2.2.3函数的单调性和最值（第3课时综合应用参数问题）（教学课件）数学北师大版必修第一册

§2.3 函数的单调性和最值 综合应用 第3课时—参数问题 第二章 函 数 北师大版2019必修第一册·高一 01 掌握利用函数单调性,求参数范围问题,学会将恒成立问题转化为最值问题. 02 重点 从对单调性和最值概念的应用,培养严谨的数学逻辑思维. 利用最值求参数的值（范围） 难点 利用函数单调性,求参数范围问题, 利用最值解决恒成立问题 学 习 目 标 01 复习回顾,引入新知 增函数 如果对于定义域上任意的,当时,都有那么就称函数是增函数. 减函数 如果对于定义域上任意的,当时,都有那么就称函数是增函数. 单调递增, 单调递减 在区间的单调性？ 在区间(0,+∞)上 组合函数的单调性？ 思考 01 复习回顾,引入新知 例：在上单调递增, 在区间上单调递减, , 任取，且，则 无法判断符号 在区间上的单调性不确定 已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减, 在区间上是否一定单调递增？ 思考 课本P65B组第4题 练一练 (1)的单调性不确定 方法点拨 课本P65B组第4题 4．已知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减，下列函数在区间上是否一定单调递增？ (1)；(2)； (3)； (4) (2)的递增 (3)的单调性不确定 (4)的单调性不确定 一、组合函数单调性的判断方法： ①增+增=增、减+减=减 ②增-减=增、减-增=减 二、恒成立问题 探究 1.若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 分离参数,转化为最值问题 将 转化为 在给定区间恒成立问题 令，求出 分析 解：不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立,设函数,,都是减函数,所以在上是单调递减函数,所以，所以，即的取值范围为. 对于任意x∈D, f(x)>a恒成立f(x)min>a f(x)<a恒成立f(x)max<a 方法点拨 给定区间恒成立问题 已知函数在定义域 上 单调递增 ：则 ， 单调递减 ：则 ， 二、恒成立问题 2.已知函数,当时,不等式恒成立,求的取值范围 根据分离常数 用换元法,均值不等式求最值 在给定区间上的恒成立问题 确定参数的范围 分析 解：当时,不等式恒成立等价于在上恒成立．∵,∴,令,则,,当且仅当时等号成立, 故的取值范围为． 三、已知函数的单调性求参数的范围 探究 2.已知函数在区间上具有单调性,求实数的取值范围. 课本P64练习第2题 开口方向和对称轴 分类讨论：对称轴在区间的位置关系 一元二次函数的单调性 确定参数的范围 分析 解：函数的图象开口向上,对称轴为直线，由图象可知函数在和上都具有单调性，因此要使函数在区间[1，2]上具有单调性,只需或所以实数a的取值范围是. 方法点拨 已知一元二次函数的单调性求参数取值范围： 1.求:求对称轴、确定开口方向 2.画:画区间与对称轴位置示意图 3.列:根据题意(递增/递减/不单调)列不等式 练一练 1.如果函数在区间上是增函数,则的取值范围为 ； 2.函数在区间上不具有单调性,则的取值范围为 . 1.的对称轴为且开口朝上,因函数在区间上是增函数,则 故的取值范围为. 2.图象的对称轴为且开口向上,又函数在区间上不具有单调性, 所以即的取值范围为. 02 当堂训练,应用新知 3.已知函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围． 解：∵当时,在区间上单调递减,故,此时, 函数在上单调递减,则函数在上单调递减,而函数在区间上单调递增,必有,即,则实数a的取值范围为. 课本P72 A组第3题 对解析式分离常数 可看成由反比例函数 的图象变换得到 分式函数 利用反比例函数的单调性 分析 方法点拨 已知一次分式函数的单调性求参数范围： 列不等式 求参数范围 练一练 03 变式训练,迁移应用 练一练 3.已知函数在定义域R上是减函数,求实数a的取值范围． 解：要想满足在上是减函数,则二次函数的对称轴,且,解得,所以实数a的取值范围是. 课本P73 C组第3题 每段都单调，比较分段点的函数值 减：每段都减，分段点自变量大的函数值小 分段函数单调性 列不等式组，求参数范围 分析 方法点拨 已知分段函数的单调性求参数范围： ①增:每段都增,分段点自变量大的函数值大 ②减:每段都减,分段点自变量大的函数值小 变式训练 1.已知函数是定义在上的增函数,且,则实数的取值范围是________． 解：函数是定义在上的增函数,且, ，解得a< 四、已知抽象函数单调性求参数范围 , 2.设函数f(x)是R上的减函数,若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________ , 解:因为f(x)是R上的减函数且f(m－1)>f(2m－1) ,所以m－1<2m－1.所以m>0 四、已知抽象函数单调性求参数范围 , 3.f(x)是定义在(0,＋∞)上的增函数,则不等式f(x)>f(8(x－2))的解集是 . 解:由f(x)是定义在(0,＋∞)上的增函数,所以得解得2<x< 方法点拨 已知抽象函数单调性求参数范围： 明确定义域和单调性（增或减） 利用单调性将函数不等式转化为自变量不等式 解不等式,并确保解在定义域内 综合所有限制条件,写出最终解集 方法总结 纳 求参数取值范围 1.审清题意 已知函数是否需要化简变形 2.确定类型 已知函数类型的单调性 3. 列不等式 根据单调性列不等关系(组) 已知一元二次函数的单调性求参数取值范围： 1.求:求对称轴、确定开口方向； 2.画:画区间与对称轴位置示意图； 3.列:根据题意(递增/递减/不单调)列不等式 已知一次分式函数的单调性求参数范围：分离常数→反比例函数单调性→列不等式 →求参数范围 已知分段函数的单调性求参数范围： ①增:每段都增,分段点自变量大的函数值大；②减:每段都减,分段点自变量大的函数值小 练一练 04 归纳方法,升华思维 五、已知最值求参数 探究 1.若函数在区间上的最大值为3,求实数的值. 分离变量 谈论单调性，求最值 分式函数闭区间最值问题 根据最值求参数的值 分析 解：函数, 当时,在上单调递减,最大值为； 当时,在上单调递增,最大值为,解得,不合题意,所以实数. 方法点拨 已知最值求参数： 列等式求参数. 五、已知最值求参数 2.已知函数 的最小值为,则 . 讨论对称轴与给定区间的位置关系 求最值 一元二次函数 列等式求参数 分析 解：(1)当时,在上单调递增,当时,,解得,因此； (2)当时,,解得或,无解； (3)当时,在上单调递减,当时,,解得,因此, 所以或. 或 课本P73 B组第3题 课本P73 B组第3题 3.已知函数 的最小值为3,求实数a的值 化简为分段函数 根据单调性求最值 讨论a的范围,去掉绝对值 列等式求参数 分析 解：(1)当时,, 由于且, 可知为连续函数,可以看出在上单调递减,在上单调递增,故在处取得最小值,故,解得,满足； 课本P73 B组第3题 3.已知函数 的最小值为3,求实数a的值 化简为分段函数 根据单调性求最值 讨论a的范围,去掉绝对值 列等式求参数 分析 (2)当时,, 通过验证可知为连续函数,可以看出在上单调递减,在上单调递增,故在处取得最小值,故,解得,满足； 综上：或. 练一练 05 当堂检测,应用达标 1.已知函数．若的最大值为4,则实数的值为（   ） A． B． C．或3 D．或 2.已知函数是定义在R上的增函数,且,则a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 解：当时,在上单调递增,在处取得最大值,则,解得；当时,在上单调递减,在处取得最大值,则,解得．综上所述,或. 解：因为函数是定义在R上的增函数,且,所以, 故选：B D B 练一练 05 当堂检测,应用达标 3.若关于的不等式 在区间上恒成立,则的值可能是（   ） A. B.1 C.2 D.4 4.已知函数满足对任意的实数,都有成立,则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 解：由题意可得,在区间上恒成立,因,则,故ABC错误,D正确 解：由题意,,函数在上是增函数,, 解得.故选：A. D A 函数性质—综合应用 性质 应用 单调性 最值 组合函数单调性的判断方法 给定区间恒成立问题 ①增+增=增、减+减=减；②增-减=增、减-增=减 对于任意x∈D,f(x)>a恒成立f(x)min>a、f(x)<a恒成立f(x)max<a 1.审清题意：已知函数是否需要化简变形；2.确定类型：已知函数类型的单调性；3. 列不等式根据单调性列不等关系(组) 课堂小结 单调性求参数的范围 已知一元二次函数的单调性求参数取值范围：1.求:求对称轴、确定开口方向；2.画:画区间与对称轴位置示意图；3.列:根据题意(递增/递减/不单调)列不等式 已知一次分式函数的单调性求参数范围：分离常数→反比例函数单调性→列不等式 →求参数范围 已知分段函数的单调性求参数范围：①增:每段都减,分段点自变量大的函数值小；②减:每段都减,分段点自变量大的函数值小 已知最值求参数 列等式求参数. 课后作业 1．已知函数. (1)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围； (2)若在区间上有最大值3,求实数的值. 参考答案 解：（1）的对称轴,要满足题意,只需, 故实数的取值范围为. （2）当时,在单调递减,则在上的最大值为,令,解得； 当时,在单调递增,在单调递减, 则在上的最大值为,令,解得或,都不满足,故舍去； 当时,在单调递增,则在上的最大值为, 令,解得； 综上所述,或. 感谢聆听! $