专题3.3 整式的加减（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题3.3 整式的加减 教学目标 1.理解整式、单项式、多项式的概念。 2.掌握合并同类项和去括号法则。 3.能运用整式的加减解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）理解单项式的系数和次数，多项式的项数和次数； （2）熟练进行整式的加减运算； （3）能够进行整式的化简求值。 2.难点 （1）运用整式的加减运算法则解决实际问题； （2）学会运用代数式的运算性质解决几何类、无关型等问题。 知识点01 整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在代数式，，，，，π中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列各式：，，8，，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点02 合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即学即练】 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）化简：． 4．（24-25七年级下·江苏·阶段练习）化简： (1)； (2)． 知识点03 去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）变形后的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期末）去括号填空： ． 知识点04 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）化简：． 8．已知多项式A为，B为． (1)求； (2)当时，求的值． 知识点05 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即学即练】 9．先化简，再求值：，其中，． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）先化简再求值：，其中，． 题型01 单项式的判断 【典例1】下列式子中是单项式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式1】在，，，，，这些代数式中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】式子，，，，，，中，单项式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】已知，是常数，满足是单项式，则的值是 ． 题型02 单项式的系数、次数 【典例1】单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式1】若是关于的一个单项式，且系数是，次数是，则 ， ． 【变式2】写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 【变式3】已知关于，的三次单项式，求的值． 题型03 单项式规律题 【典例1】按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】观察下列单项式：，，，，，，……则第个单项式为 ． 【变式3】观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 题型04 多项式相关概念 【典例1】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式 C．单项式的次数是1，无系数 D．是多项式 【变式2】在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 【变式3】在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 题型05 多项式系数、指数中字母求值 【典例1】如果是一个三次四项式，那么 ． 【变式1】若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【变式2】已知多项式是关于，的三次三项式，求的值． 【变式3】已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．求、的值． 题型06 多项式的升降幂排列 【典例1】多项式的排列顺序是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【变式1】把多项式按字母x的降幂排列为 . 【变式2】将多项式按字母m升幂排序： ． 【变式3】已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是__________，三次项的系数是__________； (2)将这个多项式按x的降幂排列． 题型07 整式的判断 【典例1】关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．单项式的次数为1 C．多项式是二次二项式 D．，，是的项 【变式1】在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】在式子①，②，③，④⑤，⑥，⑦0中，整式有 个． 【变式3】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，，，，，，， 单项式：{             …}； 多项式：{             …}； 整式：{             …} 题型08 同类项 【典例1】下列各组整式中不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．16与 【变式1】下列各组中的两项，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】写出的三个同类项： ， ， ． 【变式3】指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 题型09 合并同类项 【典例1】计算： (1) (2) 【变式1】化简：． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)． 题型10 去括号与添括号【典例1】去括号后应为（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则代数式的值为 ． 【变式3】先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 题型11 整式的加减运算 【典例1】化简： (1)． (2)． (3) 【变式1】化简： (1)； (2)． 【变式2】已知，，． (1)化简； (2)当，，求式子的值． 【变式3】人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把和各看作一个整体，对下列式子进行化简： ， “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】把看成一个整体，求将 合并的结果______； (2)【简单应用】①已知，则______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知，，求代数式的值． 题型12 整式加减中的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中，． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【变式2】已知，则 ． 【变式3】化简求值 (1)先化简，再求值：，其中，． (2)求代数式的值：，其中，． 题型13 整式加减中的无关型问题 【典例1】多项式的值（   ） A．只与x的值有关 B．只与y的值有关 C．与x、y的值有关 D．与x、y的值无关 【变式1】已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】多项式 合并同类项后不含项，则常数k的值为 ． 【变式3】已知：． (1)当时，求的值； (2)若（1）中的代数式的值与a的取值无关，求b的值． 题型14 整式加减的应用 【典例1】如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个等长，等宽的长方形，得到一个字母“E”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形（如图3），则图3中的长方形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），不重叠的放在一个底面为长方形的盒子底部（如图②），长方形的长为，宽为．盒子底面未被卡片覆盖的部分涂上阴影，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A．18 B．20 C．22 D．24 【变式2】七（1）班学生参加合唱团的有a人，参加数学课外活动小组的有b人，参加合唱团的人数是参加足球队人数的3倍，且每位学生最多只能参加一项活动，则三个课外小组的人数共 人．当，时，三个课外小组的人数共 人． 【变式3】如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留 (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留 (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 题型15 数字类规律探索 【典例1】探索发现，，…… 类比上述规律，回答下列问题： (1)__________， __________； (2)计算． 【变式1】阅读理解：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1) ，● ，〇 ． (2)请写出第2023个格子中的数． (3)前n个格子中所填整数之和能否为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为前n项的累差值．例如，前三项的累差值为． 若取前十项，请求出前十项的累差值为多少？（请写出必要的计算过程） 【变式2】点在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧． (1)动点从点出发，向左移动5个单位，记为：，那么表示________； (2)动点从点出发，来回移动了4次，分别记为，，，，最后点停留的位置到点的距离是多少？ (3)动点从点出发，来回移动了99次，分别记为，，，，，最后点停留的位置，在数轴上对应的哪个数？ 【变式3】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想： （用含n的式子表示）； (2)依规律，直接写出的值为 ； (3)依规律，求的值． 题型16 图形类规律探索 【典例1】如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 【变式1】用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第一个图中有5个棋子，第二个图中有8个棋子，第三个图中有11个棋子，…则第n个图中棋子的个数是 ． 【变式2】如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第个图案中有 个涂色的小正方形． 【变式3】如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　) (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　) 题型17 整式加减的新定义问题 【典例1】阅读材料，完成任务 材料一 如果一个两位数的个位数是，十位数是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 材料二 定义：对任意一个四位数 （其中，且均为整数），若，则称为“久久数”． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空：3267 （“是”或“不是”）“久久数”，2435 （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 求证：任意一个“久久数”都能被99整除． 证明：依题意可得：，用含的代数式表示 ， ∴（ ）＝…… 请完成填空并补全证明过程： 【变式1】阅读理解 定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，⋯．依此类推，回答下列问题： (1)________，________，________； (2)求的值． 【变式2】中考新考法·新定义 定义：是关于a，b的多项式，如果，那么叫作“对称多项式”．例如，如果，则，显然，，则是“对称多项式”． (1)是“对称多项式”，试说明理由； (2)请写出一个“对称多项式”，___________（不多于四项）． 【变式3】定义：对于依次排列的多项式、、、（a、b、c、d是常数），当它们满足，且是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如，对于多项式、、、来说，因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是这组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子______； (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值及该组平衡数的平衡因子； (3)当a、b、c、之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由． A 基础部分 1．单项式的系数是（   ） A． B． C． D． 2．对于多项式，下列说法正确的是（   ） A．次数是1 B．一次项是2 C．二次项系数是1 D．该多项式是二次二项式 3．如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知单项式与是同类项，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．若与是同类项，则的值为 ． 7．某同学把错抄为，若正确答案为，抄错后的结果为，则 ． 8．把多项式按m降幂排列后，第三项为 ． 9．化简： (1)； (2)． 10．先化简，再求值：，其中，． B 提高部分 11．小明在计算时错写成，则结果比原来（   ） A．少24 B．少5 C．多5 D．结果不变 12．下列说法中，正确的是（    ） A．是多项式 B．次数最高的项是 C．的次数是7 D．单项式的系数是 13．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子中的数为（　　） 2 a b c 3 … A．3 B． C．2 D．253 14．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 15．用12米长的木料（宽度不计）做成一个如图所示的长方形窗框．如果设窗框横档、、的长度均为米，那么窗框的长是 米（用含的代数式表示）． 16．若关于x、y的多项式中不含项，则 ． C 培优部分 17．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 18．已知代数式，，，． (1)求的值；（结果用x，y表示） (2)若的值与x的取值无关，求的值． 19．阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 20．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 整式的加减 教学目标 1.理解整式、单项式、多项式的概念。 2.掌握合并同类项和去括号法则。 3.能运用整式的加减解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）理解单项式的系数和次数，多项式的项数和次数； （2）熟练进行整式的加减运算； （3）能够进行整式的化简求值。 2.难点 （1）运用整式的加减运算法则解决实际问题； （2）学会运用代数式的运算性质解决几何类、无关型等问题。 知识点01 整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在代数式，，，，，π中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键． 根据整式包括单项式和多项式进行解答即可． 【详解】解：代数式中， 整式有：，共 4 个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列各式：，，8，，，，，，其中整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了整式的定义． 根据整式的定义（分母不含字母的单项式或多项式），逐一判断各代数式是否为整式． 【详解】解：：分母为数字2，是单项式，属于整式； ：是单项式，属于整式； 8：常数项，是单项式，属于整式； ：分母含字母，不属于整式； ：是多项式，属于整式； ：分母为数字5，属于整式； ：分母为常数π，属于整式； ：含分母的项，不属于整式． 