专题03 解直角三角形七类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题03 解直角三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解直角三角形的相关计算（常考点） 1 题型二、非直角三角形 2 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（难点） 3 题型四、三角函数综合 4 题型五、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（重点） 5 题型六、方位角问题(解直角三角形的应用) 7 题型七、坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解直角三角形的相关计算 1．在Rt中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，垂足为点D，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 3．在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，对角线于点，，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型二、非直角三角形 6．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 7．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 8．田远同学从家里沿北偏西方向走到商场购买文具，再从商场向正南方向到学校，田远同学的家离学校（　　） A． B． C． D． 9．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 10．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 11．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 13．如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 14．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 15．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 题型四、三角函数综合 16．在中，，，若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 17．如图，矩形的对角线交于点.若，，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 18．如图，一根电线杆地面，垂足为，并用两根斜拉线，固定，使点，，，在同一平面内，现测得，，则（    ）    A． B． C． D． 19．下列说法中，正确的有（  ）个 ①为锐角，则； ②﹔ ③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔ ④坡度越大，则坡角越大，坡越陡； ⑤； ⑥当的三边长扩大为倍时，则的值也相应扩大倍． A． B． C． D． 20．把一副三角板按如图方式放置，含角的顶点在等腰直角三角板的斜边的延长线上，，，则的值是（    ）． A． B． C． D．  题型五、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 21．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，乐乐想测对面杆子的高度，他离杆子的距离为，在点他仰视杆顶，测得仰角为，他沿向杆走近了到达点，再次测得仰角为，乐乐高度为，则杆的高度为（　   ），已知． A． B． C．3.6 D．4.6 22．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，一般成年人头部的高度在范围内．图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，他的身高为，则h的取值范围为（   ）(参考数据：，，) A． B． C． D． 23．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 25．（24-25九年级上·山东烟台·期末）下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（  ） A． B． C． D． 题型六、方位角问题(解直角三角形的应用) 26.如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 27．如图，港口在观测站的正东方向，．某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（   ） A． B． C． D． 28．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 30．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 题型七、坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 31．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为20米，斜坡的坡度，则此斜坡的水平距离为（   ） A．75米 B．50米 C．30米 D．20米 32．某校试行“半天校外课”计划以提高学生的问题解决能力，组织学生到校外，利用相关的数学知识测量某雕像的高度．如图，雕像前有一段坡度为的斜坡，某同学站在坡底点处，用测角仪测得顶部的仰角为，接着他又向上走了5米，在坡上点处测得顶部的仰角为在同一平面内．若测角仪的高度米，则雕像的高度约为（　　）米．（精确到米，参考数据：） A．9.6 B．10.0 C．10.4 D．10.8 33．（24-25九年级上·海南海口·期中）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（  ） A． B． C． D． 34．如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 35．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ． 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 4．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 5．（2025·四川广元·中考真题）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：， 6．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 9．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的水平高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 10．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解直角三角形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解直角三角形的相关计算（常考点） 1 题型二、非直角三角形 4 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积（难点） 7 题型四、三角函数综合 11 题型五、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（重点） 15 题型六、方位角问题(解直角三角形的应用) 18 题型七、坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解直角三角形的相关计算 1．在Rt中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，在中，，且， 设对边为，则斜边为， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 2．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，垂足为点D，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，， ∴， 在中，， ． 故选：A． 3．在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解： 在Rt△ABC中， , , ． 故选：D． 4．如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 5．如图，在四边形中，对角线于点，，若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴； 故选：D． 题型二、非直角三角形 6．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【解析】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 7．如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【解析】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 8．田远同学从家里沿北偏西方向走到商场购买文具，再从商场向正南方向到学校，田远同学的家离学校（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过A作于D，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 答：田远同学的家离学校． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 9．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 10．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点两点的距离为（）千米． A．4 B． C．2 D．6 【答案】D 【解析】解：由题意可知，，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键． 题型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 11．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【解析】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 12．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 13．如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【解析】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB， ∴， 在Rt△ADE中， ∵ AD = 8米，坡角α =30°， DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角β = 45°， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识． 14．如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　）   A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】B 【解析】解：设DE=GF=a，BG=AE=b，AB=c， 过F作FM⊥BE于M，在Rt△BFM中，FM=BFsinB=asinB； 过G作GN⊥BE于N，在Rt△BGN中，GN=BGsinB=bsinB； ∴当b=0时，阴影部分的面积为三角形BEF的面积，S阴= acsinB； 当b≠0时，S阴=S△BEF-S△BDG= （a+b）（c-b）sinB-（c-a-b）sinB= acsinB， ∴运动过程中，阴影部分的面积不变， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 15．