专题5一元二次方程的常用解法2025—2026学年北师大版数学九年级上册

专题五一元二次方程的常用解法 类型一直接开平方法 1.用直接开平方法解下列方程： (1)x2-3=5: (2)5(x-2)2-10=0: (3)2x2=32: (4)4(x+1)2=(x-2)2. 类型二配方法 2.用配方法解下列方程： (1)x2-6x+10=0: (2)-2x2+7x-6=0: (3)(2x-1)2=4x+9: (4)5y2+(2y-3)2=14. 类型三公式法 3.用公式法解方程： (1)x2+2x-6=0: (2)2x(x-3)=(x-1)(x+1); (3)x2+x+2=0: (4)-7x2+6x-9=0. 类型四因式分解法 4.用因式分解法解下列方程： (1)x2-6x=-9: (2)4(x-3)2-25(x-2)2=0: (3)(2x-3)2-(x-2)2=0: (4)2(1-1)2+1=1. 类型五 换元法 5.为解方程(x2一1)2一5(x2一1)+4=0，我们可以将x2一1看作一个整体， 然后设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y十4=0…①.解得y=1,2=4. 当y=1时，x2一1=1，即x2=2.∴.x=土2： 当y=4时，x2-1=4,即x2=5..x=±5. 所以，原方程的解为x1=2,x2=一2，=5，x4=一5. 上述解题过程中的“由原方程得到方程①”这一步，是利用“整体换元”的方 法达到了降次的目的，从而求出原高次方程的解，体现了转化的数学思想 请你参考以上解决问题的方法解方程：(x2+2x)2一2x2一4x一3=0. 6.【阅读思考】利用均值换元法解一类一元二次方程： (3+2x)(5-x)=-10. 第一步：原方程可变形为(2x+3)(2x一5)=20： 第二步：令1=（2x+3）+(2x-5）=2x-1: 第三步：第一步的方程可变形为(t+4)(t一4)=20： 第四步： 根据的值可以求出一子0=一号 【方法总结】求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为 简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法.我们在解决形如(a十 c)(ax十b)=d(其中a,b,c,d是常数，且a≠0)的方程时可以利用均值 换元法求解。 (1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 A.分类讨论思想 B.数形结合思想 C.整体代换思想 D.类比思想 (2)完成材料中第三步以后求t值的过程； (3)利用均值换元法解方程：(200+x)(64一X)=14400. 10 类型六十字相乘法 7.阅读下列材料： (1)将x2+2x一35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： x2=xx,-35=(-5)×(+7). ②交叉相乘，验中项：7x+（一5x)=2x ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法 (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： ①x2-10x+21=0:②x2-5x-6=0:③3x2-2x-1=0:④2x2+x-6=0. 答案 1.解：(1)x2-3=5,.x2=8,x=±22， ∴.x1=22,x2=-22. (2)5(x-2)2-10=0, (x-2)2=2, x-2=±2， x1=2+2,x2=2-2. (3)两边都除以2得x2=16, 直接开平方得x=士4，.x1=4,x2=一4. (4)4(x+1)2=(x-2)2, [2(x+1)]2=(x-2)2, 2(x+1)=±(x-2), 2(x十1)=x-2或2(x+1)=-(x-2), x1=-4,x2=0. 2.解：(1)原方程为x2-6r=一10， 则x2-6x+9=一10+9， .(x-3)2=-1, .原方程无实数根 (2)原方程为一2x2+7x=6, 2-3x=-3, 2-+=-3+, x-=6 x-子=士好，即=2，=2 (3)(2x-1)2=4x+9, x2-2x-2=0, x2-2x+1=3, (x-1)2=3, .x一1=3或x-1=一3. x1=1+3,2=1-3. (4)5y2+(2y-3)2=14, 9y2-12y-5=0, -+号+ -引=1， n=号=- 3.解：(1)x2+2x-6=0, a=1,b=2,c=-6, ∴.4=22-4×1×(-6)=28>0， =号装=-1士7， 解得x1=一1+7,2=-1-7. (2)2x(x-3)=(x-1)(x+1), 化简得x2-6r+1=0, a=1,b=-6,c=1, ∴.4=(-6)2-4×1×1=32>0， x=62=3±22， 2×1 解得x=3十22,2=3-22. (3).a=1,b=1,c=2, .b2-4ac=-7<0, 故方程无实数解： (4)‘a=-7,b=6,c=-9, .∴.b2-4ac=-216<0,故方程无实数解. 4.解：(1)x2-6x=-9, x2-6r+9=0, (x-3)2=0, 解得x1=x2=3. (2)4(x-3)2-25(x-2)2=0, [2(x-3)]2-[5(x-2)]2=0 [2(x-3)+5(x-2)][2(x-3)-5(x-2)]=0, 2(x-3)+5(x-2)=0或2(x-3)-5(x-2)=0, 解得=9，=手 (3)(2x-3)2-(x-2)2=0, .[(2x-3)+(x-2)][(2x-3)-(x-2)]=0, .(3x-5)(x-1)=0, .3x-5=0或x-1=0, x=3,2=1. (4)2(t-1)2+t=1, ∴.2(t-1)2+t-1=0, ..(1-1)(21-1)=0, 4=1,6=2是 5.解：设x2+2x=y, 那么原方程可化为y2一2y一3=0， 解得y=3,2=一1. 当y=3时，x2+2x=3,即(x+1)2=4 所以x1=1,x2=一3. 当y=-1时，x2+2x=一1，即(x+1)2=0. 所以x=一1. 所以原方程的解为x1=1,x2=一3，x3=一1. 6.(1)C解析：利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想.故选 C. (2)-16=20,=36, 解得t=6,2=一6， 当=6时，2x-1=6,解得x=子 当=-6时，2x-1=-6,解得x=- 六原方程的解为=子，=一 7 2 (3)原方程变形为(x+200)(x-640)=一144000， 令1=(x+200)+(x-640) 2 =x-220, .∴.原方程可化为(t+420)(t一420)=一144000， 2-4202=-144000, 解得t1=一180，t2=180, 当t=一180时，x-220=一180，解得x=40, 当t=180时，x一220=180，解得x=400, .∴.原方程的解为x1=40,2=400. 7.解：①.x2-10x+21=0,.(x一7)(x-3)=0,.x-7=0或x-3= 0,.x1=7,x2=3: ②x2-5x-6=0,.(x-6)(x+1)=0,x-6=0或x+1=0,.x1= 6,x2=一1； ③3x2-2x-1=0,.(x-1)（3x+1)=0,∴.x-1=0或3x+1=0,.x1= 1,=-3 ④2x2+x-6=0,∴.(x+2)（2x-3)=0,∴.x+2=0或2x-3=0,∴.x1= -2,=多