综上，整式有6个， 故选D． 知识点02 合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即学即练】 3．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，掌握运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项即可解答． 【详解】解：原式 ． 4．（24-25七年级下·江苏·阶段练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 本题主要考查整式的加减计算，合并同类项，去括号，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点03 去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即学即练】 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）变形后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 根据去括号法则：括号外如果是“”，去括号以后括号内各项不变号；括号外如果是“”，去括号后括号内各项要变号，直接去括号即可得到结论． 【详解】解：根据去括号法则得 ， 故选：B． 6．（24-25七年级上·江苏南通·期末）去括号填空： ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号法则是解答本题的关键．如果括号外的因数是正数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 根据去括号法则将式子可以写成省略括号的形式，本题得以解决． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点04 整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即学即练】 7．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减．先去括号，再根据合并同类项的法则进行解答即可． 【详解】解： ． 8．已知多项式A为，B为． (1)求； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运用，以及已知式子的值，求代数式的值，据此即可作答． （1）先把A为，B为，代入，进行去括号化简，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵多项式A为，B为， ∴ （2）解：当时，． 知识点05 代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 【即学即练】 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．掌握整式的运算法则是解本题的关键． 先将括号去掉，再合并同类项，最后将a和b的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 10．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解∶ ， 当，时，原式． 题型01 单项式的判断 【典例1】下列式子中是单项式的有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本是考查了单项式的概念，正确理解单项式的概念是解题的关键．根据单项式的定义逐个判断即可． 【详解】解：是单项式； 是单项式； 是单项式； 是单项式； 是单项式； 展开后为是多项式，不是单项式； 分母含字母x，不是单项式； 2是单项式； 综上，共有6个单项式， 故选：C． 【变式1】在，，，，，这些代数式中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握单项式的定义．根据单项式的定义，逐一判断各代数式是否为单项式即可． 【详解】：含减法运算，是多项式，不是单项式； 0.3：常数项，属于单项式； ：分母含变量，是分式，不是单项式； ：分母含变量，是分式，不是单项式； ：含减法运算，是多项式，不是单项式； ：由常数与变量的乘积构成，是单项式； 综上，单项式有0.3和，共2个． 故选：B． 【变式2】式子，，，，，，中，单项式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的判断，正确理解单项式的定义是解题关键．由数和字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，分数和字母的积的形式也是单项式，由此判断即可． 【详解】解：单项式有、、，共3个 故选：A． 【变式3】已知，是常数，满足是单项式，则的值是 ． 【答案】​或 【分析】本题考查了单项式的定义、合并同类项、求代数式的值，由题意可得，或，，求出，的值，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，是常数，满足是单项式， ∴，或，， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是​或， 故答案为：​或． 题型02 单项式的系数、次数 【典例1】单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】解∶系数是，次数是． 故答案为：，． 【变式1】若是关于的一个单项式，且系数是，次数是，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，根据单项式系数和次数的定义解答即可求解，掌握单项式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一个单项式，且系数是，次数是， ∴，， ∴， 故答案为：，． 【变式2】写出下列各单项式的系数和次数： 单项式 y 系数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 次数 ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ 【答案】30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2 【分析】本题主要考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 根据单项式的系数（数字因数是系数）与次数（所有的字母的指数的和是次数）的定义解答此题． 【详解】解：的系数是30，次数是1； 的系数是，次数是3； 的系数是1，次数是1； 的系数是1，次数是6； 的系数是，次数是4； 的系数是，次数是2． 填表如下： 单项式 y 系数 30 1 1 次数 1 3 1 6 4 2 故答案为：30，1；，3；1，1；1，6；，4；，2． 【变式3】已知关于，的三次单项式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是单项式的定义及其次数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值，解题关键是根据单项式的定义及其次数的定义求出、的值． 先根据单项式的定义及其次数的定义求出、的值，再代入即可求解． 【详解】解：关于，的三次单项式， ， ， ． 题型03 单项式规律题 【典例1】按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数奇数项都是负的、偶数项都是正的，数字因数的绝对值是从1开始的序数的4倍与3的差，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决． 【详解】解：∵ 观察这组单项式：，其系数是，，次数是1，2，3，4，5，， ∴第n个单项式的系数为，次数为其序数n， ∴第n个单项式为． 故选：D． 【变式1】以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是多项式的规律的探究，掌握探究的方法是解本题的关键．观察多项式中的系数和指数变化规律，分别确定a的系数、指数和b的系数、指数与项数n的关系即可解答． 【详解】解：一组按规律排列的多项式：，，，，，； 的系数依次为2，3，4，5，6，，次数都为1； 依此类推，第n项的系数为，次数为1，即对应项为； 的系数都为1，次数依次为3，4，5，6，7，； 依此类推，第n项的系数为，次数为，即对应项为； ∴第n个式子是． 故选：B． 【变式2】观察下列单项式：，，，，，，……则第个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索数字类规律，仔细观察发现规律是解题的关键．根据单项式的系数发现规律即可作答． 【详解】解：由题知， 所给单项式的系数依次为2，，6，，10，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：． 故答案为：． 【变式3】观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． （1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可； （2）通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴第9个单项式是，即； （2）解：∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为， ∴猜想第个单项式为． 题型04 多项式相关概念 【典例1】下列式子：①；②0；③；④；⑤；⑥，多项式的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了多项式，多项式的组成元素是单项式，根据几个单项式的和叫做多项式分析判断． 【详解】解：根据多项式的定义可知：①是多项式；②0是单项式；③是单项式；④是分式；⑤是多项式；⑥是分式， 故多项式的个数是2个． 故选：B． 【变式1】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是4 B．多项式是二次三项式 C．单项式的次数是1，无系数 D．是多项式 【答案】D 【分析】本题考查了单项式和多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据单项式的系数和次数的定义、多项式的次数和项数的定义逐项判断即可求解 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，该选项不符合题意； B、多项式是四次三项式，该选项不符合题意； C、单项式的次数是1，系数是1，该选项不符合题意； D、是多项式，该选项符合题意； 【变式2】在代数式中，下列说法正确的是（    ） A．有2个多项式，5个单项式 B．有7个整式 C．有2个多项式，4个单项式 D．有5个整式 【答案】C 【分析】本题考查单项式，多项式和整式的判断，根据单项式，多项式和整式的定义，进行判断即可． 【详解】解：在中，单项式有，共4个，多项式有共2个，整式有共6个； 故选C． 【变式3】在代数式，，，，0，中，多项式有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了整式、单项式、多项式的识别，只含有加、减、乘、乘方的代数式叫做整式；其中不含有加减运算的整式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；含有加减运算的整式叫做多项式．根据多项式的定义分析即可． 【详解】解：，，是多项式，共3个， 0，是单项式， 的分母含字母，不是整式； 故答案为：3． 题型05 多项式系数、指数中字母求值 【典例1】如果是一个三次四项式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的项数和次数．根据多项式的项数：单项式的个数，次数：最高次项的次数，列式计算即可． 【详解】解：的次数为，的次数为，的次数为2，是常数项， 由是一个三次四项式， 得：， 解得：． 故答案为：2． 【变式1】若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 【变式2】已知多项式是关于，的三次三项式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义，代数式求值．根据题意可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于，的三次三项式， ∴， ∴ ∴． 【变式3】已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同．求、的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了由多项式、单项式次数求参数，涉及多项式次数定义、单项式次数定义等知识点，熟练掌握多项式次数定义、单项式次数定义是解题的关键． 由多项式次数定义“多项式中次数最大项的次数称为多项式的次数”得到，由单项式次数定义“所有字母次数的和称为单项式次数”得到，解方程即可求出、的值． 【详解】解：多项式是五次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与该多项式的次数相同， ， 解得：． 题型06 多项式的升降幂排列 【典例1】多项式的排列顺序是（   ） A．按x的升幂排列 B．按x的降幂排列 C．按y的升幂排列 D．按y的降幂排列 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列，要注意在排列多项式各项时要保持其原有的符号．根据多项式的排列方法即可得到答案． 【详解】解：多项式的排列顺序是按x的升幂排列 故选：A． 【变式1】把多项式按字母x的降幂排列为 . 【答案】 【分析】本题考查了多项式，先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列． 【详解】解：把多项式按字母x降幂排列为， 故答案为：． 【变式2】将多项式按字母m升幂排序： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式，把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．据此先分清多项式的各项，然后各项按字母m的指数从小到大进行排列． 【详解】解：依题意，将多项式按字母升幂排序为：． 故答案为：． 【变式3】已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是__________，三次项的系数是__________； (2)将这个多项式按x的降幂排列． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查的是多项式相关概念，多项式按x的降幂排列，掌握多项式相关定义是解题关键． （1）多项式中最高单项式的次数叫做多项式的次数，三次项系数是指多项式中次数为3的单项式的系数，据此求解； （2）按照的指数从大到小的顺序排列多项式即可． 【详解】（1）解：多项式的次数4，三次项的系数， 故答案为：4；． （2）解：按x的降幂排列为． 题型07 整式的判断 【典例1】关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．单项式的次数为1 C．多项式是二次二项式 D．，，是的项 【答案】B 【分析】本题考查整式、单项式和多项式的相关概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：单项式属于整式，但整式包含单项式和多项式，因此整式不一定是单项式．选项A错误． 选项B：单项式中，是常数，变量的指数为1，故次数为1．选项B正确． 选项C：多项式按降幂排列为，最高次项为二次，且共有三项，应为二次三项式．选项C错误． 选项D：多项式的项为、、，而选项D中的符号与原式不符，因此选项D错误． 故选：B 【变式1】在代数式，，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的识别，解题的关键在于准确理解整式的定义，即分母中不含变量的代数式为整式，并能正确判断每个代数式是否符合这一条件．根据整式的定义（分母不含字母的代数式），逐一判断各代数式是否为整式． 【详解】解： ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数项，属于单项式，是整式； ：分母含字母，是分式，不是整式； ：分母为数字，可化简为，是多项式，属于整式． 综上，整式共有5个， 故选：C． 【变式2】在式子①，②，③，④⑤，⑥，⑦0中，整式有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查整式的概念：单项式和多项式统称为整式．根据整式的概念求解可得． 【详解】解：所列代数式中整式有①，②，③，⑥，⑦0，共5个， 故答案为：5． 【变式3】把下列各式分别填在相应的大括号里： 4，，，，，，， 单项式：{             …}； 多项式：{             …}； 整式：{             …} 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可． 【详解】解：单项式：4，； 多项式：，，，； 整式：4，，，，，． 题型08 同类项 【典例1】下列各组整式中不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．16与 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的判断．根据同类项的定义，所含字母相同，且相同字母的指数相同的单项式是同类项，即可求解． 【详解】解：A、是同类项，故本选项不符合题意； B、是同类项，故本选项不符合题意； C、相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意； D、是同类项，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式1】下列各组中的两项，不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．首先确定各选项里的两个单项式的字母部分是否相同；接下来看相同字母的指数是否相同，即可作出判断． 【详解】解：A．与，两个单项式均含有字母x、y，且x、y的指数分别相同，是同类项，故本选项不合题意； B．与，两个单项式都含有字母x，但x的指数不相同，故不是同类项，故本选项符合题意； C．与，两个单项式都含有字母a、b、c，且a、b、c的指数分别相同，是同类项，故本选项不合题意； D．与都是常数项，是同类项，故本选项不合题意． 故选：B． 【变式2】写出的三个同类项： ， ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查同类项，根据字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行求解即可． 【详解】解：写出的三个同类项：，，（答案不唯一）． 故答案为：，，（答案不唯一）． 【变式3】指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与是同类项，与是同类项 (2)与是同类项，8与18是同类项 【分析】本题主要考查同类项； （1）根据同类项的定义解答即可． （2）根据同类项的定义解答即可． 【详解】（1）解：与是同类项， 与是同类项 （2）解：与是同类项， 8与18是同类项 题型09 合并同类项 【典例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，注意合并同类项的法则和去括号的法则是本题的解题关键． （1）按照合并同类项的法则进行计算； （2）先去括号，然后合并同类项． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1】化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减、合并同类项，首先根据去括号法则去掉括号，可得：原式，然后再根据合并同类项法则合并同类项可得结果为． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项： （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式     ． 【变式3】化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型10 去括号与添括号 【典例1】去括号后应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式化简，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据去括号，合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减中的去括号与添括号，去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．根据去括号和添括号法则求解判断即可． 【详解】解∶ ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号正确，故该选项符合题意； ．，原添括号错误，故该选项不符合题意； ．，原去括号错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知，，则代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了整体代入法求代数式的值，添括号法则，先把原式变形为，然后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：5． 【变式3】先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去括号，再合并同类项即可； （）先去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11 整式的加减运算 【典例1】化简： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本本题考查了整式的加减混合运算，掌握去括号和合并同类项法则是解题关键． （1）根据整式的减法运算法则计算即可； （2）根据整式的加减法运算法则计算即可； （3）先按去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【变式1】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据整式的加减运算法则即可得； （2）先去括号，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】已知，，． (1)化简； (2)当，，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，代数式求值，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）把，整体代入（1）的结果求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ． 【变式3】人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把和各看作一个整体，对下列式子进行化简： ， “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【问题解决】把看成一个整体，求将 合并的结果______； (2)【简单应用】①已知，则______； ②已知，求的值； (3)【拓展提高】已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①2022；② (3)13 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：①， ， 故答案为：2022； ②， ； （3）解：，， ． 题型12 整式加减中的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，先去括号再合并同类项，得，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ． 【变式1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 【变式2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，整式求值，根据非负数的性质求出的值是解题的关键. 先根据非负数的性质求出的值，再根据整式的加减化简整式，最后将的值代入计算即可. 【详解】解：，，， ， ， . 故答案为： 【变式3】化简求值 (1)先化简，再求值：，其中，． (2)求代数式的值：，其中，． 【答案】(1)；8 (2)1 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值、代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得； （2）将看作一个整体，先计算整式的加减，再将代入计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ， 将代入得：原式． （2）解：原式， 将代入得：原式． 题型13 整式加减中的无关型问题 【典例1】多项式的值（   ） A．只与x的值有关 B．只与y的值有关 C．与x、y的值有关 D．与x、y的值无关 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．根据整式的加减运算法则化简式子，再结合化简后式子的特征即可得出答案． 【详解】解： ， ∵的值只与y的值有关， ∴多项式的值只与y的值有关． 故选：B． 【变式1】已知，，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减-化简求值．将化为，即可得，求出的值即可． 【详解】解： ∵的值与的取值无关， ， 解得：． 故选：C． 【变式2】多项式 合并同类项后不含项，则常数k的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了整式的加减．直接利用合并同类项法则得出同类项之间系数的关系即可得出答案． 【详解】解： ∵合并同类项后不含项， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】已知：． (1)当时，求的值； (2)若（1）中的代数式的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，无关型问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则进行计算，再代值计算即可； （2）根据代数式的值与a的取值无关，得到含a的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 （2）解：（1）中化简后的结果为， 要使得代数式的值与a的取值无关， 则， ∴． 题型14 整式加减的应用 【典例1】如图1，将边长为m的正方形纸片剪去两个等长，等宽的长方形，得到一个字母“E”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形（如图3），则图3中的长方形的周长可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减运算的应用，根据图1是正方形且边长为和图2剪下小长方形后剩下的部分的长度，可得剪下来的一个小长方形的长为，宽为，再根据长方形的周长公式即可求解． 【详解】解：由图2可知，剪下来的一个小长方形的长为，宽为， 图3中的长方形的周长为： ． 故选：C． 【变式1】如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），不重叠的放在一个底面为长方形的盒子底部（如图②），长方形的长为，宽为．盒子底面未被卡片覆盖的部分涂上阴影，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D 【分析】本题考查列代数式、整式混合运算解决图形问题，读懂题意，数形结合，准确表示阴影部分长方形的长与宽是解决问题的关键．设小长方形卡片长为、宽为，数形结合分别表示出图中左上角和右下角长方形周长，再由整式加减运算求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形卡片长为、宽为， 则由题意可得左上角阴影部分周长为； 右下角阴影部分周长为； 综上所述，图②中两块阴影都分的周长和是， 故选：D． 【变式2】七（1）班学生参加合唱团的有a人，参加数学课外活动小组的有b人，参加合唱团的人数是参加足球队人数的3倍，且每位学生最多只能参加一项活动，则三个课外小组的人数共 人．当，时，三个课外小组的人数共 人． 【答案】 44 【分析】本题考查了整式的加减与实际问题，列代数式，代数式求值． 先表示出参加足球队的人数，然后合并即可求出总人数；再代入数值计算得出答案． 【详解】解：∵七（1）班学生参加合唱团的有a人，参加合唱团的人数是参加足球队人数的3倍， ∴参加足球队的人数为 ∴ ∴三个课外小组的人数共人； 当，时， ∴当，时，三个课外小组的人数共44人． 故答案为：，44． 【变式3】如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． (1)小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米；（结果保留 (2)请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留 (3)当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 【答案】(1)， (2)长方形场地上种草的面积为平方米 (3)该长方形场地上种草的面积为27平方米 【分析】本题主要考查了列出代数式，整式加减的应用，代数式求值， 对于（1），利用长方形和扇形面积公式求解； 对于（2），根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； 对于（3），由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【详解】（1）解：依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：，； （2）解：该长方形场地上种草的面积为：平方米， 故长方形场地上种草的面积为平方米； （3）解：当，时，平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 题型15 数字类规律探索 【典例1】探索发现，，…… 类比上述规律，回答下列问题： (1)__________， __________； (2)计算． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了探索数与式的规律，解答的关键是分析所给的式子总结出存在的规律． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）利用（1）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：，，…… ，． 故答案为：，． （2）解： 【变式1】阅读理解：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． (1) ，● ，〇 ． (2)请写出第2023个格子中的数． (3)前n个格子中所填整数之和能否为2021？若能，求出n的值；若不能，请说明理由． (4)若在前n个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为前n项的累差值．例如，前三项的累差值为． 若取前十项，请求出前十项的累差值为多少？（请写出必要的计算过程） 【答案】(1)，， (2)1 (3) (4)前10项的累差值为 【分析】此题考查了规律型：数字的变化类，以及绝对值，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，进行转化求解； （2）写出前几个数，找出规律即可得出答案； （3）找出相加的规律进行计算即可判断； （4）求出前三项的累差值，并求出前十项的累差值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：1，7，； （2）这一列数为：1，7，，1，7，……， ∴， ∴第2023个格子中的数是1； （3）∵，而，故 （4）根据题意得，； 由于前10个数中1出现了4次，而7与个出现了3次， ∴前10项的累差值． 故答案为：前10项的累差值为． 【变式2】点在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧． (1)动点从点出发，向左移动5个单位，记为：，那么表示________； (2)动点从点出发，来回移动了4次，分别记为，，，，最后点停留的位置到点的距离是多少？ (3)动点从点出发，来回移动了99次，分别记为，，，，，最后点停留的位置，在数轴上对应的哪个数？ 【答案】(1)动点从点出发，向右移动6个单位 (2)2 (3) 【分析】本题考查了数轴上的点的运动，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据动点从点出发，向左移动5个单位，记为：，得出表示的意思； （2）先表示出点在数轴上表示的数为，根据动点从点出发，来回移动了4次，分别记为，，，，进行列式计算，得动点在数轴上表示的数为5，再得出最后点停留的位置到点的距离； （3）先得出第次移动，记为，再分析得出，，共有组的，然后列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，向左移动5个单位，记为：， ∴表示动点从点出发，向右移动6个单位 故答案为：动点从点出发，向右移动6个单位； （2）解：∵点在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧， ∴点在数轴上表示的数为， ∵动点从点出发，来回移动了4次，分别记为，，，， ∴， 即动点在数轴上表示的数为5， ∴， 最后点停留的位置到点的距离是2； （3）解： ∵动点从点出发，来回移动了99次，分别记为，，，，， ∴第次移动，记为 ∴，， 即（组）， 则， ∴， ∵点在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧， ∴点在数轴上表示的数为， ∴ ∴最后点停留的位置，在数轴上对应的． 