专题1 与正方形有关的几种常考模型2025-2026学年北师大版数学九年级上册

专题一　与正方形有关的几种常考模型 类型一　正方形中相交垂线段问题 1.（1）如图1，四边形ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？ （2）如图2，四边形ABCD是一个正方形草地，现要在内部修建两条路MN，EF，且MN⊥EF， ①请问这两条路MN，EF还相等吗？为什么？ ②如图3，将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点D落在BC边上的点N处，若折痕EF的长为13，求此时DE的长； （3）如图4，将边长为12的正方形纸片沿EF折叠，点D落在BC边上的点N处，DN与EF交于点P，取AD的中点M，连接PM，PC，则PM＋PC的最小值为　　　　，此时EF的长度是　　　　. 类型二　正方形中过对角线交点的直角问题 2.如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F. （1）求证：△AOE≌△BOF； （2）如果两个正方形的边长都为4，求四边形OEBF的面积. 3.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN. （1）求证：△OMN是等腰直角三角形； （2）若正方形ABCD的边长为2，OE＝EM，求MN的长. 类型三　正方形中三垂直全等模型 4.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F. （1）求证：AE＝EF； （2）若S△CEF＝2，求EF的长. 5.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F. 【观察猜想】（1）填空：AE与EF的数量关系为　　　　；（提示：取AB的中点G，连接EG） 【类比探究】（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由. 类型四　正方形中的半角模型 6.（1）在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF与AC交于点G. ①如图1，若AC平分∠EAF，直接写出线段EF，BE，DF之间的等量关系. ②如图2，若AC不平分∠EAF，①中线段EF，BE，DF之间的等量关系还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （2）如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点M，N分别在边CD，BC上，AN＝2，∠MAN＝45°，求AM的长度. 7.如图，在正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，AD，BC上，DE与MN相交于点O，记∠MOD＝α. （1）如图1，若∠MOD＝90°，求证：DE＝MN； （2）如图2，若∠MOD＝45°，边长AB＝4，MN＝，求线段DE的长. 参考答案 1.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°. ∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF， ∴∠ABE＋∠AEB＝∠DAF＋∠AEB， ∴∠DAF＋∠AEB＝90°，∴BE⊥AF. （2）①如图1，作AR∥EF，交CD于点R，作DT∥MN，交BC于点T，DT和AR交于点O， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD， ∵四边形AFER、四边形MNTD是平行四边形，∴DT＝MN，AR＝EF，DT∥MN，AR∥EF. ∵MN⊥EF，∴AR⊥DT，∴∠DOR＝90°，∴∠RDO＋∠ARD＝90°. ∵∠ADC＝90°，∴∠DAR＋∠ARD＝90°，∴∠RDO＝∠DAR，∴△ADR≌△DCT（ASA）， ∴DT＝AR，∴MN＝EF； 　　 ②如图2，连接DN，∵点D，N关于EF对称，∴DN⊥EF，EN＝DE， 由①知：DN＝EF＝13，∵∠C＝90°，DC＝12，∴CN＝5. 设EN＝DE＝a，则CE＝12－a，在Rt△CEN中，由勾股定理得， a2－（12－a）2＝52，a＝，∴DE＝； （3）如图3，连接CM，EN，∴PC＋PM≥CM， ∴当点M，P，C共线时，PC＋PM最小，最小值为CM的长. ∵∠ADC＝90°，DM＝AD＝6，CD＝12，∴CM＝＝6. 由对称性可知：DE＝EN，∵EF⊥DN，∴PD＝PN. ∵AD∥BC，∴∠MDP＝∠PNC，∠DMP＝∠PCN， ∴△DMP≌△NCP（AAS），∴CN＝DM＝6， ∴EF＝DN＝CM＝6. 2.（1）证明：在正方形ABCD中，AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°， ∵∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中，∴△AOE≌△BOF（ASA）. （2）解：∵△AOE≌△BOF， ∴S四边形OEBF＝S△EOB＋S△OBF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×42＝4. 即四边形OEBF的面积为4. 3.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°. ∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON， ∴△OAM≌△OBN（ASA）， ∴OM＝ON，∴△OMN是等腰直角三角形. （2）解：如图，过点O作OH⊥AD于点H， ∵正方形的边长为2，∴OH＝HA＝1. ∵OE＝EM，∴HM＝2，则OM＝＝，∴MN＝＝＝.第3题图　　第4题图 4.解：（1）如图，取AB的中点M，连接ME， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°. ∵点E是边BC的中点，∴AM＝EC＝BE，∴∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°.∵CF平分∠DCG，∴∠DCF＝∠FCG＝45°，∴∠ECF＝180°－∠FCG＝135°， ∴∠AME＝∠ECF. ∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠CEF＝90°. 又∠AEB＋∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF. （2）∵△AME≌△ECF，∴S△AME＝S△ECF＝2，AE＝EF， ∴2＝×AM×BE， ∴4＝BE2，∴BE＝2，∴AB＝4，∴AE＝＝＝2，∴EF＝AE＝2. 5.解：（1）如图1，取AB的中点G，连接EG， 则BG＝AG＝AB. ∵点E是BC的中点， ∴EC＝BE＝BC，∴AG＝BG＝BE＝EC， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°. ∵CF是正方形ABCD的外角的平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°＝∠AGE. ∵∠AEF＝90°＝∠ABC， ∴∠BAE＋∠AEB＝90°＝∠AEB＋∠FEC， ∴∠BAE＝∠FEC，∴△AGE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF. 　　　 （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，在AB上取点G，使AG＝EC，连接EG， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°. ∵AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGE是等腰直角三角形， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝∠ECF＝135°. ∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°. ∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠FEC＝∠BAE. 在△GAE和△CEF中， ∴△GAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF； （3）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 延长BA至点H，使AH＝CE，连接HE， ∵BA＝BC，AH＝CE，∴BH＝BE，∴∠H＝45°. ∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF＝45°， ∴∠H＝∠ECF. ∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B＋∠BEA， ∠CEF＝∠AEF＋∠BEA， ∴∠HAE＝∠CEF. 在△HAE和△CEF中， ∴△HAE≌△CEF（ASA），∴AE＝EF. 6.解：（1）①如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠CAD＝45°. ∵∠EAF＝45°，AC平分∠EAF， ∴∠BAE＝∠EAG＝∠DAF＝∠FAG＝22.5°. ∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE，∴AC⊥EF， ∴∠AGE＝∠AGF＝90°. ∵AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，∴BE＝EG，DF＝GF， ∴EF＝BE＋DF. 　　　　 ② ①中线段EF，BE，DF之间的等量关系还成立：EF＝BE＋DF. 如图2，延长CD到点H，截取DH＝BE，连接AH， 在△AEB与△AHD中，∵ ∴△AEB≌△AHD（SAS）， ∴AE＝AH，∠BAE＝∠HAD. ∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°， ∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠DAF＋∠DAH＝45°，即∠EAF＝∠HAF. 在△EAF与△HAF中，∵ ∴△EAF≌△HAF（SAS）， ∴EF＝HF＝DF＋DH＝BE＋DF. （2）如图，取AD，BC的中点P，Q，连接PQ，PQ交AM于点H，连接NH， ∵AD＝8，AB＝4， ∴AP＝AB＝BQ＝PQ＝4. 又∠B＝90°， ∴四边形ABQP是正方形. 在Rt△ABN中，AB＝4，AN＝2， ∴BN＝＝2，∴NQ＝4－2＝2. ∵∠NAH＝45°， 由（1）同理得NH＝BN＋PH， 设PH＝x，则NH＝x＋2，QH＝4－x， 在Rt△NHQ中，NH2＝NQ2＋QH2， ∴（2＋x）2＝22＋（4－x）2，解得x＝. ∵P是AD的中点，PH∥DM， ∴AH＝HM，∴DM＝2PH＝， 由勾股定理得AM＝＝＝. 7.（1）证明：如图1，作AG∥MN，交DE于点F，交BC于点G，则∠AFD＝∠MOD＝90°. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AM∥GN，DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°， ∴四边形AGNM是平行四边形，∠ADE＝∠BAG＝90°－∠DAG， ∴AG＝MN， 在△ADE和△BAG中， ∴△ADE≌△BAG（ASA）， ∴DE＝AG，∴DE＝MN. （2）解：如图2，作DF∥MN，交BC于点F，则∠EDF＝∠MOD＝45°， ∵DM∥FN. ∴四边形DMNF是平行四边形. ∵AB＝4，MN＝， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，DF＝MN＝. ∵∠DCF＝90°， ∴CF＝＝＝1， ∴BF＝BC－CF＝4－1＝3. 延长BC至点H，使CH＝AE，连接DH，EF，则∠DCH＝∠A＝∠ADC＝90°， 在△CDH和△ADE中， ∴△CDH≌△ADE（SAS）， ∴DH＝DE，∠CDH＝∠ADE， ∴∠HDF＝∠CDH＋∠CDF＝∠ADE＋∠CDF＝∠ADC－∠EDF＝90°－45°＝45°， ∴∠HDF＝∠EDF. 在△HDF和△EDF中， ∴△HDF≌△EDF（SAS），∴HF＝EF. ∵HF＝CH＋CF＝AE＋1，∴EF＝AE＋1. ∵BE2＋BF2＝EF2，且BE＝4－AE， ∴（4－AE）2＋32＝（AE＋1）2，解得AE＝， ∴DE＝＝＝， ∴线段DE的长是. 学科网（北京）股份有限公司 $$