精品解析：广东省茂名市电白区第三中学2024-2025学年下学期九年级数学开学摸底考试试题

广东茂名市电白区第三中学2024-2025学年第二学期九年级数学开学摸底考试 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故符合题意； C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 2. 如图，有一块矩形木板，，工人师傅在该木板上锯下一块宽为的矩形木板，并将其拼接在剩下的矩形木板的正下方，形成轴对称图形，其中，分别与M，B，C，N对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，测x的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，设与相切于点，交于，连接，延长交于，设的半径为，在中，当点与重合时的面积最大，此时，利用勾股定理求出半径，再构建不等式，求出x的取值范围进而求解． 【详解】解：如图，设与相切于点，交于，连接，延长交于，设的半径为， 在中，当点与重合时面积最大，此时， 则有， ， 的最大面积为， 由题意得：， ， 故答案为：B． 3. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．记，，旋转后的对应点为，，，交于点．利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点． 由旋转的性质可知四边形为长方形， ， ， ， ， 旋转角可以为， 故选：A． 4. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键． 先求出半径，再利用勾股定理求出的长度，再根据，代入式子即可得到答案． 【详解】解：设，，可得圆的半径， ∴， 在直角三角形中，， ∵， ∴， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，根据关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数求解作答即可，熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是， 故选：． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与系数的关系是解答本题的关键． 根据根的判别式大于零且二次项系数不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且． 故选：C． 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键． 正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故选：B． 8. 如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键． 根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题． 详解】解：∵， ∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为． 故选：B． 9. 下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：、该图形不是中心对称图形，不合题意； 、该图形不是中心对称图形，不合题意； 、该图形不是中心对称图形，不合题意； 、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、圆的切线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．正确分情况讨论，找出抛物线的对称轴的位置是解题关键．如图（见解析），分三种情况：①当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），②当时，则点在与垂直的直线上运动（不含点），③当时，则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点，判断出这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切，由此计算即可得． 【详解】解：由题意可知，有以下三种情况： ①如图，当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ②当时，，为直角三角形， 则点在与垂直的直线上运动（不含点），且M点是与抛物线对称轴的交点； ③当时，，为直角三角形， 则点在以为直径的圆上运动，圆心为的中点； ∵， ∴，的半径为， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形， ∴这个抛物线的对称轴（图中的和）与相切时，只有一个点M，使为直角三角形； ∴， 解得或， ∴或， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上） 11. 圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积的计算公式，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 则， 解得， 故答案为：2． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 13. 抛物线（a，b，c是常数）的顶点在第一象限，且．下列结论∶①；②；③；④若，则．其中结论正确的是_________ （填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等难度题型． 由可知抛物线经过，由顶点在第一象限可得，，即开口方向向下，，，即可判断①；由，，可判断②；由，，可判断③；由抛物线的对称性可判断④，进而可得正确答案． 【详解】解：抛物线的顶点在第一象限，且， ，，， ， ①正确； ， ， ， ， ， ②正确； ， ， ， ， ， ③不正确； ， 抛物线经过，关于直线的对称点为， 若，则， 时，， ④正确； 故答案为：①②④． 14. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，发现摸到白球的频率稳定于0.8， ∴发现摸到白球的频率稳定于0.8， 设白球的个数有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴估计箱子里白球个数为16． 故答案为：16． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，满分21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【小问1详解】 解：， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）先移项，再用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 解答：； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：由得， ∴或， ∴，． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）若点D的横坐标为2，求的周长； （3）当是直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）的周长为； （3）点坐标为，． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点坐标代入即可． （2）先求出直线的表达式，再由点D的横坐标为2，求出纵坐标，再用两点间的距离公式求出的长即可求解； （3）由于轴，所以，若是直角三角形，可考虑两种情况∶ ①以点为直角顶点时，此时，此时点位于轴上(即与点重合)，由此可求出点的坐标； ②以点为直角顶点时，易知，则，所以平分，那么此时关于轴对称，然后设的横坐标，根据抛物线和直线的解析式表示出的纵坐标，由于两点关于轴对称，则纵坐标互为相反数．可据此求出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 可设顶点式为， 将代入顶点式， 得， 解得：， ， 即； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， 点在点的右边， ，， ， 设直线的函数关系式为， 将，代入上式， 得， 解得， 直线的函数关系式为， 在直线上， 时，， ， ， 的周长； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①当点为直角顶点时，点与点重合（如图）， ， ； ②当点为的直角顶点时（如图）， ，， ， 当时，， 平分， 又轴， ， 关于轴对称， 在直线上，在上， 设，， ， 即， 解得，（舍）， 当时，， 的坐标为（抛物线顶点）， 综上所述，点坐标为：，． 【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定，直角三角形的判定等重要知识，会用分类讨论、数形结合的数学思想分析问题是解题的关键． 20. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”． （1）补全条形统计图． （2）扇形统计图中“不合格人数”的度数为_______． （3）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，求刚好抽中甲乙两人的概率． 【答案】（1）见详解； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图；读懂统计图中的信息，画出树状图或表格是解题的关键． （1）先由优秀人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以不合格人数所占百分比求出其人数，从而补全图形； （2）用乘以样本中“不合格人数”所占百分比即可得出答案； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次抽查总人数为：（人）， 不合格的人数为：（人）， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果， 所以刚好抽中甲乙两人的概率为． 