专题01 锐角三角比七类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题01 锐角三角比（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦的概念辨析 1 题型二、求角的正弦值（重点） 2 题型三、求角的余弦值 2 题型四、余弦的概念辨析 3 题型五、已知余弦求边长 4 题型六、求角的正切值（常考题） 5 题型七、已知正切值求边长 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦的概念辨析 1．在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 2．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则锐角 锐角（填、或）． 5．如图，如果中是锐角，，．证明：． 题型二、求角的正弦值 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（   ） A． B． C． D． 9．在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 10．在Rt中，若，，，则的值为 ． 题型三、求角的余弦值 11．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．在中，，，则 题型四、余弦的概念辨析 16．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 17．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 19．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 20．比较大小： （用“＞”或“＜”填空） 题型五、已知余弦求边长 21．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）在中，，如果，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 23．如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 24．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 25．（2025·湖北武汉·一模）如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是 米．（参考数据：） 题型六、求角的正切值 26． 在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．在正方形网格中，如图放置，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 28．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，，是边上的中线，，则（   ） A． B． C． D． 29．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的值是（   ） A． B． C． D． 30．已知等腰三角形中，，．求的值． 题型七、已知正切值求边长 31．已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 32．在中，，如果，，那么 ． 33．是直角三角形，，，则的长为 ． 34．如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ． 1．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 3．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江·二模）如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 8．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 9．（2025·河南郑州·三模）如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形．发现四边形是菱形，，是的中点，点在边上，四边形是矩形，则：是 ． 10．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 锐角三角比 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正弦的概念辨析 1 题型二、求角的正弦值（重点） 3 题型三、求角的余弦值 5 题型四、余弦的概念辨析 7 题型五、已知余弦求边长 9 题型六、求角的正切值（常考题） 12 题型七、已知正切值求边长 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、正弦的概念辨析 1．在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．大小不变 D．不能确定 【答案】C 【解析】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 2．如图，在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：在中，，， 故选：C． 3．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边． 4．若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【解析】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 5．如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【解析】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 题型二、求角的正弦值 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 8．如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵于，于， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 根据现有条件无法证明， 故选：C． 9．在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图， =． 故选：B． 10．在Rt中，若，，，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：如图： 在中，， ， ； 故答案为：． 题型三、求角的余弦值 11．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵在中，，，， ∴， 则， 故选：B． 12．如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，取格点， 在中，由勾股定理得，， ∴， 故选：． 13．如图，在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，，，， ， ， 则的值为． 故选：A． 14．在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 15．在中，，，则 【答案】/ 【解析】解：如图，过点A作于点D， ∵，， ∴， ， 故答案为：． 题型四、余弦的概念辨析 16．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴，即∶ ， 又∵， ∴， ∴． 故选∶B． 17．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】解：∵小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ∴且米 ∵ ∴ ∴米 故选： B． 18．已知为锐角，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在直角三角形中，表示的邻边与斜边的比值，是小于1的， ， ， 故选：B． 19．如图，在中，，若，则是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由， ∴是， 故选：． 20．比较大小： （用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：. 题型五、已知余弦求边长 21．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）在中，，如果，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 22．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】解：如图，在中， ， ， ， 故选：C． 23．如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 24．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（2025·湖北武汉·一模）如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是 米．（参考数据：） 【答案】 【解析】解：如图所示，作于点，于点， 则， ， 所以． 故答案为． 题型六、求角的正切值 26． 在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题得：． 故选：． 27．在正方形网格中，如图放置，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，取格点，连接 ∵，， ∴， 故选：A． 28．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，，是边上的中线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：B． 29．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 30．已知等腰三角形中，，．求的值． 【答案】 【解析】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， ∴． 题型七、已知正切值求边长 31．已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：． 32．在中，，如果，，那么 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 33．是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】10或 【解析】解：当时，，， ∴，， ， ∴（负值已舍去）； 当时，， ∴, ， ． 故答案为：10或． 34．如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是 ． 【答案】 【解析】解：在中，， ，则， 因为，， 所以， 那么， 设， 因为， 则，， 因为沿直线翻折得对应， 所以， 又因为， 所以，解得， 即， 在与中， ， 即，解得， ，可得， 可得，即， 解得． 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与、轴交于点、，点是线段的中点，连接，作于点交轴于点，则线段 ． 【答案】/3.75 【解析】解：一次函数， 当时，；当时，； 点的坐标为，点的坐标， 点是线段的中点， 点的坐标为， ， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 1．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴在中，， 故选：D． 2．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 3．（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵在中，， ∴． 故选：B 4．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 5．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选：B． 6．（2025·浙江·二模）如图，，是斜边上的高，点是边上的动点，连结，作交于点，连结，当点在上运动时，下列比值会变化的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为定值， ∴，为定值，故选项A，C，D不符合题意； ∵是变值， ∴是变化的，故选项B符合题意． 故选：B． 7．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 8．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 【答案】①④ 【解析】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 9．（2025·河南郑州·三模）如图是某校数学课外兴趣小组收集到的木质花窗图形，将其中部分抽象为如图所示的平面图形．发现四边形是菱形，，是的中点，点在边上，四边形是矩形，则：是 ． 【答案】 【解析】解：连接交于点， 四边形是矩形， ，，，且， ，， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， 是边的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ∽， ， ， ∴， 故答案为：． 10．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$