精品解析：吉林省长春市赫行实验学校2024-2025学年九年级下学期2月考试数学试卷

数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A. 2 B. C. D. 3 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小玲得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 1500 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 903 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 则下列结论中正确的是（　　） A. n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B. 当n=2000时，摸到白球的次数m=1200 C. 当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近 D. 这个盒子中约有28个白球 5. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，如下结论：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 二次函数与x轴有公共点，则m的取值范围为______． 11. 如图，在中，已知，，，则______． 12. 小致周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图①，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线形，水柱在距水池中心处到达最大高度为．从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，小致根据图示建立了平面直角坐标系，如图②．则的高度是______m． 13. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若，，则阴影部分的面积为_______________． 14. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 17. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 18. 如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． （1）若，求的长； （2）若的面积为16，则的面积为______． 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，点E为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点F，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点H，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点M，连结，使． 20. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 21. 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是______．（写出一个即可） （2）化简：． （3）比较与的大小，并说明理由． 22. 在学习图形的旋转时，创新小组的同学们借助三角形和菱形来感受旋转所带来的图形变化规律和性质． ［操作探究］ （1）如图①，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到．当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H． ①猜想：的度数为______． ②证明：． ［问题解决］ （2）在（1）的条件下，已知，．求的长． ［拓展提升］ （3）如图②，在菱形中，，，将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E恰好落在菱形的边上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 23. 如图，在中，，面积为40，点D是边上的一点，当点D不与点B、C重合，连结，在线段上取点P，使，以为边作正方形，使点M和点C在直线的同侧． （1）当时，求边的长； （2）当时，点D到直线的距离为______； （3）当点P与点N关于直线对称时，求的长； （4）若点N到直线的距离是点M到直线距离的倍，则的长为______． 24. 已知抛物线的对称轴为直线．点M、N均在抛物线上，且点M的横坐标为m，点N的横坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，则y的取值范围为______； （3）若点A在二次函数的图像上且在x轴上方，点A的横坐标为a，当点A到x轴距离是到y轴距离2倍时，求a的值； （4）以为对角线构造矩形，使矩形的边与x轴垂直，当矩形与抛物线的另一个交点与点M或点N的连线将该矩形的面积分成两部分时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程得即可解得． 【详解】把代入方程得， 解得． 故选：D． 【点睛】此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 将抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的图象向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 4. 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复上述过程，对试验结果进行统计后，小玲得到下表中的数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 1500 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 903 摸到白球的频率 0.70 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 则下列结论中正确的是（　　） A. n越大，摸到白球的概率越接近0.7 B. 当n=2000时，摸到白球的次数m=1200 C. 当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近 D. 这个盒子中约有28个白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中信息可知多次试验的频率稳定值0.6附近，及概率公式解答即可. 【详解】由表中信息可知n越大时摸到白球的概率越接近0.6，故A选项错误， 当n=2000时，摸到白球的次数是随机事件，m不一定是1200，故B选项错误， 当n很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近，故C选项正确， 根据稳定的频率等于概率，盒子中约有400.6=24个白球，故D选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查用频率估算概率及概率公式，了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率并熟练掌握概率公式是解题关键． 5. 对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先求得抛物线的对称轴和开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案． 【详解】解：二次函数， ，对称轴为直线， 抛物线开口向下， 在对称轴左侧随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ，解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 6. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，如下结论：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤；其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和系数之间的关系，根据图象判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，增减性判断④，最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误，②正确； ∵图象过，且对称轴为， ∴图象过， ∴；故③错误； ∵， ∴；故④正确； 当时，函数有最小值为， ∴， ∴；故⑤错误； 综上：正确的结论有2个； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，直接将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 二次函数与x轴有公共点，则m的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题．先根据二次函数图象与x轴有交点得到相应方程有实数根，进而利用根的判别式得到关于m的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， ∴方程有实数根， ∴， 解得且， 故答案为：且． 11. 如图，在中，已知，，，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于，则，设，则，由可得，，利用勾股定理求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作于， 则， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 小致周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图①，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线形，水柱在距水池中心处到达最大高度为．从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，小致根据图示建立了平面直角坐标系，如图②．则的高度是______m． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标．先用待定系数法求出图中第一象限内的抛物线对应的函数关系式，再令求出即可． 【详解】解：选择图中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线对应的函数关系式为， 当时， ， 即， 故答案为：， 13. 如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上．若，，则阴影部分的面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及圆周角定理，熟知圆周角定理及扇形的面积公式是解题的关键．连接，，由的度数得出的度数，再将阴影部分的面积转化为扇形的面积，最后根据扇形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：连接，， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点P、M．对于下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形性质，解题关键是通过角度关系、边的比例找相似三角形，利用相似性质推导结论 ． ①求出，根据相似三角形的判定推出即可；②求出，得出比例式，把代入，即可求出答案；③通过等积式倒推可知，证明即可；④转化为，证明，问题可证． 【详解】解：∵在的同侧作等腰和等腰，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，故①正确； 由已知：，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即，即，故②错误； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，故③正确； 由可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，故④正确； 即正确的为：①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及实数的绝对值计算、负整数与零指数幂、特殊角三角函数等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键；依次计算负整数指数幂、实数的绝对值、特殊角三角函数值、零指数幂，最后进行加减即可． 【详解】解：原式， ， ． 16. 中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是______； （2）从中随机抽取2张；用列举法求出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得从这4张书签中随机抽取2张的所有等可能的结果，再找出随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵从这4张书签中随机抽取1张共有4种等可能的结果， ∴从中随机抽取1张，抽到“中庸”书签的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，从这4张书签中随机抽取2张共有12种等可能的结果，其中，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果有2种， 则随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为， 答：随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 17. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）这种品牌的手机10月份售价为每部1280元 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题，解题关键是牢记增长率模型，即，其中a是原来的量，x是变化率，b是现在的量． （1）直接代入增长率模型公式即可求解； （2）将9月份的量代入公式计算即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 （元） 答：这种品牌的手机10月份售价为每部1280元． 18. 如图，在中，N为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点P． （1）若，求的长； （2）若的面积为16，则的面积为______． 【答案】（1）12 （2）36 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）证明，推出，求出可得结论； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵的面积为 16 ， ∴的面积． 故答案为： 36 ． 19. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，点E为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点F，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点H，连结，使； （3）在图③中的边上确定一点M，连结，使． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示； （3）如图所示． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）取格点，，连接交于点，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，连接，即可． 【小问1详解】 解：如图①中，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，线段，即为所求． 20. 某校数学兴趣小组通过对如图所示靠墙的遮阳篷进行实际测量，得到以下数据：遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点G，作于点F，解求，再由，求出，然后根据等腰求出，最后由计算即可． 