精品解析：新疆部分校2024-2025学年高一下学期7月联考数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的乘除运算得求出参数值，即可得. 【详解】因为，所以，则，故. 故选：B 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 4. 对于随机事件，下列说法错误的是（ ） A. 如果事件与事件互为对立事件，那么 B. 如果事件与事件满足，那么 C. 如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D. 对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义，结合概率的基本性质逐项判断. 【详解】对于A，由事件与事件互为对立事件，得，A正确； 对于B，由，得，B正确； 对于C，当事件不互斥时，，则 ，C错误； 对于D，由，得事件与事件相互独立，D正确. 故选：C 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】设，由余弦定理可得最大角为锐角，据此可判断三角形形状. 【详解】由，设， 所以C是的最大内角．因为， 所以，所以C是锐角，则是锐角三角形． 故选：A. 6. 若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得该圆锥底面半径、母线长，则可得高，再利用体积公式计算即可得. 【详解】由题意可得该圆锥底面半径为，母线长为， 则高为，则. 故选：A. 7. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：由题可得、、，，， ，即， 故，则，则， 故. 故选：C. 8. 已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【详解】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关向量与复数的叙述中，正确的有（ ） A. 若为任意向量，则 B. 若z为任意复数，则 C. 若向量，满足，则 D. 若复数，满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用向量数量积的定义判断A；取，应用复数模长、乘方运算判断B；应用向量数量积的运算律转化证明，判断C；令，，即可判断D. 【详解】因为，A正确； 不妨取，则，，，B错误； 由，得，即， 展开得，解得，C正确； 令，，此时，而，D错误. 故选：AC 10. 在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为组）与赋分（记为组）数据如下. 学号 1 2 3 4 原始分组 94 85 76 53 赋分组 100 95 87 70 下列结论正确的是（ ） A. 组数据的极差小于组数据的极差 B. 组数据的平均数小于组数据的平均数 C. 组数据的方差小于组数据的方差 D. 组数据的中位数小于组数据的分位数 【答案】BD 【解析】 【分析】利用极差的定义，平均数的意义，方差的概念，以及中位数的定义和百分位数的意义计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，组数据的极差为，组数据的极差为， 所以组数据的极差41大于组数据的极差30，故A错误. 对于B，组数据的平均数为， 组数据的平均数为，故B正确. 因为组数据的方差 组数据的方差， 所以组数据的方差大于组数据的方差，故C错误. 组数据的中位数为， 因为组数据从小到大排列后的第2个数为87， 所以组数据的分位数为87，大于组中位数，故D正确. 故选：BD. 11. 在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，等体积转化，直接判断；对B，建系，计算量两平面的法向量进行判断即可；对C，计算判断可得结果；对D，利用向量计算正弦值为，然后判断即可. 【详解】对A，如图 ，因为点到平面的距离为定值，为定值， 所以棱锥的体积为定值，故A正确； 对B，建立空间直角坐标系如图所示： 设正方体的棱长为2，所以，其中， ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以，令，所以， ，令，所以 若平面平面CDP，则，不符合题意， 所以B正确； 对C，又，所以，若平面， 所以，所以点不唯一，故C错误； 对D，，平面的一个法向量为， 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值为 令，则，当时，有 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【解析】 【分析】法一，由也是方程的根，然后利用韦达定理可知；法二，将代入方程，利用复数相等概念建立方程求解求可得. 【详解】法一：因复数是关于的方程的根， 则其共轭复数也是方程的根， 所以由韦达定理得. 法二：因为复数是关于的方程的根， 所以， 解得. 13. 已知上底面半径为，下底面半径为的圆台的体积为；上底面边长为，下底面边长为的正四棱台的体积为．若该圆台与正四棱台的高相等，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台和棱台的体积公式即可求解． 【详解】设圆台与正四棱台的高均为h， 则， 故答案为：． 14. 在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求出、坐标，再求数量积，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】如下图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，， ， 因为， 所以， 因为， 所以， 可得， 由，得，解得， ，当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． （1）求角； （2）求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式可得，根据三角形为钝角三角形即可求解； （2）由余弦定理求出即可求解. 【小问1详解】 由，得， 解得， 因为为钝角，所以． 【小问2详解】 因为，，， 所以， 解得， 所以的周长为． 16. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由数量积的运算律求得，再根据数量积的定义求得夹角； （2）模的平方转化为数量积运算后求解． 【小问1详解】 由已知， ， ，， 又，所以； 【小问2详解】 ， 解得或． 17. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助频率之和为计算即可得； （2）借助平均数计算即可得； （3）借助分层抽样的性质可得这6名员工中成绩在与的人数，再借助列举法计算即可得解. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 ， 故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为； 【小问3详解】 ，， 则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、， 这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、， 则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、 、、、、、、、、、、，共种， 其中这2名员工的成绩都在内情况有： 、、、、、，共种； 故这2名员工的参赛成绩都在内的概率为. 18. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）由（1）知平面，得到，再由，证得，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面. （2）过点作，分别证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，求得的长，结合，即可求解. 【小问1详解】 证明：在等边中，因为为的中点，可得， 在正三棱柱中，可得平面，且平面， 所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 证明：由（1）知平面，且平面，所以， 在直角中，由，可得， 在直角中，因为，可得，可得， 在直角中，由，可得， 则满足，所以， 因为，且平面，所以平面. 【小问3详解】 解：过点作，垂足为， 由（2）知平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在直角中，由，可得， 又由（1）知平面，且平面，所以， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以二面角的正切值为. 19. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法来计算； （2）利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论，可得互斥事件概率加法来计算. 【小问1详解】 根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为：， 【小问2详解】 根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜， 此时概率为； ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为； 所以设“甲最终获胜”为事件，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 3. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（    ） A. B. C. D. 4. 对于随机事件，下列说法错误的是（ ） A. 如果事件与事件互为对立事件，那么 B. 如果事件与事件满足，那么 C. 如果，是一个随机试验中的两个事件，那么 D. 对任意两个事件与，如果，那么事件与事件相互独立 5. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 8. 已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关向量与复数的叙述中，正确的有（ ） A. 若为任意向量，则 B. 若z为任意复数，则 C. 若向量，满足，则 D. 若复数，满足，则 10. 在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为组）与赋分（记为组）数据如下. 学号 1 2 3 4 原始分组 94 85 76 53 赋分组 100 95 87 70 下列结论正确的是（ ） A. 组数据的极差小于组数据的极差 B. 组数据的平均数小于组数据的平均数 C. 组数据的方差小于组数据的方差 D. 组数据的中位数小于组数据的分位数 11. 在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 13. 已知上底面半径为，下底面半径为的圆台的体积为；上底面边长为，下底面边长为的正四棱台的体积为．若该圆台与正四棱台的高相等，则__________． 14. 在等腰梯形中，已知，，，．动点和分别在线段和上，且，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． （1）求角； （2）求的周长． 16. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值. 17. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 18. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，． （1）证明：． （2）证明：平面． （3）求二面角的正切值． 19. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $