第4章 一元二次方程（单元测试·提升卷）数学青岛版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D B D B B C D C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 11．1 12． 13．2024 14．秒或秒 15．①②④ 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分） 【答案】（1） 解：, , ，．（3分） （2） 解： 或 解得：，．（6分） 17．（本题5分） 【答案】（1）解：因为， 所以；（2分） （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得．（5分） 18．（本题6分） 【答案】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米），（2分） 改造后，斜坡坡度， ，（4分） 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米．（6分） 19．（本题6分） 【答案】（1）解：依题意得： 整理得： ∴ ∴（2分） （2）∵方程有实数根 ∴ 整理得： 解得： ∵取正整数值 ∴，，， 又∵ ∴ ∴满足条件的的正整数值为：，，（4分） （3）当时， 原方程可化为： ∴，即 解得：（6分） 20．（本题8分） 【答案】（1）证明：如图，延长交于点，连接． 为的直径， ，即． 点为的中点， ， ， ． ， ， ， ．（4分） （2）解：设的半径为，则，． ，， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 直径的长为．（8分） 21．（本题8分） 【答案】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：，（2分） 原方程为：， ，（4分） 将和代入第2个方程得，， 解得：，；（6分） （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或；（8分） 22．（本题8分） 【答案】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为；（4分） （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为．（8分） 23．（本题8分） 【答案】（1）解：由题意可得：， ∵公司希望该产品第一年的利润为20万元， ∴， 解得：， ∴若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元；（3分） （2）解：∵受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴， ∴， ∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， ∴，（5分） 由题意可得：， ∵该公司第二年的利润W2为90万元时， ∴， 整理可得：， 解得：，， 故该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元．（8分） 24．（本题10分） 【答案】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A．（2分） （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以；（6分） （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4．（10分） 25．（本题10分） 【答案】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，．（2分） 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴；（6分） 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 一元二次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①，是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，是一元二次方程． ∴是一元二次方程的有2个． 故选：B 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 3．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【解析】将原方程化为一般形式：． A、当时，左边，成立，选项A正确； B、一次项系数为，选项B错误； C、常数项为1，选项C正确； D、当时，左边，成立，选项D正确． 故选：B． 4．老师出示问题：“解方程．”四位同学给出了各自的答案．小琪：；子航：；一帆：；萱萱：．你认为谁的答案正确？你的选择是（   ） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 【答案】D 【解析】解：， ， 解得， 故萱萱：的正确． 故选：D． 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故选：B． 6．已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：一元二次方程可化简为， 则， 所以，方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】解：，且为“完美数”， ， ； 故选：C． 8．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【解析】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则x的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选C． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵方程是关于的一元二次方程 ∴ 由可得，解得 又∵，即 ∴ 故答案为：． 11．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】1 【解析】解：把代入一元二次方程中，得． 解得或． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【解析】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 13．若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2024 【解析】解：∵、是方程的两个实数根， ，， ， ∴ 故答案为：． 14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】秒或秒 【解析】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得， ， ，， ∴经过秒或秒时，的面积等于， 故答案为：秒或秒． 15．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 【答案】①②④ 【解析】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）解下列方程： (1)（用公式法）． (2)（用配方法）． 【答案】(1)，． (2)，． 【解析】（1） 解：, , ，． （2） 解： 或 解得：，． 17．（本题5分）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【答案】(1)10； (2)． 【解析】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 18．（本题6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【解析】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 19．（本题6分）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 【答案】(1) (2)，， (3)当时， 【解析】（1）解：依题意得： 整理得： ∴ ∴ （2）∵方程有实数根 ∴ 整理得： 解得： ∵取正整数值 ∴，，， 又∵ ∴ ∴满足条件的的正整数值为：，， （3）当时， 原方程可化为： ∴，即 解得： 20．（本题8分）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【解析】（1）证明：如图，延长交于点，连接． 为的直径， ，即． 点为的中点， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：设的半径为，则，． ，， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 直径的长为． 21．（本题8分）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【解析】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 22．（本题8分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【解析】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 23．（本题8分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式． (1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？ 【答案】(1)若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元 (2)该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元 【解析】（1）解：由题意可得：， ∵公司希望该产品第一年的利润为20万元， ∴， 解得：， ∴若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是元； （2）解：∵受产能限制，销售量无法超过12万件， ∴， ∴， ∵为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价， ∴， 由题意可得：， ∵该公司第二年的利润W2为90万元时， ∴， 整理可得：， 解得：，， 故该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是元． 24．（本题10分）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【解析】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 25．（本题10分）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 【答案】问题1：，．问题2：．问题3： 【解析】解：问题1．∵的两个实数根为， ∴，． 故答案为：，． 问题2．∵关于x的一元二次方程有两个实数根为， ∴， 解得： 又． ∵， ∴． ∴． ∴； 问题3．∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴，，，． ∴． ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 一元二次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 4．老师出示问题：“解方程．”四位同学给出了各自的答案．小琪：；子航：；一帆：；萱萱：．你认为谁的答案正确？你的选择是（   ） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则x的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D．且 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ． 11．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 13．若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 15．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）解下列方程： (1)（用公式法）． (2)（用配方法）． 17．（本题5分）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 18．（本题6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 19．（本题6分）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 20．（本题8分）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 21．（本题8分）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 22．（本题8分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 23．（本题8分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式． (1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？ 24．（本题10分）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 25．（本题10分）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第4章 一元二次方程·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列方程：①；②；③；④．是一元二次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 4．老师出示问题：“解方程．”四位同学给出了各自的答案．小琪：；子航：；一帆：；萱萱：．你认为谁的答案正确？你的选择是（   ） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（   ） A． B． C． D． 6．已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 9．关于x的方程有两个不相等的实数根，则x的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D．且 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为 ． 11．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 12．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 13．若、是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 15．对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）解下列方程： (1)（用公式法）． (2)（用配方法）． 17．（本题5分）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 18．（本题6分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 19．（本题6分）已知关于的一元二次方程 (1)若该方程的二次项系数，一次项系数，常数项的和为，求的值； (2)若该方程有实数根，求满足条件的正整数的值； (3)在（2）的条件下，请为选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根． 20．（本题8分）如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连接，，，延长，相交于点． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 21．（本题8分）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 22．（本题8分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 23．（本题8分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足的函数关系式． (1)第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．若公司希望该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (2)第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2为90万元时，那么该产品第二年的售价最多是多少？ 24．（本题10分）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 25．（本题10分）根据以下素材，解决问题． 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理． 素材1 材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，． 则． 问题解决 问题1 若一元二次方程的两个实数根为，，则　　　，　　　； 问题2 已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，且，求的取值范围； 问题3 已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$