精品解析：辽宁省沈阳市翔宇中学2025-2026学年高三上学期8月暑假假前诊断型考试数学试题

辽宁·翔宇中学2026届8月份高三暑假假前诊断型考试 数学试题卷 一、单选题 1. 已知集合，下列选项中为的元素的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 2. 在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角终边上A点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正的中心位于点，，动点从点出发沿的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的射影为y（O为坐标原点），则关于的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的整数部分是（ ） A. 1997 B. 1998 C. 1999 D. 2000 6. 设全集集合，（ ） A. B. C D. 7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题 9. 设全集，集合，若，则（ ） A. B. C. 的真子集个数为32 D. 10. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则是等边三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 三、填空题 12. 如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，与相等的向量为______，与相反的向量为______，与共线的向量为______． 13. 若等差数列满足，则的最大值是______． 14. 已知集合，，若，则实数的值是________. 四、解答题 15. 已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，的解析式； （2）若方程有解，求实数m的取值范围． 16. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 17 设函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若当时，恒有，试确定的取值范围． 18. 设动点到坐标原点的距离和它到直线的距离之比是一个常数，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系； （2）若时，得到的曲线为，将曲线向左平移一个单位得到曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点，，过的直线分别交曲线于，设，，求的取值范围． 19 设集合，. （1）求证：； （2）单调递增时，是否有？证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁·翔宇中学2026届8月份高三暑假假前诊断型考试 数学试题卷 一、单选题 1. 已知集合，下列选项中为的元素的是（ ） ① ② ③ ④ A ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合元素的定义，判断所给选项中的元素是否在集合中. 【详解】已知集合， 所以集合A有两个元素：和． 故选：B. 2. 在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理可知结果. 【详解】根据已知，，，，， 根据二分法可知该近似解所在的区间是. 故选：C 3. 已知角终边上A点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式先化简，进而得α的终边在第二象限，利用三角函数的定义得即可求解. 【详解】，， 即α的终边在第二象限，又，且， 所以． 故选：D. 4. 如图，正的中心位于点，，动点从点出发沿的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的射影为y（O为坐标原点），则关于的函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点时的值及的值，再研究点从点向点运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项． 【详解】设边与轴交点为点，由已知可得，因而可得，由此正三角形的边长为， 连接，可得，即，则， 由图可知当时，射影取到最小值，其大小为，由此可排除A，B选项； 又当点从点向点运动时，变化相同的值，此时射影长的变化变小， 即图象趋于平缓，由此可排除D. 故选：C. 5. 若，则的整数部分是（ ） A. 1997 B. 1998 C. 1999 D. 2000 【答案】B 【解析】 【分析】利用放缩法进行放缩即可求解． 【详解】 ， 又 ， 所以，则的整数部分为， 故选：B． 6. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用奇函数定义得到是奇函数，求导得到在上单调递减，将原不等式转化为，利用的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】设，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得， 即，， 因为在上单调递减，所以，解得， 故选：C. 8. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】 即 即 又，故， 所以 所以 ， 因为 又因为， ， 所以， 所以，解得. 故选：A. 二、多选题 9. 设全集，集合，若，则（ ） A. B. C. 的真子集个数为32 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意知，作出Venn图，如图，依次判断选项即可. 详解】由题意知，作出Venn图，如图． 由图可知，故A正确，B错误； 集合的真子集个数为，C错误； ，故，D正确. 故选：AD 10. 已知函数有两个不同的零点，则实数的取值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】将函数有两个不同的零点，转化为的图象与直线有两个不同的交点，数形结合求解参数范围. 【详解】依题意，等价于． 令，则的图象与直线有两个不同的交点． 其图象如图, 由图可知，可知BC符合题意． 故选：BC． 11. 