专题02 一元二次方程之应用篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02一元二次方程之应用篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、数字应用 【解惑】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 2．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 3．已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 类型二、增长率应用 【解惑】在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 2．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是 ． 3．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 类型三、传播应用 【解惑】进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 2．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ． 3．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 类型四、行程应用 【解惑】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【融会贯通】 1．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 2．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 3．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 类型五、工程应用 【解惑】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【融会贯通】 1．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 2．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 3．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 类型六、图形应用 【解惑】列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度． 【融会贯通】 1．如图所示．在宽为，长为的矩形草坪上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把草坪分成大小不等的六块区域，要使草坪的面积为，道路的宽为多少？ 2．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 3．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 类型七、营销应用 【解惑】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ 【融会贯通】 1．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批普通头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将该种普通头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶普通头盔应降价多少？ (2)随着夏季的到来，该商店计划另购进一批具有防晒功能的头盔，进价为80元/顶，两种头盔共200顶（两种都有），其中普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍．若普通头盔的售价为降价后的价格，防晒头盔的售价为110元/顶，两种型号头盔全部售完时获得的利润为元，该商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 2．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 3．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 类型八、动态几何应用 【解惑】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 2．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为    (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ (3)多长时间后P点、Q点的距离为5？ 3．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【一览众山小】 1．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 4．一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ． 5．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ． 6．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当建成的饲养室总占地面积为时，垂直于墙的一边长为 ． 7．如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． (1)求配色条纹的宽度； (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 8．冬季来临，小李在某景区门口出售秘制“羊肉汤”，每碗成本价6元，当每碗售价定为8元时，每天可售出200碗．小李想提高售价，获得更大利润，经调查发现：售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，经物价部门批准，每碗“羊肉汤”的售价不得超过20元．设每碗“羊肉汤”的售价为x（元），每天销量为y（碗）． (1)求y与x的函数关系式； (2)要使每天获利960元，每碗售价应为多少元； (3)每天的利润能否达到1320元，若能达到，每碗售价为多少元，若不能达到，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次方程之应用篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、数字应用 【解惑】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：C． 【融会贯通】 1．有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程．设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．根据等量关系：，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍．列方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．则 ， 解得，， 当时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2． ∴这个两位数是24， 当时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1． ∴这个两位数是15， 故选：C． 2．一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴这个两位数为46． 故答案为：46． 3．已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 【答案】(1) (2)这四个正整数为，，， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程即可求解； （1）令，则原方程为：，结合可得答案； （2）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴化为：， 解得：或， ∵， ∴， ∴； （2）解：设最小的数为，则， ∴， 设，则， 解得：，， ∵是正整数， ∴， 解得：，(舍去)， ∴这四个正整数为，，，． 类型二、增长率应用 【解惑】在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均降低率问题，熟练掌握是解决问题的关键，其中a是起始量，b是终止量，x是平均降低率，n是降低次数． 根据“2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长比2022年上学期减少了．假设下学期与上学期天数一样．设该校平均每天作业时长每学期的下降率均为x，”可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】根据题意得：， 即 故选：C． 【融会贯通】 1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．根据“药品经过两次降价，每瓶零售价由188元降为108元”列出方程即可． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 2．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是 ． 【答案】 【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得， 解得，． ∵降价的百分率不可能大于1， ∴不符合题意，舍去． 符合题目要求的是． 即：平均每次下调的百分率是． 故答案为：． 3．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人． 类型三、传播应用 【解惑】进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 【融会贯通】 1．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）， 故选：B． 2．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， 即m的值为， 故答案为：． 3．春季流感爆发，有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过三轮传染后共有多少人患了流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)经过三轮传染后共有人会患流感 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意得： ， ， ， ，（不合题意，舍去）， 每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：（人）， 答：经过三轮传染后共有人会患流感． 类型四、行程应用 【解惑】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 【融会贯通】 1．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（    ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，将其值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 【答案】24 【分析】本题一元二次方程的实际应用，勾股定理，设两人走了秒，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 3．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 类型五、工程应用 【解惑】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【融会贯通】 1．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 2．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 3．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 类型六、图形应用 【解惑】列一元二次方程解决实际问题：如图，某校计划在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．若要使草坪的面积为，求道路宽的长度． 【答案】道路宽的长度为． 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽的长度为，根据题意列出方程，然后求解即可，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设道路宽的长度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽的长度为． 【融会贯通】 1．如图所示．在宽为，长为的矩形草坪上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把草坪分成大小不等的六块区域，要使草坪的面积为，道路的宽为多少？ 【答案】道路宽为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设道路宽为，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设道路宽为， 根据题意得： ， 解得：，． ∵， ∴舍去． 答：道路宽为． 2．