21. 已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标． （3）当为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意解得点、，设抛物线的交点式解析式，代入点利用待定系数法解题即可； （2）先解得抛物线与轴的交点，再利用待定系数法求解直线的解析式，设直线上的，抛物线上的点，解得，用配方法解得最值即可解题； （3）分三种情况讨论：① 当点E为顶点时，②当点C为顶点时，③当点D为顶点时，根据等腰三角形的性质解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 设抛物线关系式为，代入 得：， ， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 令，解得抛物线与轴的交点， 设直线为，把， 代入得， 解得， ∴， 设 ∴当时，S取得最大值 此时； 【小问3详解】 ∵点，，即， ∴， ∵轴， ∴， ① 当点为等腰三角形的顶点时，如解图1， ，则， ∴轴， 又∵， ∴； ② 当点为等腰三角形的顶点时，，如解图2，则，过点作，垂足为， ∴，， ∵， ∴，代入解析式得， （不合题意舍去）； ③当点为等腰三角形的顶点时，，如解图3， 如图，∵， ∴，， ∴， ∴， 解得，（不合题意舍去）； 综上：或或. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 综合与实践． 【实践背景】 人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示． 【实践操作】 现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法作出脚板（即在的下方作）；（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【升级版设计】 如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点A为顶点：线段 （实际生产时取）； （1）求该二次函数的解析式； （2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖长方体形纸箱用于包装此升级版的座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图，不考虑缝接处的用料），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小） 【答案】实践操作：见详解 升级版设计： （1） （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，待定系数法，二次函数的应用等； 实践操作：作一个角等于已知角，即可求解； 升级版设计： （1）设该二次函数的解析式为，将代入，即可求解； （2）当座椅位于图位置时，体积最小，求出长宽高，画出图，即可求解； 会用作一个角等于已知角，能用二次函数解决实际问题是解题的关键． 【详解】实践操作： 解：如图， 为所求作； 升级版设计： （1）解：是顶点， 设该二次函数的解析式为， 图象经过， ， 解得：， 故该二次函数的解析式为； （2）由题意得，当座椅位于图位置时，体积最小， 此时，所需长方体的长为：（）， 宽为：，高为：； 设计图如下： 23. 阅读下列材料： 在数学课上，老师要求学生探究如下问题： （1）【提出问题】如图1，在等边三角形内有一点且，，．求的度数．李华同学一时没有思路，当他跟同学讨论后，发现以的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，易得是等边三角形，是直角三角形．请帮李华同学求出的度数． （2）【类比问题】如图3，在正方形内有一点且，，．求的度数； （3）【探索问题】如图4，在正六边形内有一点且，，，则______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，证明是等边三角形，得出，，证明是直角三角形，，得出； （2）由旋转的性质可得，，，，然后证明得到，则； （3）根据六边形是正六边形，，，则，将绕点逆时针旋转120度得到，则，，，，，然后过点作于，可得，，则，然后得到，则，可以得到． 【小问1详解】 解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，如图2， 由旋转的性质得：， ，，，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形，， ， ； 【小问2详解】 解：在正方形内有一点且．将绕点逆时针旋转，得到了，连接．如图3， ，，，， ，， ，，， ， ， ； 【小问3详解】 解：六边形是正六边形， ，， ， 在正六边形内有一点且，，，如图4，将绕点逆时针旋转120度得到， ，，，， ， 过点作于点， ，， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东茂名市电白区第三中学2024-2025学年第二学期九年级数学开学摸底考试 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有一块矩形木板，，工人师傅在该木板上锯下一块宽为矩形木板，并将其拼接在剩下的矩形木板的正下方，形成轴对称图形，其中，分别与M，B，C，N对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，测x的值可能是（ ） A B. C. D. 3. 如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（ ） A. B. C. D. 4. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为( ) A. B. C. D. 9. 下列图形中，是中心对称图形是（    ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是（ ） A. B. 或 C. 2 D. 2或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上） 11. 圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则这个圆锥的母线长为______． 12. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 抛物线（a，b，c是常数）的顶点在第一象限，且．下列结论∶①；②；③；④若，则．其中结论正确的是_________ （填序号）． 14. 一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为_______个． 15. 如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，满分21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） 17. 解方程： （1） （2） 18. 解方程：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）若点D的横坐标为2，求的周长； （3）当是直角三角形时，求点P坐标． 20. 某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”． （1）补全条形统计图． （2）扇形统计图中“不合格人数”的度数为_______． （3）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，求刚好抽中甲乙两人的概率． 21. 已知：如图，抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式． （2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标． （3）当为何值时，是等腰三角形． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，满分27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. 综合与实践． 【实践背景】 人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示． 【实践操作】 现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背与脚板平行，请在图4中用尺规作图法作出脚板（即在的下方作）；（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【升级版设计】 如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背由直变曲，并赋予座面一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线是二次函数的部分图象，点A为顶点：线段 （实际生产时取）； （1）求该二次函数的解析式； （2）如果座椅两扶手之间相距，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此升级版的座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图，不考虑缝接处的用料），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小） 23. 阅读下列材料： 在数学课上，老师要求学生探究如下问题： （1）【提出问题】如图1，在等边三角形内有一点且，，．求的度数．李华同学一时没有思路，当他跟同学讨论后，发现以的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，易得是等边三角形，是直角三角形．请帮李华同学求出的度数． （2）【类比问题】如图3，在正方形内有一点且，，．求的度数； （3）【探索问题】如图4，在正六边形内有一点且，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$