专题02 锐角三角函数七类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题02 锐角三角函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知角度比较三角函数值的大小 1 题型二、根据三角函数值判断锐角的取值范围 3 题型三、互余两角三角函数的关系 4 题型四、特殊三角形的三角函数（常考题） 5 题型五、特殊角三角函数值的混合运算（重点） 6 题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 9 题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知角度比较三角函数值的大小 1．已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在锐角范围内，余弦函数的值随角度的增大而减小．已知，当取最小值时，即，的值最大，即最大值为． 故选A． 2．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 3．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【解析】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 4．比较大小（用连接），，，，则 ． 【答案】 【解析】解：依题意，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【解析】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 题型二、根据三角函数值判断锐角的取值范围 6．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 7．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：是锐角，且， ， 故选：A． 8．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴； 故选C． 9．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值，以及锐角的正弦值随着角度的增大而增大，是解题的关键． 10．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由， ∴， ∵当时，随着的增大而减小， ∴， 故答案为： 题型三、互余两角三角函数的关系 11．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在中，， ∴， ∴； 故选：A 12．在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 故选：C． 13．以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵ ∴． 故选：B． 14．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 15． （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 题型四、特殊三角形的三角函数 16．（24-25九年级上·广东梅州·期末）下列三角函数中，值为 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，，，， 故选：D． 17．值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：； 故选C． 18．的倒数是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】解： 的倒数为 故选：A． 19．计算的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】解： 故选：B． 20．若，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴是锐角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五、特殊角三角函数值的混合运算 21．（24-25九年级上·天津和平·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】解：根据特殊角的三角函数值代入计算： ． 故选：C． 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）计算：． 【答案】 【解析】解：原式． 23．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【解析】（1）解： ； （2） ． 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： （2）解： 25．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题． …① …② …③ (1)错误步骤：______填最先出错的步骤序号即可 (2)写出正确解答步骤． 【答案】(1)① (2)，见解析 【解析】（1）解：错误的步骤是：①， 故答案为：①； （2）解：正确解答步骤为： ． 题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 26．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【解析】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 27．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 28．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 29．如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【解析】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 30．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【解析】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 31．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ，， ，， ． 故选：B． 32．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若为锐角，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意，得， 得． 故选：A． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在中，，那么锐角的度数是 ． 【答案】/30度 【解析】解：∵，为锐角，， ∴． 故答案为：． 34．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在锐角三角形中，若，满足，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴，， 即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 35．已知，均为锐角，且满足，那么 ． 【答案】/度 【解析】解：由题意得：，， ，， ，， ． 故答案为：． 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意得：，， ，， 在锐角范围内，，， ． 故选A． 2．（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】0 【解析】解： ， 故答案为：0． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 【答案】 【解析】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， ∴ 的最小值为 故答案为：． 5．（2025·四川南充·中考真题）计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 6．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】解： ∵ ∴原式． 7．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数． 【答案】（1） （2）， 【解析】解：（1）原式 ； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（1）计算：； （2）图是小星同学进行分式化简的过程， 请认真阅读并完成相应任务： ①小星同学的化简过程从第______步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，，中选择合适的数代入求值． 化简：． 解：原式              第一步                          第二步                                 第三步                                      第四步 【答案】（1）；（2）①三；②； 【解析】解：（1） ； （2）第三步开始出现错误； 故答案为：三； ． ∵ ∴当时，原式 9．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 【答案】基本图形：；知识迁移：；拓展应用： 【解析】解：基本图形： 四边形是矩形， ， 设， ， 由翻折的性质得：， ，点为的中点， ， 在中，， ， 即， 解得：， ； 知识迁移： 由①得，，， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 又， ， ，，， ， ，， 如图②，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， 即， ， 由勾股定理得，，， ，， ， ，即， ， ， ； 拓展应用： 如图③，过点作于点， 设，则， 由翻折的性质得，，， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， ， 设， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 10．（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)（1）的结仍然成立，理由见解析； (3)或． 【解析】（1）解：，，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． （2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2中，延长到，使得，设交于，交于， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，（1）的结论，仍然成立． （3）解：①如图，当，作于，连接， ，，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ， ； ②如图，过点作的延长线于，连接， 同①可知，，， ∵， ∴， ∴， ． 综上所述，的面积为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 锐角三角函数 目录 A题型建模・专项突破 题型一、已知角度比较三角函数值的大小 1 题型二、根据三角函数值判断锐角的取值范围 1 题型三、互余两角三角函数的关系 2 题型四、特殊三角形的三角函数（常考题） 2 题型五、特殊角三角函数值的混合运算（重点） 3 题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 3 题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 4 B综合攻坚・能力跃升 题型一、已知角度比较三角函数值的大小 1．已知为锐角，当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 4．比较大小（用连接），，，，则 ． 5．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 题型二、根据三角函数值判断锐角的取值范围 6．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．若是锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 8．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则锐角的取值范围是 ． 题型三、互余两角三角函数的关系 11．在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 13．以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 14．（24-25九年级上·广西梧州·期末）已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 15． （选填“”或“”或“”）． 题型四、特殊三角形的三角函数 16．（24-25九年级上·广东梅州·期末）下列三角函数中，值为 的是（    ） A． B． C． D． 17．值是（   ） A．1 B． C． D． 18．的倒数是（   ） A．2 B．1 C． D． 19．计算的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 20．若，，则 ． 题型五、特殊角三角函数值的混合运算 21．（24-25九年级上·天津和平·期末）的值是（   ） A． B． C．1 D． 22．（24-25九年级上·陕西西安·期末）计算：． 23．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 25．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）小磊的一道错题如图所示，请仔细观察并解决以下问题． …① …② …③ (1)错误步骤：______填最先出错的步骤序号即可 (2)写出正确解答步骤． 题型六、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 26．在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 27．在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 28．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 29．如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 30．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 题型七、根据特殊角三角函数值求角的度数 31．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若为锐角，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·浙江金华·期末）在中，，那么锐角的度数是 ． 34．（24-25九年级上·全国·随堂练习）在锐角三角形中，若，满足，则 ． 35．已知，均为锐角，且满足，那么 ． 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·上海嘉定·一模）如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ． 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图，已知，，，、分别为、上的点，连接，若于点，且平分▱的面积，过作于点，连接，则的最小值为 5．（2025·四川南充·中考真题）计算：． 6．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值：，其中． 7．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数． 8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）（1）计算：； （2）图是小星同学进行分式化简的过程， 请认真阅读并完成相应任务： ①小星同学的化简过程从第______步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，，中选择合适的数代入求值． 化简：． 解：原式              第一步                          第二步                                 第三步                                      第四步 9．（2025·辽宁铁岭·一模）基本图形 如图①，在矩形中，，，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在的中点处，点的对应点为点，对应边与交于点，求的长． 知识迁移 如图②，在图①的条件下分别延长，交于点，求出的面积 拓展应用 如图③，在矩形中，，，点是的中点，点在边上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在矩形内部，对应边与交于点，点是上一点，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在上，若，，求的长 10．（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$