记的内角的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则是等边三角形 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合条件可判断A；根据正弦定理可得进而判断B；利用特值法可判断C；根据及余弦定理结合条件可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，故， 而为三角形内角，故为直角，故是等腰三角形，不足以推出等边三角形，故A错误； 对于B，因为，由正弦定理得，所以中线等于斜边的一半，故是直角三角形，故B正确； 对于C，取，则，，因为，故存在，故存在， 此时由余弦定理得，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故C错误； 对于C，因为，故，故， 由余弦定理可得， 故，故三角形内角为钝角，故是钝角三角形，故D正确； 故选：BD 三、填空题 12. 如图，在平行六面体中，，分别为棱，的中点，与相等的向量为______，与相反的向量为______，与共线的向量为______． 【答案】 ①. ，， ②. ，，， ③. ，，，， 【解析】 【分析】空1：由相等向量的定义可判断；空2：由相反向量的定义可判断；空2：由共线向量的定义可判断. 【详解】空1：由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量， 与相等的向量为，，； 空2：由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量， 与相反的向量为，，，； 空3：由共线向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为共线向量， 与共线的向量为，，，，. 13. 若等差数列满足，则的最大值是______． 【答案】1010 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式，设，解得，，得到．设，，，可得最值. 【详解】由等差数列的前项和公式得， 设，则， 所以，，解得，， 所以．设，，， 则， 则的最大值为1010． 故答案为：1010 14. 已知集合，，若，则实数值是________. 【答案】0或1或 【解析】 【分析】由题可知，则或即可求解. 【详解】由题易得，，， 或，或. 故答案为：0或1或. 四、解答题 15. 已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，的解析式； （2）若方程有解，求实数m取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数， 且满足①， 所以，． 所以，即②． 由①②解得，． （2）方程有解，即． 令，当且仅当时取等号， 所以在上有解，即．当时，不成立． 当时，， 当且仅当时取等号， 故实数m的取值范围是． 16. 在中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，代入化简可得结果； （2）由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可求得结果. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 即， 即，， 所以，又，则. 【小问2详解】 由，可得，， 因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，解得. 故的面积为. 17. 设函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若当时，恒有，试确定的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）求导，并求出函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，从而可得出函数的单调区间与极小值和极大值． （2）由条件得知，考查函数的单调性知，得知函数在区间上单调递减，于是得出，解该不等式组即可． 【详解】（Ⅰ）． 令，得或. 当变化时，的变化情况如下表： (－∞，a) a (a,3a) 3a (3a，＋∞) － 0 ＋ 0 － 单调递减 极小 单调递增 极大 单调递减 ∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数． 当时，取得极小值且为； 当时，取得极大值且为； （Ⅱ），其对称轴为. 因为，所以. 所以在区间上是减函数． 当时，取得最大值，； 当时，取得最小值，. 于是有即.又因为，所以. 18. 设动点到坐标原点的距离和它到直线的距离之比是一个常数，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系； （2）若时，得到的曲线为，将曲线向左平移一个单位得到曲线，过点的直线与曲线交于不同的两点，，过的直线分别交曲线于，设，，求的取值范围． 【答案】（1），讨论见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据题意列出关系式并化简为，讨论的取值判断曲线的形状； （2）由题意可得曲线的方程为：，由直线与曲线相交及，得；同理由得：；由直线与曲线相交得的表达式，进而得到的表达式，求出取值范围. 【18题详解】 设，由题设有，即， 故曲线的方程为：. （i）时，曲线的方程为：是抛物线； （ii）时，曲线的方程为：， 当时，，，所以曲线的方程为焦点在轴上的双曲线；  当时，,所以曲线的方程为焦点在轴上的椭圆. 综上，时，曲线是焦点在轴上抛物线；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆. 19题详解】 当时，曲线的方程为：，则曲线的方程为：， 设，则，由，得，， （i）与轴不垂直时，方程为：, 由 ，消去，整理得：． 由根与系数的关系有：，所以，又，所以； 与轴垂直时，，也满足：， 同理可证：，所以. 设：，由，消去整理得：， 据题设有且，整理得， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以，故的取值范围为． 19. 设集合，. （1）求证：； （2）单调递增时，是否有？证明你的结论. 【答案】（1）证明见解析 （2）有，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用复合函数的运算顺序任取，计算证明即得证； （2）利用反证法即可证明. 【小问1详解】 任取，则， 所以，因此，命题得证. 【小问2详解】 有，证明如下： 由（1）知，有； 假设，但，则，， ①若，因为单调递增，所以，与假设矛盾； ②若，因为单调递增，所以，与假设矛盾； 所以不存在，但，所以，都有，即； 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $