2.2.3函数的单调性和最值（第1课时）（教学课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性的概念理解、判断及证明，课堂导入通过复习函数的集合定义，结合一次函数图象观察变化趋势，搭建从具体图象到抽象概念的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于以“观察-探究-抽象”为主线，通过图象直观分析培养数学眼光，定义法证明的“五部曲”步骤强化数学思维，概念辨析题深化对“任意性”的理解。小结归纳常见函数单调性表格，助力学生系统掌握，教师可直接应用典型例题与流程提升教学效率。

§2.3 函数的单调性和最值 第1课时—单调性 第二章 函 数 北师大版2019必修第一册·高一 01 理解函数单调性的概念,会用图象法、定义法证明函数的单调性 02 重点 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合的能力 对函数单调性概念中关键词的理解 难点 函数单调性、单调区间的判断、证明 学 习 目 标 01 复习回顾,引入新知 【回顾】函数是如何从集合的角度定义的？ 给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 刻画 随着x的变化而变化 如何刻画 借助图象？定义？ 变量的变化 趋势变化 函数性质 观察函数的图象,描述函数值y随自变量x的增大如何变化？ 观察函数的图象,描述函数值y随自变量x的增大如何变化？ 函数性质—单调性 探究 随着的增大而 . 随着的增大而 . 一次函数： ①在上,随着的增大而增大; 在上,随着的增大而减小 用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化 从左往右看 增大 减小 函数性质—单调性 探究 当时,随着的增大而 . 当时,随着的增大而 . 观察下列函数的图象,描述函数值y随自变量x的增大如何变化？ 减小 增大 当时,随着的增大而 . 当时,随着的增大而 . 减小 减小 函数性质—单调性 探究 随着的增大而增大的区间有： . 随着的增大而增大的区间有： . ,,, 如图,是函数的图象,说出不同区间内,函数随的变化如何变化？ 课本P61 , ,, 思考交流 借助图象描述了函数随的变化而变化 图2-9中,怎样用数学的符号语言表达函数值f(x)在区间[-6，-5]上随x值的增大而增大呢？ 对任意的,当时,都有 . 形 数 02 抽象概括,得出新知 函数的单调性 设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的, 当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时,区间叫作函数的单调递增区间． 当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减.这时,区间叫作函数的单调递减区间． 关键点 单调区间 和的关系 和的关系 1)区间可以是整个定义域,即. 2)区间也可以是定义域的真子集,即 3)区间一定是连续的. 区间𝑰 1)同区间性,即 2)任意性,即不可用区间上的两个特殊值代替； 3)有序性,即需要区分大小,通常规定. 02 抽象概括,得出新知 函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间. 单调递增 单调递减 条件 设函数y＝f(x)的定义域是D，I是定义域D上的一个区间.如果对于任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时， 都有f(x1)＜f(x2)， 都有f(x1)＞f(x2)， 结论 单调性 那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递增 那么就称函数y＝f(x)在区间I上单调递减 单调 区间 区间I叫作函数y＝f(x)的单调递增区间 区间I叫作函数y＝f(x)的单调递减区间 归纳 增函数 减函数 定义 等价 图象特征 图示 02 抽象概括,得出新知 当时,都有那么就称函数是增函数. 增函数、减函数的定义 当时,都有那么就称函数是减函数. 从左往右,图象下降 如果对于定义域上任意的, 从左往右,图象上升 , , 03 概念辨析,理解新知 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数单调性定义中的“任意两个自变量的值x1,x2”可以改为“存在两个自变量的值x1,x2”.(　　) (2)若函数y=f(x)在I上满足f(2)<f(3),则函数y=f(x)在I上单调递增.(　　) (3)设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.(　　) × × × 03 概念辨析,理解新知 2.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　　) (2)若函数y＝f(x)在区间[-1,3]上是减函数,则区间[-1,3]为函数y＝f(x)的单调递减区间．(　　) (3)若函数f(x)在区间I上是增函数,且D⊆I,则f(x)在D上也是增函数．(　　) × √ √ 3.如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 的单调区间有 增函数的区间是 [－5,－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5] 减函数的区间是 [－2,1)， [3,5] [－5,－2)， [1,3) 利用已知图象求函数单调区间：从左往右 图象下降—单调递减；图象上升—单调递增 方法点拨 1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？ (1)对于任意的,都有恒成立； (2)存在,使得成立； (3)对于任意的,都有恒成立, 并且对于任意的,都有也恒成. 课本P64 练习第1题 1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？ (1)对于任意的,都有恒成立； 课本P64 练习第1题 能 解：依题意得，对于任意的,， 当时,,所以函数在区间上单调递增， 当时,,所以函数在区间上单调递增， 所以原说法能判断函数在区间上单调递增. 1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？ (2)存在,使得成立； 课本P64 练习第1题 解：由单调性定义可知，仅仅存在,， 使得成立，不能判断函数的单调性. 不能 1.下列说法能否判断函数在区间上单调递增？ (3)对于任意的,都有恒成立, 并且对于任意的,都有也恒成. 课本P64 练习第1题 解：依题意得，对于任意的，∵, ∴,所以,函数在区间上单调递增， 同理,对于任意的,函数在区间上单调 递增，但 的值可能不连续或出现下降的情况,,故不能判断函数在区间上单调递增. 不能 函数单调性的等价结论 归纳 (1)若或,则称函数在区间上是增函数或单调递增； 在函数定义域内的一个区间上,如果对于任意的且， (2)若或,则称函数在区间上是减函数或单调递减. 同号 异号 例1.图象法判断函数的单调性（课本P62） 03 典例剖析,掌握概念 例 1 设 ，画出 的图象，并通过图象直观判断它的单调性． 解：依题意知，其图象可由的图象向左平移3个单位长度得到(如图)． 该函数在区间上单调递减． 图象平移 左加右减 已知反比例函数图象 从左往右看,上升增，下降减 直观判断 图象变换 归纳 平移 对称 翻折 左+右-，上+下- (保留轴以上的,在把轴以下的对称翻上去) (保留轴右侧，去掉轴左边部分，再把轴右侧的翻转到左边) 1.函数的单调递减区间是 ． 根据函数图象判断函数单调性 题型一 题型探究 解：函数的图象即为的图象位于x轴下方部分对折至x轴上方，其余部分不变，如图所示： 由图可知函数的单调递减区间是. 图象翻折 留上翻下 画一元二次函数 从左往右看,上升增，下降减 直观判断 课本P65 B组第2题 2.根据函数图象直观判断函数的单调性. 3．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(　　) 已知函数的图象，判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B在定义域内为增函数． 方法点拨 B　 根据函数图象判断函数单调性 题型一 题型探究 根据函数图象判断函数单调性 题型一 题型探究 4.设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1),则函数g(x)的单调递减区间是(　　) A.(－∞,0] B.[0,1) C.[1,＋∞) D.[－1,0] 解：g(x)＝ 如图所示，   其单调递减区间是[0,1)． B 思考交流 函数在整个定义域上的单调性 思考交流 课本P62.能否说f(x)＝ 在定义域内单调递减？为什么？ 由图象可知，在两个区间上函数都是单调递减的，但在整个定义域内不是单调递减的 例如但,这不符合减函数的定义； 函数f(x)＝ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）， 只能说“函数在区间（－∞，0）和区间（0，＋∞）上都是递减的”． 方法点拨 (1)单调递减区间,从左往右,图象下降 (2)当函数有多个单调区间时,区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接． 利用定义法证明函数的单调性 题型二 题型探究 例3 判断函数的单调性，并给出证明. 课本P63 数：定义法证明? 或 形：图象直观判断 上升增，下降减 直观判断 解：画出函数的图象,如图 分析 函数在上是减函数 利用定义法证明函数的单调性 题型二 题型探究 例3 判断函数的单调性，并给出证明. 课本P63 解：画出函数的图象,如图 函数在上是减函数 证明如下： 任取，且，则 ， 即 所以函数在上是减函数. 取值 作差 变形 定号 结论 用定义法证明函数单调性的步骤 归纳 若，则函数在定义域内是减函数或单调递减， 若，则函数在定义域内是增函数或单调递增. 1.取值 2.作差 3.变形 4.定号 5.结论 任取定义域，且； 将代入函数解析式,并计算化简； 判断的正负号； 将变形为直到出现因式或 用定义法证明函数单调性的步骤(五部曲) 利用定义法证明函数的单调性 题型二 题型探究 例4 判断函数的单调性，并给出证明. 证明如下：在定义域 上任取且， 则，∴， ∵，∴，即， ∴函数在定义域上是增函数. 解：画出函数的图象(如图). 由图象可以看出函数在定义域上可能是增函数. 方法点拨 取值 作差 变形 定号 结论 课本P63 利用定义法证明函数的单调性 题型二 题型探究 例5 试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递减，在区间单调递增. 解：任取且， ∴， ∵，∴ ，即， ∴函数在区间上单调递减. 同理可证，函数在区间上单调递增. 课本P64 方法点拨 取值 作差 变形 定号 结论 利用定义法证明函数的单调性 题型二 练一练 P64练习第3题： 3.证明：函数在定义域上是增函数. 解：任取,且， 则 ∵，∴， ∴，即， ∴函数在定义域R上是增函数. 常用的变形技巧有： ①因式分解；②通分；③配方；④有理化 方法点拨 常见函数的单调性 归纳 函数 单调性 一次函数y＝kx+b(0) 反比例函数(k0) 二次函数 单调性 由开口方向及对称轴决定 k＞0时,在R上单调递增； k＜0时,在R上单调递减； k＞0时,单调递减区间是(－∞,0)和(0,+∞)； k＜0时,单调递增区间是(－∞,0)和(0,+∞) , 在上单调递增，在上单调递减 在上单调递减，在上单调递增 函数的单调性 单调函数的定义 题型 单调递增 单调递减 利用图象判断函数的单调性 利用定义证明函数的单调性 设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增.这时,区间叫作函数的单调递增区间． 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就称函数在区间上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间. 设函数定义域为,是定义域上的一个区间,如果对于任意的,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减.这时,区间叫作函数的单调递减区间． 在函数定义域内的一个区间上,如果对于任意的且，(1)若或,则称函数在区间上是增函数或单调递增；(2)若或,则称函数在区间上是减函数或单调递减. 单调函数 (1)单调递减区间,从左往右,图象下降 (2)当函数有多个单调区间时,区间之间用“和”或“,”连接,而不能用“∪”连接 1.任取：任取定义域，且； 2.作差：将代入函数解析式,并计算化简； 3.定号.判断的正负号； 4.变形：将变形为直到出现因式或 5.结论：若，则函数在定义域内是减函数或单调递减，若，则函数在定义域内是增函数或单调递增. 课堂小结 等价定义 1.课本P62练习第3题 课后作业 2.课本P65A组第5题 3．请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性，并求出它们的最值： (1)，； (2)，； (3)，． 5.证明：函数在区间上单调递增. 参考答案      1.课本P62练习第3题 （1）一次函数的图象是一条直线，在闭区间上单调递减， 最大值是，最小值是； （2）在上是单调递增的, 当时,取得最小值,函数无最大值. （3）， 画出函数在内的图象，如图所示： 在、上单调递减，在、上单调递增， 所以的最小值为，最大值为. 2.课本P65A组第5题 感谢聆听! $$