如图，某旅游景点要在长、宽分别为12米、10米的矩形水池内部建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的（每条道路的一侧均与正方形观赏亭的一边在同一直线上），若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为米 【分析】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，由道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，列一元二次方程，利用因式分解法求解即可得到答案，读懂题意，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设道路的宽度为米，则正方形的边长为米，根据题意可得 ， ， 则， 解得或（负值不满足实际意义，舍去） 答：道路的宽度为米． 3．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)26，12 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； （2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 类型七、营销应用 【解惑】某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请问在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ 【答案】30元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． 设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱，利用这种饮料每天销售利润=每箱的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合每箱饮料获利大于80元，即可确定的值． 【详解】解：设每箱降价元，则每箱的利润为元，每天可售出箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵每箱饮料获利大于80元， ∴， ∴， ∴． 答：要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价30元． 【融会贯通】 1．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批普通头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将该种普通头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶普通头盔应降价多少？ (2)随着夏季的到来，该商店计划另购进一批具有防晒功能的头盔，进价为80元/顶，两种头盔共200顶（两种都有），其中普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍．若普通头盔的售价为降价后的价格，防晒头盔的售价为110元/顶，两种型号头盔全部售完时获得的利润为元，该商店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每顶头盔应降价20元 (2)购进普通头盔个，防晒头盔个，获得最大利润元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用： （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设购进普通头盔的个数为个，根据普通头盔的个数不低于防晒头盔个数的2倍，求出的范围，根据总利润等于单件利润乘以销量，等于两种头盔的利润之和，列出一次函数，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； （2）由（1）知，普通头盔降价后的售价为元， 设购进普通头盔的个数为个，则购进防晒头盔个数为个， 由题意，得：， 解得：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为整数， ∴当时，有最大值，为：元，此时； 故应购进普通头盔个，防晒头盔个，获得最大利润元． 2．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为． (1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？ (2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克． ①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示） ②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； (2)售价应降低元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算求解即可； （2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：（亩） 答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩； （2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克； ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低元． 3．大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 (1)网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； (2)第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】(1)购进款纪念币12个，款纪念币20个； (2)购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； (3)将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进款纪念币个，款纪念币个， ， 解得， 答：购进款纪念币12个，款纪念币20个； （2）解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增小， 当时，取得最大值，最大值（元， 此时（个． 即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； （3）解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 类型八、动态几何应用 【解惑】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【融会贯通】 1．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 过点作于点，则，如图所示， 当运动时间为时，，， 根据题意得：， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：的值为或． 【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键． 2．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为    (1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围； (2)多长时间后的面积为？ (3)多长时间后P点、Q点的距离为5？ 【答案】(1)，， (2)或时，的面积为 (3)秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用. （1）根据题意即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据勾股定理解方程即可得到结论. 【详解】（1）解：； ； 的取值范围为：； （2）设秒后,的面积为 根据题意得， 解得：， 答: 经过或时，的面积为； （3）设秒后点、点的距离为， 根据题意得，， 解得： 或 (不合题意舍去)， 答：秒后点、点的距离为 ． 3．如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)1 (4)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质得出，可列出关于t的方程，然后求解即可； （2）根据勾股定理列方程求解即可； （3）根据三角形面积公式列方程求解即可； （4）根据的面积与五边形的面积之比等于，得出的面积与矩形的面积之比等于，然后根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解∶∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点在的垂直平分线上； （2）解：∵的长度等于，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的长度等于； （3）解：∵的面积等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积等于， （4）解：∵的面积与五边形的面积之比等于， ∴的面积与矩形的面积之比等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积与五边形的面积之比等于． 【一览众山小】 1．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 2．如图，在中，，，，点沿边从点出发向终点以的速度移动；同时点沿边从点出发向终点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当的面积为时，点运动的时间是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用时间路程速度，可求出点到达终点所需时间，当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：（秒），（秒）． 当运动时间为秒时，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点的运动时间是2秒． 故选：A． 3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：． 故选：D． 4．一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的3倍，若设长方体盒子高为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为；根据题意可得，无盖的长方体盒子的表面积为：；被剪去的四个正方形的面积为：，二者相加为原矩形材料的面积，方程即可列出． 【详解】解：设长方体盒子高为，则宽为，被剪去的正方形边长为， 则无盖的长方体盒子的表面积为：； 被剪去的四个正方形的面积为：， 根据题意得：， 故答案为：． 5．某印刷厂今年一季度印刷了 50 万册书，第三季度印刷了 72 万册书，如果每个季度的 增长率相同，设为 x，依题意可得方程 ． 【答案】 【分析】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识—增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 【详解】解：设每个季度的增长率为 x，列方程得， 故答案为：． 6．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则当建成的饲养室总占地面积为时，垂直于墙的一边长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设垂直于墙的材料长为米，则平行于墙的材料长为，表示出总面积：，由此列出方程并求得的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的材料长为，则平行于墙的材料长为， 根据题意，得． 解得：， 故答案为：5． 7．如图，一块长5米，宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的． (1)求配色条纹的宽度； (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价． 【答案】(1)配色条纹的宽度为 米 (2)元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设条纹的宽度为米，根据图中所示可列出条纹面积的代数式为，又根据题意得出等量关系：配色条纹面积整个地毯面积，列出方程求解即可； （2）根据： 总价单价数量，地毯总造价条纹面积造价其余面积造价，地毯总面积中，条纹面积占则其余面积占代入数据计算即可． 【详解】（1）设配色条纹的宽度为米，根据题意，可列方程为： 整理得， ， 解得 (不符合题意，舍去)，， 答：配色条纹的宽度为 米； （2）条纹造价： (元) ， 其余部分造价： (元) ， 总造价为： (元) ， 所以地毯的总造价是元． 8．冬季来临，小李在某景区门口出售秘制“羊肉汤”，每碗成本价6元，当每碗售价定为8元时，每天可售出200碗．小李想提高售价，获得更大利润，经调查发现：售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，经物价部门批准，每碗“羊肉汤”的售价不得超过20元．设每碗“羊肉汤”的售价为x（元），每天销量为y（碗）． (1)求y与x的函数关系式； (2)要使每天获利960元，每碗售价应为多少元； (3)每天的利润能否达到1320元，若能达到，每碗售价为多少元，若不能达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)12元 (3)每天不能获利1320元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据售价每碗每提高1元，每天将少售出10碗，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可； （3）列出一元二次方程，根据判别式的符号，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得： （2）每天获利960元时，根据题意得 ，整理得． 解得，（不合题意，舍去） 所以，每碗售价12元时，每天获利960元． （3）每天不能获利1320元，理由如下： 当时，整理得：． ∵，方程无解， 所以每天不能获利1320元． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$