如图，在中，是斜边上的高，将得到的两个和按图、图、图三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为，，，若，则与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，过点作，交于点， = ， ， ， ， 由题目中所给的图及直角三角形高线性质可知： ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查对于三角形面积公式的运用，解题关键是在各自图形中找到面积表达式，利用已知的等量关系，结合所给的图及直角三角形高线性质，找出与得关系． 题型四、三角函数综合 16．在中，，，若，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，， ∴ ∴ 故答案为：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握余弦的定义和性质是解题的关键． 17．如图，矩形的对角线交于点.若，，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠DCB=90°，AC=BD，AO=CO，BO=DO， A、在Rt△ABC中， ∴，此选项不符合题意 由三角形内角和定理得：∠BAC=∠BDC=∠α， B、在Rt△BDC中，， ∴，故本选项不符合题意； C、在Rt△ABC中，，即AO= ，故本选项不符合题意； D、∴在Rt△DCB中， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 18．如图，一根电线杆地面，垂足为，并用两根斜拉线，固定，使点，，，在同一平面内，现测得，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在Rt△PAO中，，∴； 在Rt△PBO中，，∴； ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 19．下列说法中，正确的有（  ）个 ①为锐角，则； ②﹔ ③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔ ④坡度越大，则坡角越大，坡越陡； ⑤； ⑥当的三边长扩大为倍时，则的值也相应扩大倍． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①在Rt△ACB中，设c为斜边，∠α的对边、邻边分别为a，b，那么sinα+cosα=，所以①对； ②不对，函数值是角与边的关系，不是简单度数相加； ③不对，只知道角不知道边也不能解直角三角形； ④垂直高度与水平距离之比即坡度所以④对； ⑤也不对，sinA=，是明显错误； ⑥不对，角度数不变，函数值就不变． 综上，①④正确，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数．学生学这一部分知识时要细心去理解文字所表达的意思．关键是熟练掌握有关定义和性质． 20．把一副三角板按如图方式放置，含角的顶点在等腰直角三角板的斜边的延长线上，，，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作于 ∵且   ∴ ∵含角的顶点在等腰直角三角板的斜边的延长线上 ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、含角的直角三角形和三角函数的知识；求解的关键是熟练掌握等腰直角三角形和含角的直角三角形的性质，结合三角函数定义从而完成求解． 题型五、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 21．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，乐乐想测对面杆子的高度，他离杆子的距离为，在点他仰视杆顶，测得仰角为，他沿向杆走近了到达点，再次测得仰角为，乐乐高度为，则杆的高度为（　   ），已知． A． B． C．3.6 D．4.6 【答案】B 【解析】解：设米． ∵在中，， ∴米． ∵米， ∴米． ∵在中，，， ∴，即． ∵解方程， ∴， ， ， ， ． ∵米， ∴（米）． 故选：B． 22．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，一般成年人头部的高度在范围内．图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，他的身高为，则h的取值范围为（   ）(参考数据：，，) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过点作于，延长交于点， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵一般成年人头部的高度在范围内． ∴同理可得：他的身高不能低于， ∴h的取值范围为， 故选：C． 23．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为，，则树高为（用含的代数式表示）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 24．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 25．（24-25九年级上·山东烟台·期末）下表是李军同学填写的综合实践活动报告的部分内容： 题目 测量铁塔顶端到地面的高度 测量对象示意图 相关数据 ，， 设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， 则， 设为，， 在，== 即， 故选A． 题型六、方位角问题(解直角三角形的应用) 26.如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，由题意得，，垂足为D，，， 在中，，米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故选：C． 27．如图，港口在观测站的正东方向，．某船从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， 故选：C． 28．如图，点是海上巡逻艇的位置，若一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上，则这艘渔船的大致位置可以在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【解析】解：如图， ∵一渔船在海上巡逻艇的北偏东方向上， ∴由图可得，这艘渔船的大致位置可以在点处． 故选：B． 29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【答案】A 【解析】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 30．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 【答案】A 【解析】解：如图， 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E． ，． 在直角中， ，， . . ，， ． 在直角中， ，， ． ． 在直角中， ，， ． 故选：A． 题型七、坡度坡比问题(解直角三角形的应用) 31．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为20米，斜坡的坡度，则此斜坡的水平距离为（   ） A．75米 B．50米 C．30米 D．20米 【答案】B 【解析】解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵米， ∴（米）， 故选：B． 32．某校试行“半天校外课”计划以提高学生的问题解决能力，组织学生到校外，利用相关的数学知识测量某雕像的高度．如图，雕像前有一段坡度为的斜坡，某同学站在坡底点处，用测角仪测得顶部的仰角为，接着他又向上走了5米，在坡上点处测得顶部的仰角为在同一平面内．若测角仪的高度米，则雕像的高度约为（　　）米．（精确到米，参考数据：） A．9.6 B．10.0 C．10.4 D．10.8 【答案】C 【解析】解：过F作于G，作A作于H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， 延长交于M， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 在中，， 由题意得：米， ∴， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ∴, ∴米， ∴雕像的高度约为米， 故选：C． 33．（24-25九年级上·海南海口·期中）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点A作于F，过点E作于H， 则，， ∵斜坡的坡度，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 34．如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】解：在中，， ∴米， 故选：A． 35．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 2．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接，交于，过作于， ∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求点到线段的距离． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：过点作的垂线，垂足为，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点到线段的距离为． 4．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴； ∵点D为的中点， ∴； 如图所示，过点A作于H， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得． 5．（2025·四川广元·中考真题）为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔．该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成（如图①）．小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量（如图②）：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角，最低点B的仰角，点E到塔底中心O的距离为米．求五角星高度大约是多少米（结果保留整数）？（参考数据：， 【答案】大约是3米 【解析】解：如图，设射线与相交于点D．由题意可知， ，米， ∴四边形为矩形，故米（水平距离）． 在中，， ， 米． 在中，， 米． ∵点在同一直线上， ∴米，保留整数得米． 答：五角星高度大约是3米． 6．（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 7．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 8．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 9．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． (1)求平台的水平高度； (2)求建筑物的高度（即的长）． 【答案】(1)10米 (2)米 【解析】（1）解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． （2）解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 10．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）证明：连接， ∵是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点G，过点F作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理可得，即， 解得， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作于点P，作于点Q，设， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在射线上截取，在射线上截取， ∵是菱形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵O是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$