专题2特殊平行四边形中的动态综合问题2025—2026学年北师大版数学九年级上册

专题二　特殊平行四边形中的动态综合问题 类型一　折叠问题 1.如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8 cm，AB＝6 cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G. （1）求证：BG＝DG； （2）求△BDG的面积. 2.（1）【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形. 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图1），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图2）. 第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC.请证明△PBC是等边三角形. （2）【数学思考】 如图4，小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程. （3）【问题解决】 已知矩形一边长为3 cm，另一边长为a cm.对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围. 类型二　动点问题 3.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使CE＝3，连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD向终点D运动，设点P运动的时间为t s（t＞0）. （1）求DE的长； （2）连接AP，当四边形APED是菱形时，求t的值； （3）连接PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式. 类型三　旋转问题 5.（1）如图1，已知正方形AEFG与正方形ABCD，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，求证：BE＝DG，且BE⊥DG； （2）如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD，且＝＝，AE＝2，AB＝4，将矩形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接DE，BG，在旋转过程中，DE2＋BG2的值是定值，请求出这个定值. 6.【问题背景】 已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1＝d3＝1，d2＝2，我们把四个顶点分别在l1，l2，l3，l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”. 【问题探究】 （1）如图1，∠AED＝90°，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　　　　； （2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长∶宽＝2∶1，求矩形ABCD的宽. 【问题拓展】 （3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G，将∠AED绕点A顺时针旋转30°，得到∠AE'D'（如图2），点D'在直线l3上，以AD'为边在E'D'左侧作菱形AB'C'D'，使B'，C'分别在直线l2，l4上，求菱形AB'C'D'的边长. 类型四　动线问题 7.如图1，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别为2和3，且点B，C，G在同一条直线上，点P是线段AE的中点，连接PF，PD. （1）探究PF与PD的关系； （2）将正方形ABCD沿着CF所在的直线向下平移，设平移的距离为x，线段PF的长为y，求y与x的函数关系式.（图2为备用图） 8.综合与实践 【问题情境】矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，将△BCD沿着对角线BD所在的直线平移，得到△B'C'D'，连接AB'，DC'. 【操作探究】（1）如图1，当△BCD沿射线BD的方向平移时，请判断AB'与DC'的长度有何关系？并说明理由； （2）如图2，当△BCD沿射线DB的方向平移时，四边形AB'C'D能成为菱形吗？若能，求出平移的距离；若不能，说明理由； （3）当△BCD平移距离为2时，请你在备用图中画出平移后的图形（除图2），并提出一个问题，直接写出结论. 答案 1.（1）证明：∵△BDC'是由△BDC沿直线BD折叠得到的， ∴∠C'BD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠GDB，∴∠C'BD＝∠GDB，∴BG＝DG. （2）解：设DG＝x，则AG＝AD－DG＝8－x， ∵∠A＝90°，BG＝DG＝x，∴BG2＝AB2＋AG2， ∴x2＝62＋（8－x）2，∴x＝， ∴△BGD的面积是DG·AB＝××6＝（cm2）. 2.（1）证明：如图1，由折叠的性质得，EF垂直平分BC，BG垂直平分PC， ∵点P在EF上，∴PB＝PC，同理，PB＝CB，∴PB＝PC＝CB， ∴△PBC是等边三角形. 　　 （2）解：如图2， ①将△PBC绕点B逆时针旋转，得到△P'BC'，使点P'在矩形ABCD的内部； ②以点B为位似中心，将△P'BC'放大，得到△HBG，使点G在BC'的延长线上，且在CD上，△HBG就是所求的三角形. 证明：由旋转得△P'BC'≌△PBC， ∵△PBC是等边三角形，∴△P'BC'是等边三角形. ∵△HBG与△P'BC'关于点B位似， ∴△HBG∽△P'BC'，∴△HBG是等边三角形. ∵BG＞BC，∴△HBG是更大的等边三角形. （3）解：设矩形ABCD中，AB＝a cm，BC＝3 cm，△PBQ为矩形ABCD中的等边三角形， 如图3，点P在AD边上，点Q在BC边上， 作PR⊥BC于点R，则∠PRB＝∠ABR＝∠A＝90°， ∴四边形APRB是矩形. ∵△PBQ是等边三角形，∴∠PBR＝60°， ∴AB＝PR＝BP·sin 60°＝BP. 当点Q与点C重合时，BP＝BC＝3 cm，此时BP最大，AB的长也最大， ∵AB＝×3＝（cm），∴a的取值范围是0＜a≤； 　　 如图4，点P在AB边上，点Q在CD边上， ∵AB∥CD，∴∠BQC＝∠PBQ＝60°. ∵∠C＝90°，∴＝sin 60°. 