【变式3】我们把从1开始至n的n个连续自然数的立方和记作Sn，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想： （用含n的式子表示）； (2)依规律，直接写出的值为 ； (3)依规律，求的值． 【答案】(1) (2)3025 (3)24200 【分析】本题主要考查数字规律，理解材料提示，找出规律是关键． （1）根据材料提示得到规律即可求解； （2）结合（1）中的规律，把代入计算即可求解； （3）根据题意，将变形为，结合（2）中计算即可求解． 【详解】（1）解：； ； ； … ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 题型16 图形类规律探索 【典例1】如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第88个图案需要的棋子个数为（    ） A．264 B．7745 C．7832 D．7833 【答案】D 【分析】本题主要考查了图象规律探索，理解序号与数量的关系是解题的关键．根据图的序号与图中数量的增加规律即可求解． 【详解】解：第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； … ∴第个图，数量是； 故选：D． 【变式1】用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第一个图中有5个棋子，第二个图中有8个棋子，第三个图中有11个棋子，…则第n个图中棋子的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是发现图形中棋子个数的变化规律．仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解． 【详解】解：第一个图中有个棋子， 第二个图中有个棋子， 第三个图中有个棋子， 第四个图中有个棋子， …… 按照此规律， 第n个图中棋子的个数是． 故答案为：． 【变式2】如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第个图案中有 个涂色的小正方形． 【答案】 【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，根据所给图形，依次求出图形中涂有阴影的小正方形的个数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现涂有阴影的小正方形个数依次增加是解题的关键． 【详解】解：第一个图案中有涂色的小正方形（个）； 第二个图案中有涂色小正方形（个）； 第三个图案中有涂色小正方形（个）； ； 第个图案中有涂色的小正方形（个）； 故答案为：． 【变式3】如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　) (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　) 【答案】(1)8，11 (2)，80 【分析】该题考查了图形规律，找到图形规律是解题的关键． （1）从图中可以数出第2、3个图中所贴剪纸“〇”的个数． （2）观察图形可知，第1、2、3个图中“〇”的个数分别为5、8、11；发现：每增加一个窗格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把代入式子中，计算出得数． 【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为， 故答案为：，． （2）解：观察图形可知： 第1个图中“〇”的个数为5，； 第2个图中“〇”的个数为8，； 第3个图中“〇”的个数为11，； …… 发现规律：第n个图中“〇”有个． 当时，， 用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是， 当时，所贴剪纸“〇”的个数是， 故答案为：，80． 题型17 整式加减的新定义问题 【典例1】阅读材料，完成任务 材料一 如果一个两位数的个位数是，十位数是，那么我们可以把这个两位数简记为，即． 材料二 定义：对任意一个四位数 （其中，且均为整数），若，则称为“久久数”． 阅读以上材料，完成下列任务： 任务一 填空：3267 （“是”或“不是”）“久久数”，2435 （“是”或“不是”）“久久数”； 任务二 求证：任意一个“久久数”都能被99整除． 证明：依题意可得：，用含的代数式表示 ， ∴（ ）＝…… 请完成填空并补全证明过程： 【答案】（1）是，不是；（2）见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用． （1）根据新定义进行判断； （2）用表示，用表示，再把“久久数”进行因式分解证明． 【详解】解：（1），， 是“久久数”， ， 不是“久久数”， 故答案为：是，不是； （2）证明：由题意得：，即，， ∴ ， 任意一个“久久数”都是的倍数； 【变式1】阅读理解 定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．例如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，⋯．依此类推，回答下列问题： (1)________，________，________； (2)求的值． 【答案】(1)；4 ； (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据称为的差倒数，先算出，再代入计算，得，以此类推，算出，即可作答． （2）先得这列数以，，4为一个循环，循环出现，则，，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：把代入，得， 则，， 故答案为：；4 ；， （2）解：由（1）知，，，； ∴这列数以，，4为一个循环，循环出现， 则，， ∴． 【变式2】中考新考法·新定义 定义：是关于a，b的多项式，如果，那么叫作“对称多项式”．例如，如果，则，显然，，则是“对称多项式”． (1)是“对称多项式”，试说明理由； (2)请写出一个“对称多项式”，___________（不多于四项）． 【答案】(1)是，见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，得，即可作答． （2）根据“对称多项式”进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴是“对称多项式”； （2）解：依题意，， ∴是“对称多项式” 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】定义：对于依次排列的多项式、、、（a、b、c、d是常数），当它们满足，且是常数时，则称a、b、c、d是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如，对于多项式、、、来说，因为，所以2、1、6、5是一组平衡数，4是这组平衡数的平衡因子． (1)已知2、4、7、9是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子______； (2)若、2、、3是一组平衡数，求的值及该组平衡数的平衡因子； (3)当a、b、c、之间满足怎样的数量关系时，它们是一组平衡数，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)当时，，，，是一组平衡数，理由见解析 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）将，，，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可； （3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】（1） ； 故答案为：． （2）∵是一组平衡数， ∴的结果为常数． ， ∴， 解得； ∴该组平衡数的平衡因子． （3）当时，，，，是一组平衡数． 理由：因为，，，是平衡数， ∴结果为常数． ， ∴， ∴当时，，，，是一组平衡数． A 基础部分 1．单项式的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查单项式系数的定义，根据单项式系数的定义直接进行判断即可．本题主要考查了单项式系数的定义，熟练掌握单项式系数的定义是解题的关键． 【详解】解： 单项式中的数字因数叫做单项式的系数 单项式的系数是 故选：B． 2．对于多项式，下列说法正确的是（   ） A．