第3章 对圆的进一步认识（单元测试·提升卷）数学青岛版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 对圆的进一步认识·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 2．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵正五边形内接， ∴，， ∴. 故选：D. 3．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 4．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 5．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【解析】解：∵，，， 根据勾股定理，可得：， ∵准外心P在上， ∴或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选：D 6．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 7．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点H，连接． ∵A、B为定点， ∴G点的运动轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，的值最小， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵C，G，H共线时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9．如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【解析】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是 ． 【答案】相交 【解析】解：如图，过O作于D，则， ∵在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∵的半径为2，， ∴与相交， 故答案为：相交． 11．如图，四边形内接于，，，则的半径为 ． 【答案】 【解析】解：连接，， 四边形内接于，， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， 的半径为， 故答案为：． 12．在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 13．如图，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是直径上一点，若的半径为，则的最小值是 ．    【答案】 【解析】作关于的对称点，连接交于点，连接， 则根据垂径定理得：在上，连接交于，则若在时，最小，    ∵是半圆上的一个三等分点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为． 14．如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接， 设该拱门的半径， 根据题意得在的直径上，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴， ∴， ∴该拱门的半径是， 故答案为：． 15．如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【解析】解：如图，连接、、， 是的中点，点P是圆心， ，垂径定理， ， 作于， 四边形矩形是矩形， ， 四边形是矩形， ，， ， 设，则，， ， 等边对等角，等腰三角形三线合一， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的圆心角、弧、弦的性质、垂径定理，矩形的性质以及勾股定理．相似三角形的性质和判定，是一道几何综合题，需要熟练掌握相关的性质并能熟练应用． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画， 即为所求． 17．（本题6分）如图，的三个顶点都在上，直径，，求的长． 【答案】 【解析】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，且在中，， ∴． 18．（本题6分）已知：如图，在中，弦相交于点 P (1)求证： (2)若，求 【答案】(1)见解析 (2)4 【解析】（1）解：∵对弧， ∴ 又∵ ∴； （2）由上得 ． 19．（本题7分）如图，内接于，为直径，平分交于点. (1)过点作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积. 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ， 又， ， ， 又是半径， 为的切线. （2）解：为直径， ， ， ， 20．（本题8分）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）解：连结， 分别切于，切于， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， 四边形的周长为． 21．（本题8分）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)3 【解析】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：设， 在中，，，， ， 解得（不合题意舍去），， 故的半径为3． 22．（本题8分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 【答案】(1)截面圆的半径为； (2) 【解析】（1）解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 截面圆的半径为； （2）解：由题意知， ， 在中，， ， ， 截面圆中的弦减少了； 故答案为： 23．（本题8分）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为． (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)，或， (2)当时，与直线相交；当或时，与直线相离． 【解析】（1）解：过作直线的垂线，垂足为， 当点在直线右侧时， ， 得， 把代入直线解析式， 可得，， ， 当点在直线左侧时， ， 得， 把代入直线解析式， 可得， ， 当与直线相切时，点的坐标为或； （2）解：当时，与直线相交， 当或时，与直线相离． 24．（本题10分）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴； ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 25．（本题10分）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，求PQ的值． 【答案】（）等腰直角，；（）；（）或． 【解析】解：（）由旋转变换的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等腰直角，； （）如图，延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，， 由（）可知：， 又， ∴， ∴； （）如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点为的中点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵，，， 由勾股定理得，， 由（）得，， ∴， 解得，， 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知：， ∵，， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（）的结论可知，， 故PQ的值为或． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 对圆的进一步认识·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 6．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 9．如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是 ． 11．如图，四边形内接于，，，则的半径为 ． 12．在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 13．如图，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是直径上一点，若的半径为，则的最小值是 ．    14．如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 15．如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（本题6分）如图，的三个顶点都在上，直径，，求的长． 18．（本题6分）已知：如图，在中，弦相交于点 P (1)求证： (2)若，求 19．（本题7分）如图，内接于，为直径，平分交于点. (1)过点作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积. 20．（本题8分）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 21．（本题8分）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 22．（本题8分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 23．（本题8分）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为． (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 24．（本题10分）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 25．（本题10分）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，求PQ的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 对圆的进一步认识·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 5．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 6．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 9．如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．在中，，，O是上一点，，的半径为2，与的关系是 ． 11．如图，四边形内接于，，，则的半径为 ． 12．在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 13．如图，是的直径，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点是直径上一点，若的半径为，则的最小值是 ．    14．如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱高长，则该拱门的半径是 ． 15．如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分）如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（本题6分）如图，的三个顶点都在上，直径，，求的长． 18．（本题6分）已知：如图，在中，弦相交于点 P (1)求证： (2)若，求 19．（本题7分）如图，内接于，为直径，平分交于点. (1)过点作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积. 20．（本题8分）已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 21．（本题8分）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 22．（本题8分）如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器−−蒸馏瓶，它的下半部分是圆球形，其截面是圆，且当截面圆中弦的长为时，瓶内液体最大深度为． (1)求截面圆的半径； (2)当瓶内液体减少时，若瓶内液体的最大深度降低1cm，那么截面圆中的弦减少了 cm． 23．（本题8分）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径是，设点的坐标为． (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 24．（本题10分）追本溯源 题（1）来自课本中的练习，请你完成解答，利用类似方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，，点是的内心．求的度数． 变式拓展 （2）如图2，在中，，点是的内心． ①求的度数； ②若，，求的长． 25．（本题10分）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，求PQ的值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第3章 对圆的进一步认识·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B D B B D C A C A 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 相交 11． 12． 13．2 14． 15．5 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题4分） 【答案】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画， 即为所求． （4分） 17．（本题6分） 【答案】解：如图，连接， （1分） ∵是直径， ∴，（2分） ∵，， ∴，（4分） ∵，且在中，， ∴．（6分） 18．（本题6分） 【答案】（1）解：∵对弧， ∴（2分） 又∵ ∴；（4分） （2）由上得 ．（6分） 19．（本题7分） 【答案】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ， 又， ， ， 又是半径， 为的切线.（4分） （2）解：为直径， ， ， ， （7分） 20．（本题8分） 【答案】（1）解：连结， 分别切于，切于， ， ， ， ， ， ， ， ；（4分） （2）解：，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， 四边形的周长为．（8分） 21．（本题8分） 【答案】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切；（4分） （2）解：设， 在中，，，， ， 解得（不合题意舍去），， 故的半径为3． （8分） 22．（本题8分） 【答案】（1）解：由题意知， ， 设球形的半径，则， 在中，， ， 解得， 截面圆的半径为；（4分） （2）解：由题意知， ， 在中，， ， ， 截面圆中的弦减少了； 故答案为：（8分） 23．（本题8分） 【答案】（1）解：过作直线的垂线，垂足为， （1分） 当点在直线右侧时， ， 得，（2分） 把代入直线解析式， 可得，， ，（3分） 当点在直线左侧时， ， 得，（4分） 把代入直线解析式， 可得， ，（5分） 当与直线相切时，点的坐标为或；（6分） （2）解：当时，与直线相交， 当或时，与直线相离．（8分） 24．（本题10分） 【答案】解∶（1）∵点是的内心． ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴；（2分） （2）①∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴；（4分） ②如图，画出的内切圆，过点分别作，，，垂足分别为，连接， 根据三角形的内切圆的性质可知垂足也是三边与的切点， ∴，，，， ∵，，， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴．（10分） 25．（本题10分）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，求PQ的值． 【答案】解：（）由旋转变换的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等腰直角，；（2分） （）如图，延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，， 由（）可知：， 又， ∴， ∴；（5分） （）如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点为的中点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵，，， 由勾股定理得，， 由（）得，， ∴， 解得，， 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知：， ∵，， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（）的结论可知，， 故PQ的值为或．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$