2.2.3函数的单调性和最值（第1课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 函数 第3节 函数的单调性和最值 第1课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解函数单调区间、单调性的概念； 2、掌握一些简单函数的单调性； 3、能够根据图像判断函数的单调性、单调区间。 1、理解函数单调性的概念。 2、能够根据图像判断函数的单调性、单调区间。 1、理解函数单调性的概念。 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 观察下列函数图象，说出函数值 的值的变化情况. 从左向右观察图像 在区间（-∞，+∞）上，函数y=2x的函数值随着x的增大而增大； 在区间（-∞，+∞）上，函数y=-x的函数值随着x的增大而减小。 从左向右观察图像 在区间（-∞，0）上，函数y=x2的函数值随着x的增大而减小； 在区间（0，+∞）上，函数y=x2的函数值随着x的增大而增大 3 新 课 引 入 韦 达 如图，是函数的图象，说出在 各个区间函数值随的值的变化情况. 在区间上，函数值都是随的值的增大而增大； 在区间上，函数值都是随的值的增大而减小. 怎么用数学的符号语言来表达函数值随x值的变化而变化呢？这就是本节课我们要研究的函数的单调性问题。 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 一般地，设函数的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) ，那么我们就说函数f(x)在区间D上单调递增。这时，区间D叫做函数的单调递增区间； 一般地，设函数的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么我们就说函数f(x)在区间D上单调递减。这时，区间D叫做函数的单调递增区间。 如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就称函数y=f(x)在区间D上具有单调性。单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间。 如果对于定义域I上任意的x1,x2，当x1＜x2时， 都有f(x1)＜f(x2),那么就称函数y=f(x)是增函数； 都有f(x1)＞f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数。 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) 由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的。 “函数在区间上单增”与“函数的单增区间是”两种叙述含义是不 同的.如果是“函数在区间上单增”，那么该函数还有可能有其他的增区 间；如果是“函数的单增区间是”，那么该函数只有A这么一个增区间。 × × 6 典 例 引 路 柯 西 例1、判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (3)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)函数y＝ 在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．(　　) (5)区间(－∞，0]是函数y＝ 的一个单调递减区间。( ）　 不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接. × × 函数在两个区间上都单调递减，但是在两个区间的并集上不一定是递减的。 × 单调区间必须是定义域内的区间。 7 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 表达式 定义域 图像 单调性 一元一次 函数 y=kx+b k＞0 R k＜0 R 一元二次 函数 y=ax2+bx+c a＞0 R a＜0 R 反比例 函数 y = k＞0 (-∞,0)∪(0,+∞) k＜0 (-∞,0)∪(0,+∞) 在区间（-∞，+∞） ↑ 在区间（-∞，+∞） ↓ 在区间（-∞，- ) ↓ 在区间（- ，+∞）↑ 在区间（-∞，- ) ↑ 在区间（- ，+∞）↓ 在区间(-∞,0)，(0,+∞)单调递减 在区间(-∞,0)，(0,+∞)单调递增 x y x y x y x=- x y x=- x y x y 8 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 (　　) A．k>　　 B．k<　 C．k>－　 D．k<－ D 练2、已知函数f(x)＝2x2－ax＋5在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________． 解：∵ 函数f(x)＝2x2－ax＋5的单调递增区间是 [ ,+∞)， ∴ [1，＋∞)⊆[ ,+∞)， ∴ ≤1，解得a≤4. 解：∵函数是减函数，∴ 2k+1＜0 ，∴ k<－ 9 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练3、已知函数在区间上单调，求实数 的取值范围. 解：由函数的解析式可知，函数为二次函数， 其图象开口向上，对称轴为， ∵函数在区间上单调， 所以，或. 10 典 例 引 路 牛 顿 例2 、设，画出函数的图象，并通过 图象直观判断它的单调性 解：如图，该函数在区间上单调递减. 11 典 例 引 路 狄利克雷 例3、根据函数图象直观判断的单调性. 解：依题意函数，画出该函数的图象， 如图，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。 12 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、根据下图写出在每一单调区间上,函数是单调递增还是单调递减。 解:函数在[-1,0]上是单调递减, 在[0,2]上是单调递增, 在[2,4]上是单调递减, 在[4,5]上是单调递增. 13 同 步 练 习 黎 曼 练4、根据函数图像直观判断下列函数的单调性: (1)y=|x2+2x-3|; (2)y=-x2+2|x|+1. 解：由图象可得函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增, 函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减. 解：函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增, 在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减. 14 全 课 总 结 条件 一般地，设函数的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时， 都有 都有　  结论 那么就说函数在区间D上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数  那么就说函数在区间D上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数  图示     一、增函数与减函数的定义 15 全 课 总 结 表达式 定义域 图像 单调性 一元一次 函数 y=kx+b k＞0 R k＜0 R 一元二次 函数 y=ax2+bx+c a＞0 R a＜0 R 反比例 函数 y = k＞0 (-∞,0)∪(0,+∞) k＜0 (-∞,0)∪(0,+∞) 在区间（-∞，+∞） ↑ 在区间（-∞，+∞） ↓ 在区间（-∞，- ) ↓ 在区间（- ，+∞）↑ 在区间（-∞，- ) ↑ 在区间（- ，+∞）↓ 在区间(-∞,0)，(0,+∞)单调递减 在区间(-∞,0)，(0,+∞)单调递增 x y x y x y x=- x y x=- x y x y 二、基本函数的单调性 16 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 17 $