∵取最高点,
∴,
∵在同一直线上且平行于地面,为米,
∴,
把,代入得,
,
,
∴第二段抛物线轨道函数为,
∴第二段抛物线轨道的顶点的坐标为,
∵,
∴第二段抛物线轨道不符合要求.
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兴宁市宋声学校九年级数学试卷
说明:1.考试范围:上册第一章~下册第三章.
2.考试时间120分钟,满分120分.
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 如图,在中,,是边上的中线,且,则的长是( )
A. B. 5 C. D. 10
2. 若方程□是关于x的一元二次方程,则“□”可以是( )
A. B. C. D. x
3. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”,其主视图为( )
A. B. C. D.
4. 如图,四边形是平行四边形,从①,②,③,这三个条件中任意选取两个,能使是正方形的概率为( )
A. B. C. D.
5. 如图所示的4个三角形中,是相似三角形的是( )
A. ①和④ B. ②和③ C. ③和④ D. ①和③
6. 如图,某商场有一自动扶梯,其倾斜角为,高为7米.用计算器求的长,下列按键顺序正确的是( )
A. B. C. D.
7. 在同一平面直角坐标系中,函数和的大致图象如图所示,则函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
8. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以点O为圆心、为半径的圆弧,N是的中点,.“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式:.当,时,则的值为( )
A B. C. D.
9. 将一张半透明的矩形纸片在平而直角坐标系中按如图所示的位置摆放,其中点,在轴的负半轴上,且,.双曲线分别与边,交于点,连接,在矩形纸片沿着轴左右平移过程中,当点恰为中点时,有,则双曲线的表达式为( )
A. B. C. D.
10. 如图,已知点A(12,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=8时,这两个二次函数的最大值之和等于( )
A. 5 B. 2 C. 8 D. 6
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.
11. 反比例函数图象,当时,随的增大而增大,则的取值范围是________.
12. 已知一条线段能与,,这三条线段组成成比例线段,这条线段的长可以是________.(写出一个即可)
13. 如图,一束光线照在坡度为的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线,则这束光线与坡面的夹角是______度.
14. 小影与小冬一起写作业,在解一道二次项系数为1的一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是和.原来的方程是________.
15. 如图,正方形的顶点A,C在抛物线上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n,则________.
三、解答题(一):本大题共3小题,每小题7分,共21分.
16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求的取值范围;
(2)当时,用配方法解方程.
17. 如图所示为一几何体的三种视图.(单位:)
(1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据,可以得出左视图中的 , ;
(2)根据图中所标数据,求这个几何体的侧面积.
18. 某一电路中,电源电压U保持不变,电流I、电压U与电阻R之间满足关系,电流I(单位:)与电阻R(单位:)之间的函数关系如图所示,当电路中的电流不超过时,电路中电阻R的取值范围是什么?
四、解答题(二):本大题共3小题,每小题9分,共27分.
19. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统,是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.小明在了解了甲骨文后,制作了如图所示的四张卡片(这四张卡片分别用字母表示,正面文字依次是文、明、自、由,这四张卡片除正面内容不同外,其余均相同),现将四张卡片背面朝上,洗匀放好.
(1)小明从中随机抽取一张卡片,抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ;
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回,小亮再从中随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率.
20. “滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏,滑梯的坡角越小,安全性越高.从安全性及适用性出发,小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研,制定了如下改造方案,请你帮小亮解决方案中的问题.
方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图,将滑梯顶端拓宽为,使,并将原来的滑梯改为,(图中所有点均在同一平面内,点在同一直线上,点在同一直线上)
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度;
【步骤二】在点处用测角仪测得;
【步骤三】在点处用测角仪测得.
解决问题
调整后滑梯会多占多长一段地面?(即求的长)
(参考数据:)
21. 如图,在菱形中,对角线交于点O,过点A作于点E,延长BC到点F,使,连接.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若,求的长.
五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23题14分,共27分.
22. 如图,是直径,是上异于的点.外的点在射线上,直线与垂直,垂足为,且.设的面积为的面积为.
(1)判断直线与的位置关系,并证明你的结论;
(2)若,求常数值.
23. 某游乐场将修建一款大型过山车.下图为这款过山车的一部分轨道设计图,为笔直轨道,为第一段抛物线轨道,为第二段抛物线轨道(接口处轨道忽略不计为均为抛物线顶点),在同一直线上且平行于地面,为米,若以点为原点,地面水平线为轴,点竖直方向为轴,以米为一个单位长度,建立如图所示的平面直角坐标系,其中点为,点为.
(1)设第一段抛物线轨道函数解析式为,请求出该函数解析式;
(2)设计规定点离地距离需在到米之间(含米和米),请求出点横坐标的范围;
(3)在()()的基础上,取最高点,已知第二段抛物线轨道函数为,为保证安全,抛物线轨道最低点不低于米,请确认第二段抛物线轨道是否符合要求,并说明理由.
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