当点P与点A重合时，AB最小，此时AB＝BP＝BQ＝＝＝2（cm）， ∴a的取值范围是a≥2； 如图5，点P在AD边上，点Q在CD边上， 当点Q与点C重合时，AB最小，此时AB＝BC·sin 60°＝（cm）； 当点P与点A重合时，AB最大，此时AB＝BQ＝＝2（cm）， ∴a的取值范围是≤a≤2. 3.（1）证明：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°. ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN. ∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF. 在△DEN和△FEM中， ∴△DEN≌△FEM（ASA），∴DE＝EF. ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形. （2）解：CE＋CG的值是定值. 在正方形DEFG和正方形ABCD中， DE＝DG，AD＝DC. ∵∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE. 在△ADE和△CDG中， ∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG， ∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝AB＝×3＝6， ∴CE＋CG的值是定值，定值为6. 4.解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，∠BCD＝90°， 在Rt△DCE中，由勾股定理得DE＝＝5. （2）∵四边形APED是菱形， PE＝AD＝5，BP＝BC＋CE－PE＝3，t＝3÷2＝， ∴当四边形APED是菱形时，t的值为； （3）当0＜t＜时，由题意知，BP＝2t， ∴S＝（5＋2t）×4＝10＋4t， 当≤t＜时，如图，则PD＝9－2t， ∴S＝（4＋9－2t）×5＝－5t， 综上：S＝ 5.（1）证明：如图1，延长DG交BE于H，交AB于点O， ∵四边形AEFG与ABCD为正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD，∴△AEB≌△AGD（SAS）， ∴∠ABE＝∠ADG. 又∵∠AOG＝∠BOH，∴∠BHO＝∠DAO＝90°， 即BE⊥DG. 　　 （2）解：如图2，连接EG，BD，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，AB与DG交于点H. ∵四边形AEFG与四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD＝90°＋∠GAB. 又∵＝＝，AE＝2，AB＝4， ∴△EAB∽△GAD，AG＝3，AD＝6， ∴∠EBA＝∠GDA， ∴∠AHD＋∠ADG＝90°＝∠QHB＋∠EBA， ∴GD⊥EB， ∴DE2＋BG2＝EQ2＋QD2＋GQ2＋QB2＝EG2＋BD2. ∵EG2＋BD2＝AE2＋AG2＋AB2＋AD2＝22＋32＋42＋62＝65， ∴DE2＋BG2＝65. 6.解：（1）如图1，∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED＝90°， ∴∠DGC＝90°. ∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD. ∵∠ADE＋∠2＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠ADE. ∵l3∥l4，∴∠1＝∠DCG，∴∠ADE＝∠DCG. 在△AED与△DGC中， ∴△AED≌△DGC（AAS）， ∴AE＝GD＝1，ED＝GC＝3，∴AD＝＝； 　　 （2）如图2，过点B作BE⊥l1于点E，反向延长BE交l4于点F，则BE＝1，BF＝3， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°， ∴∠ABE＋∠FBC＝90°. ∵∠ABE＋∠EAB＝90°，∴∠FBC＝∠EAB， ∴△BAE∽△CBF，∴＝. 当AB＜BC时，AB＝BC，∴AE＝BF＝， ∴AB＝＝； 如图3，当AB＞BC时， 同理可得：BC＝，∴矩形的宽为：或； 　　 （3）如图4，过点E'作ON垂直于l1，分别交l1，l3于点O，N， ∵∠OAE'＝30°，∴∠E'D'N＝60°. ∵AE'＝AE＝1，故E'O＝，E'N＝，E'D'＝， 由勾股定理可知菱形的边长为＝＝. 7.解：（1）如图，延长FP交AD的延长线于点M， ∵正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3， ∴FD＝1. ∵EF∥AM，点P是线段AE的中点， ∴△EFP≌△AMP，∴PM＝PF. ∵AM＝EF＝3，AD＝2，∴DM＝DF＝1， ∴△DMF是等腰直角三角形. ∵PM＝PF，∴DP是△FDM的中线， ∴PD＝FM＝PF. （2）如图，延长AD交FP的延长线于点K，同（1）易证△FPE≌△KPA，∴PF＝PK.又△FDK是直角三角形，点P是FK的中点，∴PF＝PD.过点P作PH⊥DK，垂足为H，在直角三角形DPH中， PH＝DF＝[3－（2－x）]＝（x＋1），DH＝×（2＋3）－2＝， ∴PF＝PD＝＝（x＞0）. 8.解：（1）AB'＝DC'.理由如下：，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∵△B'C'D'是由△BCD平移得到的， ∴B'C'∥BC，B'C'＝BC， ∴B'C'∥AD，B'C'＝AD， ∴四边形AB'C'D是平行四边形， ∴AB'＝DC'. （2）能，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°. ∵∠ADB＝30°，∴∠ABD＝60°. ∵四边形AB'C'D是菱形， ∴AB'＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB＝30°. ∵∠ABD＝∠AB'D＋∠B'AB＝60°， ∴∠AB'D＝∠B'AB＝30°，∴B'B＝AB＝2， 则平移的距离为2. （3）如图，问题：当△BCD沿射线BD的方向平移，平移距离为2时，四边形AB'C'D是菱形吗？ 结论：不是. 学科网（北京）股份有限公司 $$