次数是1 B．一次项是2 C．二次项系数是1 D．该多项式是二次二项式 【答案】D 【分析】本题考查了多项式相关的概念，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号，即可求解． 【详解】解：A、多项式的次数是，故本选项错误，不符合题意； B、多项式的一次项的是，故本选项错误，不符合题意； C、多项式的二次项系数是，故本选项错误，不符合题意； D、多项式是二次二项式，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 3．如果整式是关于x的三次三项式，那么n等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，多项式中每个单项式都叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵整式是关于x的三次三项式， ∴， ∴， 故选：B． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了去括号，合并同类项． 逐一判断是否计算正确即可． 【详解】解：A． ，原计算正确； B． ，原计算错误； C． ，原计算错误； D． ，原计算错误； 故选：A 5．已知单项式与是同类项，那么的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键． 根据同类项的定义求出n的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ ∴ 故选：C． 6．若与是同类项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项是解题的关键．根据同类项的定义，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴ ， ∴． 故答案为：． 7．某同学把错抄为，若正确答案为，抄错后的结果为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用字母表示数，整式的加减运算，理解题意，列出正确的运算式是解题的关键．设框表示的数为再表示正确的结果为： ，抄错后的结果为： ，再列式计算即可． 【详解】解：设框表示的数为， 则正确的结果为： ， 抄错后的结果为：， ， 故答案为： 8．把多项式按m降幂排列后，第三项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．按照字母m的指数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式按m降幂排列为， 第三项为， 故答案为：． 9．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）根据合并同类项法则进行即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，先利用整式的加减运算法则化简，再将其值代入原式即可求解，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． B 提高部分 11．小明在计算时错写成，则结果比原来（   ） A．少24 B．少5 C．多5 D．结果不变 【答案】A 【分析】先分别写出原式和写错后的式子，再通过作差计算结果的变化量．本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解题的关键． 【详解】解：∵原式为，写错后的式子为 ∴ ∴结果比原来少24 故选：A． 12．下列说法中，正确的是（    ） A．是多项式 B．次数最高的项是 C．的次数是7 D．单项式的系数是 【答案】D 【分析】此题考查单项式、多项式、整式的概念，分别根据相关概念进行逐项分析判断，即可作答． 【详解】解：A、不是整式，不是多项式，故原选项说法错误，不符合题意； B、次数最高的项是，故原选项说法错误，不符合题意； C、的次数是4，故原选项说法错误，不符合题意； D、单项式的系数是，故原选项说法正确，符合题意； 故选：D． 13．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子中的数为（　　） 2 a b c 3 … A．3 B． C．2 D．253 【答案】B 【分析】此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出，，再根据第9个数是3可得，然后得出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2024除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 解得：，， 数据从左到右依次为、、、、、、…… 第9个数是3， ， 每3个数“、、”为一个循环组依次循环， ， 第2024个格子中的数为， 故选：B． 14．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键，观察数轴得出的取值范围，然后进行化简即可． 【详解】解：由数轴得，， ，， ． 故答案为：． 15．用12米长的木料（宽度不计）做成一个如图所示的长方形窗框．如果设窗框横档、、的长度均为米，那么窗框的长是 米（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式，根据题意可得，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，米， 故答案为：． 16．若关于x、y的多项式中不含项，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，先把多项式合并同类项，然后令含的项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解： ∵关于x、y的多项式中不含项， ∴， 解得． 故答案为：2． C 培优部分 17．如图，一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相等的扇形组成的半圆窗框构成，下面是由两个大小相等的长x，宽y的长方形窗框构成，窗户全部安装玻璃．（本题中取3，长度单位为米） (1)一扇这样窗户一共需要铝合金多少米？（用含的式子表示） (2)一扇这样窗户一共需要玻璃多少平方米？铝合金窗框宽度忽略不计（用含的式子表示） 【答案】(1)一扇这样窗户一共需要铝合金米 (2)一扇这样窗户一共需要玻璃平方米 【分析】本题考查列代数式的实际应用，整式加减运算的实际应用，解题的关键是掌握长方形及半圆的周长、面积公式． （1）先根据图形得出半圆的半径，再计算出窗框的周长即可； （2）将两个长方形的面积和半圆的面积求和即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 取3． 原式 各：一扇这样窗户一共需要铝合金米； （2）解：根居题意得： 取， ∴原式 答：一扇这样窗户一共需要玻璃平方米． 18．已知代数式，，，． (1)求的值；（结果用x，y表示） (2)若的值与x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）把，代入，然后去括号合并解题即可； （2）把，代入去括号合并，然后根据与x无关的条件得到，，求出m，n的值，然后再代入解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题可知： ，， 解得，； 所以． 19．阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如： ，M经过处理器得到； 【应用】若关于x的二次多项式M经过处理器得到N，根据以上方法，解决下列问题： （1）若 求 N． 【延伸】（2）已知 M是关于x的二次多项式，若N是M经过处理器得到的一次多项式，且满足，求k的值． 【答案】（1）；（2）15 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，代数式求值，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． （1）根据题目所给的转化方法即可解答； （2）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出以及，最后将的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）因为是关于x的二次多项式， 所以，则， 因为N是M经过处理器得到的一次多项式，且， 所以，， 所以， 所以． 20．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$