【详解】解：过点A作于点G，作于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 答：阴影的长为． 21. 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）填空：的有理化因式是______．（写出一个即可） （2）化简：． （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一）； （2）； （3） ， 理由：， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式．熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）根据分母有理化的概念进行解答即可； （2）把各个分母分母有理化，然后进行计算即可； （3）先求出各个数的倒数，比较倒数的大小，从而比较与的大小即可． 【小问1详解】 解：， ∴的有理化因式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 略 22. 在学习图形的旋转时，创新小组的同学们借助三角形和菱形来感受旋转所带来的图形变化规律和性质． ［操作探究］ （1）如图①，已知，，将绕着直角边中点G旋转，得到．当的顶点D恰好落在的斜边上时，斜边与交于点H． ①猜想：的度数为______． ②证明：． ［问题解决］ （2）在（1）的条件下，已知，．求的长． ［拓展提升］ （3）如图②，在菱形中，，，将菱形绕着中点M顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点E恰好落在菱形的边上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 【答案】（1）①； ②证明：由旋转的性质可知，， ， ． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）①由圆周角定理，得出的度数；②由旋转的性质可推导出； （2）由，利用计算出，再根据，计算出，最后计算出； （3）当E落在上，由推导出，得到F在的延长线上，根据的面积等于菱形的一半，得到的长度，最后算出． 【详解】解：（1）①由题意可知，， A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上， ， ②略 （2），， 由勾股定理得，， 的锐角顶点D恰好落在的斜边上， ，  A、D、C在以G为圆心，为半径的圆上，  ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得，经检验，是方程的解， ， ． （3）当E落在上时，如图所示，连接、、， 由M是中点和旋转可知，， 又 ， ， 又四边形是菱形， ， 和在同一直线，F在的延长线上， 由（1）①可知（已证）， ， ， 菱形中，，，如图所示， ，，， ， ， 又， ， 在中，，， ， 和菱形等底等高， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质、圆周角定理的性质等知识点，解题的关键是熟知以上定理并能作出相应的图形． 23. 如图，在中，，面积为40，点D是边上的一点，当点D不与点B、C重合，连结，在线段上取点P，使，以为边作正方形，使点M和点C在直线的同侧． （1）当时，求边的长； （2）当时，点D到直线的距离为______； （3）当点P与点N关于直线对称时，求的长； （4）若点N到直线的距离是点M到直线距离的倍，则的长为______． 【答案】（1）； （2） （3）； （4）或 【解析】 【分析】（1）利用等积法求得，再利用勾股定理即可求解； （2）先求得的面积为16，再利用三角形面积公式求解即可； （3）当点P与点N关于直线对称时，直线与直线重合，即点M在直线上，过点A作于点R，过点D作，证明，利用相似三角形的性质求解即可； （4）分两种情况讨论，第一种情况，，在同侧时；第二种情况，当，在异侧，解直角三角形或相似三角形的判定和性质，解方程即可求解； 【小问1详解】 解：当时， ∵在中，，面积为40， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵的面积为40， ∴的面积为， ∴， ∴，即点D到直线的距离为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴当点P与点N关于直线对称时，直线与直线重合，即点M在直线上， 此时， 过点A作于点R，过点D作，如图： ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴； 【小问4详解】 解：①M、N在同侧时，如图，作，，垂足分别为H，G，E，过点A作于点R，过M作于点Q， 则四边形是矩形， ∴， ∵点N到直线的距离是点M到直线距离的倍， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由（3）， ∴， ∴， 解得，， ∴； ②M、N在两侧时，如图，作，，垂足分别为H，G，E，过点A作于点R，过M作于点Q， 则四边形是矩形， ∴， ∵点N到直线的距离是点M到直线距离的倍， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 由（3）， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上，的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识和建立方程思想是解题的关键． 24. 已知抛物线的对称轴为直线．点M、N均在抛物线上，且点M的横坐标为m，点N的横坐标为． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，则y的取值范围为______； （3）若点A在二次函数的图像上且在x轴上方，点A的横坐标为a，当点A到x轴距离是到y轴距离2倍时，求a的值； （4）以为对角线构造矩形，使矩形的边与x轴垂直，当矩形与抛物线的另一个交点与点M或点N的连线将该矩形的面积分成两部分时，求m的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或4． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线求出，再将二次函数解析式配方成为顶点式即可求解． （2）根据二次函数的性质求解即可． （3）由题意得：，根据点到轴距离是到轴距离 2 倍，分两种情况：①当时，，②当时，，求解即可． （4）由题意得：，，，当重合时，得：，故．分两种情况：①当矩形与抛物线的另一个交点D与点N的连线将该矩形的面积分成两部分，则，得出点D是中点，则，再代入函数解析式求解．或②当矩形与抛物线的另一个交点D与点M的连线将该矩形的面积分成两部分，则，即点D是中点，则，再代入函数解析式求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 拋物线顶点坐标为； 【小问2详解】 解：根据（1）可得，拋物线解析式为，顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， 当时，在时，取得最大值，最大值为， 在时，取得最小值，最小值为， 故当时，； 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵点到轴距离是到轴距离 2 倍， ∴分两种情况： ①当时，， 即， ∴（不符题意，舍去）； ②当时，， 解得：（不符题意，舍去），． 综上，或． 【小问4详解】 解：， 由题意得：， 则，， 当重合时， 此时， 解得：， 故． ①如图：当矩形与抛物线的另一个交点D与点N的连线将该矩形的面积分成两部分， 则， 即， 则， 即点D是中点， 则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图：当矩形与抛物线的另一个交点D与点M的连线将该矩形的面积分成两部分， 则， 即， 则， 即点D是中点， 则， ∴， 解得：（舍去）； 综上，或4． 【点睛】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，二次函数最值求解，矩形的性质，二次函数与图形面积综合等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $