专题3特殊平行四边形中的几种最值模型2025—2026学年北师大版数学九年级上册

专题三　特殊平行四边形中的几种最值模型 类型一　两定一动型 1.如图，长方形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B'点. （1）求B'点的坐标； （2）求折痕CM所在直线的函数表达式； （3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO＋PB'最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，已知AC＝10，BD＝5. （1）判断四边形OEPF的形状，并说理由； （2）求EF的最小值. 3.如图，正方形ABCD中，点E为边BC上的一动点，作AF⊥DE分别交DE，DC于点P，F，连接PC. （1）若点E为BC的中点，PE＝6，PC＝4，求PF的长； （2）若正方形边长为4，求PC的最小值. 类型二　两动一定型 4.探究： （1）如图1，P，Q为△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短；（不写作法） （2）如图2，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值； （3）如图3，正方形ABCD的边长为2，点O为AB边中点，在边AD，CD，BC上分别确定点M，N，P，使得四边形OMNP周长最小，并求出其最小值. 5.已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为直线BC上一点. （1）如图1，当点E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长； （2）如图2，点E为BC边延长线上一点，若BD＝BE，连接DE，点M为DE的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥CM； （3）如图3，在（2）的条件下，P，Q为AD边上两个动点，且PQ＝，顺次连接P，B，M，Q，求四边形PBMQ周长的最小值. 类型三　两定两动型 6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b分别与x轴、y轴交于点A，B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形. （1）填空：b＝　　　　； （2）求点D的坐标； （3）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形MNCD周长的最小值. 7.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，G，H分别是AD，BC边上的点，且AG＝CH，点E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G. （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）填空：①当AG＝　　　　时，四边形GEHF是矩形； ②当AG＝　　　　时，四边形GEHF是菱形； （3）求四边形GEHF的周长的最小值. 8.【问题背景】如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处. 【数学思考】（1）求证：△ABF∽△FCE； 【拓展探究】（2）若AB＝3，AD＝6，如图2. ①求EC的长； ②若P，Q分别是AE，AD上的动点，求PD＋PQ的最小值. 答案 1.解：（1）∵四边形OABC是长方形，OA＝10， ∴BC＝OA＝10. ∵△CBM沿CM翻折，∴B'C＝BC＝10. 在Rt△B'OC中，B'C＝10，OC＝6， ∴B'O＝＝8，∴B'（8，0）. （2）设AM＝x，则BM＝AB－AM＝6－x， ∵OA＝10，B'O＝8，∴B'A＝2. ∵△CBM沿CM翻折，∴B'M＝BM＝6－x. 在Rt△AB'M中，B'A2＋AM2＝B'M2， ∴22＋x2＝（6－x）2，解得x＝，∴M. 设CM所在直线的函数表达式为y＝kx＋b，将点C（0，6），M的坐标代入得： 解得 ∴CM所在直线的函数表达式为y＝－x＋6； （3）折痕CM上存在一点P，使PO＋PB'最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，如图， ∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点， ∴PB＝PB'，∴PO＋PB'＝PO＋PB≥OB， 当点O，P，B共线时，PO＋PB'最小， ∵OB＝＝＝2， ∴PO＋PB'的最小值为2. 2.解：（1）四边形OEPF是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠EOF＝90°. ∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EOF＝∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴四边形OEPF是矩形. （2）如图，连接OP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝AC＝×10＝5，BO＝BD＝×5＝. 在Rt△AOB中，由勾股定理得 AB＝＝＝， 由（1）得四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP. ∴当OP取最小值时，EF的值最小， ∵当OP⊥AB时，OP最小， 此时，S△ABO＝OA·OB＝AB·OP， ∴OP＝＝＝，∴EF的最小值为. 3.解：（1）如图1，延长PE到N，使得EN＝PF，连接CN. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°. ∵AF⊥DE，∴∠APD＝∠DPF＝90°， ∴∠ADP＋∠DAF＝90°，∠ADP＋∠EDC＝90°， ∴∠DAF＝∠EDC. 在△ADF和△DCE中， ∴△ADF≌DCE（ASA），∴∠AFD＝∠DEC，DF＝CE. ∵EC＝BC，BC＝DC，∴DF＝DC， ∴F为DC的中点. ∵∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFP. 又∵E，F分别是BC，DC的中点，∴CE＝CF. 在△CEN和△CFP中， ∴△CEN≌△CFP（SAS）， ∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF. ∵∠PCF＋∠BCP＝90°， ∴∠ECN＋∠BCP＝∠NCP＝90°， ∴△NCP是等腰直角三角形， ∴PN＝PE＋NE＝PE＋PF＝CP， ∴PF＝PC－PE＝8－6＝2. 　　　 （2）取AD的中点M，连接PM，CM，如图2. ∵∠APD＝∠EPF＝90°， ∴MP＝MD＝AD＝2， ∴CM＝＝＝2. ∵PM＋PC≥CM， ∴C，P，M共线时，PC的值最小，最小值为2－2. 4.解：（1）如图所示，作点P关于BC的对称点P'，连接P'Q，交BC于点M， 连接PQ，PM，则PM＝P'M， ∴此时△PQM的周长最短为PQ＋PM＋QM＝PQ＋P'M＋QM＝PQ＋P'Q，∴点M即为所求. 　　 （2）如图所示，作点E关于BC的对称点E'，作点F关于CD的对称点F'，连接E'F'，交BC于点M，交CD于点N，连接EM，FN，则EM＝E'M，FN＝F'N， ∴EF＋EM＋MN＋FN＝EF＋E'M＋MN＋F'N＝EF＋E'F'， ∴此时，四边形EFNM周长的最小值为EF＋E'F'的长. ∵AB＝6，AD＝8，点E，F分别为边AB，AD的中点， ∴AE'＝6＋3＝9，AF'＝8＋4＝12， ∴在Rt△AE'F'中，E'F'＝＝15. 又∵Rt△AEF中，EF＝＝5，∴四边形EFNM周长的最小值为EF＋E'F'＝5＋15＝20； （3）如图所示，作点O关于AD的对称点O1，关于BC的对称点O2，作O2关于CD的对称点O3，连接O1M，O2P，O3N， 则O1M＝OM，O2P＝OP，O3N＝O2N， 当点N，P，O2在同一直线上时，OP＋NP＝O2P＋NP＝O2N， 当点O1，M，N，O3在同一直线上时，OM＋MN＋NO2＝O1M＋MN＋NO3＝O1O3， 此时四边形OMNP周长最小为O1O3的长，点P为NO2与BC的交点，点M，N分别为O1O3与AD，CD的交点； ∵正方形ABCD的边长为2，点O为AB边中点， ∴在Rt△O1O2O3中，O1O2＝1＋2＋1＝4，O2O3＝4， ∴O1O3＝＝4， 即四边形OMNP周长的最小值为4. 5.解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∴DE＝AD＝4. 在Rt△CDE中，CE＝＝， ∴BE＝BC－CE＝4－. （2）证明：如图1，连接BM， ∵点M是DE的中点，∴DM＝EM. ∵BD＝BE，∴BM⊥DE，∴∠BMD＝90°. ∵点M是Rt△CDE的斜边的中点，∴DM＝CM， ∴∠CDM＝∠DCM，∴∠ADM＝∠BCM. 在△ADM和△BCM中，∴△ADM≌△BCM（SAS）. ∴∠AMD＝∠BMC，∴∠AMC＝∠AMB＋∠BMC＝∠AMB＋∠AMD＝∠BMD＝90°， ∴AM⊥CM； 　　 （3）如图2， 过点Q作QG∥BP交BC于点G，作点G关于AD的对称点G'，连接QG'，当点G'，Q，M在同一条直线上时，QM＋BP最小，而PQ和BM的长是定值，∴此时，四边形PBMQ周长最小，∵QG∥PB，PQ∥BG，∴四边形BPQG是平行四边形，∴QG＝BP，BG＝PQ＝，∴CG＝. 如图2，在Rt△BCD中，CD＝3，BC＝4， ∴BD＝5，∴BE＝5，∴CE＝BE－BC＝1， 作MH⊥GG'于点H， 则HM＝＋＝2，HG＝CD＝， 在Rt△MHG'中，HG'＝3＋＝，HM＝2， ∴MG'＝＝， 在Rt△CDE中，DE＝＝，∴ME＝， 在Rt△BME中，BM＝＝， ∴四边形PBMQ周长的最小值为BP＋PQ＋MQ＋BM＝QG＋PQ＋QM＋BM＝MG'＋PQ＋BM＝＋＋＝. 6.解：（1）b＝3. （2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. 又∵Rt△OAB中，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3. 在△OAB和△EDA中， ∴△OAB≌△EDA. ∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝4.∴OE＝4＋3＝7. ∴点D的坐标为（7，4）. 　　 （3）由题意，M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，四边形MNCD周长取最小值， ∴作点C关于y轴的对称点C'，点D关于x轴的对称点D'，连接C'D'分别交x轴，y轴于点M，N，则四边形MNCD周长取最小值为CN＋MN＋DM＋CD＝C'N＋MN＋D'M＋CD＝C'D'＋CD，如图2. 由（2）得，OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5.∴CD＝5. 仿照（2）可得C（3，7）.由对称性，∴C'（－3，7），D'（7，－4）. ∴C'D'＝＝. ∴四边形MNCD周长的最小值为5＋. 7.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠GDF＝∠HBE. ∵AG＝CH，∴DG＝BH. ∵点E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，∴DF＝BE， 在△DGF和△BHE中， ∴△DGF≌△BHE（SAS）， ∴GF＝HE，∠DFG＝∠BEH， ∴∠EFG＝∠FEH，∴GF∥HE， ∴四边形GEHF是平行四边形. （2）解：①当AG＝时，四边形GEHF是矩形.理由如下： 如图1，连接GH， ∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4， ∴AD＝＝2. 又∵AG＝CH＝，AD＝BC＝2，∴AG＝BH＝. 又∵AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形. ∴GH＝AB＝2，∵点E，O，F分别是对角线BD上的四等分点， ∴EF＝BD＝2，∴EF＝GH. 又∵四边形GEHF是平行四边形， ∴四边形GEHF是矩形； 　　 ②当AG＝时，四边形GEHF是菱形.理由如下：如图2，连接BG，DH，GH， ∵AG＝CH，AD＝BC，∴DG＝BH. ∵DG∥BH，∴四边形BHDG是平行四边形. ∵AG＝，AB＝2，∠A＝90°，∴DG＝AD－AG＝， BG＝＝，∴BG＝DG，∴四边形BHDG是菱形，∴GH⊥BD，即GH⊥EF. ∵四边形GEHF是平行四边形，∴四边形GEHF是菱形. （3）解：如图3，过点E作EM⊥AD于点M，延长EM到点N，使得MN＝EM，连接FN，NG，过点F作FP⊥EM于点P， 则MN＝EM＝DE＝， FP∥AD，EG＝NG， ∴∠EFP＝∠ADB＝30°， ∴EP＝EF＝1，∴PN＝EM＋MN－EP＝2，PF＝＝. ∵EG＋FG＝NG＋FG≥FN，当F，G，N三点共线时， EG＋FG的值最小，其值为FN＝＝， ∴四边形GEHF的周长的最小值为：2（EG＋FG）＝2. 8.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠CEF＋∠EFC＝90°. ∵△AFE由△ADE翻折得到，∴∠AFE＝∠D＝90°， ∴∠BFA＋∠EFC＝90°， ∴∠BFA＝∠CEF，∴△ABF∽△FCE. （2）解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝6， ∵∠B＝90°，AF＝AD＝6， ∴BF＝＝3，∴CF＝BC－BF＝6－3＝3. 设EC＝x，∵∠C＝90°，∴EF2＝EC2＋CF2， ∴（3－x）2＝x2＋32， 解得x＝，∴EC的长为； ②如图，作FQ'⊥AD于点Q'交AE于点P'，连接DP'，连接QF，交AE于点P，连接DF，DP， 由翻折得，AE垂直平分DF， ∴PD＝PF，P'D＝P'F， ∴PD＋PQ＝PF＋PQ＝QF，P'D＋P'Q'＝P'F＋P'Q'＝Q'F， 由“两点之间，线段最短”可知，线段QF的长即表示PD＋PQ的最小值， 由“垂线段最短”可知，当点Q与点Q'重合时，QF＝Q'F，此时QF的值最小，则PD＋PQ的值最小， ∵∠FQ'A＝∠Q'AB＝∠B＝90°， ∴四边形ABFQ'是矩形， ∴Q'F＝AB＝3，∴PD＋PQ的最小值是3. 学科网（北京）股份有限公司 $$