3.2.2 第3课时 直线与双曲线的位置关系(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

直线与双曲线的位置关系 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 进一步掌握双曲线的标准方程及几何性质,并应用它们解决与双曲线有关的应用问题及直线与双曲线的综合问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)判断直线与双曲线的位置关系 题型(二)　弦长问题 题型(三)　中点弦问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　判断直线与双曲线的位置关系 01 　　一般地,设直线方程为y=kx+m(m≠0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),将y=kx+m代入-=1,消去y并化简,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0,即k=±时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点. (2)当b2-a2k2≠0,即k≠±时,判别式Δ>0⇔直线与双曲线相交,有两个公共点;判别式Δ=0⇔直线与双曲线相切,有且只有一个公共点;判别式Δ<0⇔直线与双曲线相离,没有公共点. [例1]　已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,确定满足条件的实数k的取值范围. 解:联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)当1-k2≠0,即k≠±1时, Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).由得-<k<且k≠±1, 此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 　　[变式拓展] 若本例条件“直线l与双曲线有两个不同的公共点”改为“直线l与双曲线有且只有一个公共点”,确定满足条件的实数k的取值范围. 解:联立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2). 由得k=±, 此时方程(*)有两个相同的实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点; 当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为2x=5,故方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,有且只有一个公共点. 故当k=±或k=±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点. (1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. |思|维|建|模| 1.直线y=与双曲线-y2=1交点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 针对训练 解析:由题知,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x, 所以直线l:y=与双曲线的一条渐近线平行,由图可知,直线l与双曲线有且只有一个交点. √ 2.已知双曲线E:-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是(　　) A.∪ B. C.(-∞,-)∪(,+∞) D.(-,) √ 解析:由消去y并整理得(1-3k2)x2-6kx-6=0,由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上, 得解得-<k<, 所以k的取值范围是. 题型(二)　弦长问题 02 [例2]　已知双曲线C的焦点在x轴上,焦距为4,且它的一条渐近线方程为y=x. (1)求C的标准方程; 解:因为焦点在x轴上,设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0), 由题意得2c=4,所以c=2①, 又双曲线C的一条渐近线为y=x, 所以=②, 又a2+b2=c2③, 联立上述式子解得a=,b=1, 故所求方程为-y2=1. (2)若直线l:y=x-1与双曲线C交于A,B两点,求|AB|. 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2+3x-6=0, 由Δ=32-4××(-6)=15>0,所以x1+x2=-12,x1x2=-24, 即|AB|=·=· =10. 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下几种: ①|AB|=|x1-x2| =; ②|AB|=|y1-y2| =(k≠0). |思|维|建|模| 3.过双曲线x2-=1的一个焦点作直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=4, 则这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 针对训练 解析:双曲线x2-=1的右焦点为(,0),当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=,代入双曲线x2-=1可得y=±2,即|AB|=4,满足条件;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y-0=k(x-),代入双曲线x2-=1可得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2k2)2-4(2-k2)·(-3k2-2)=12k4+4(2-k2)(3k2+2)=16k2+16>0, x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=4=,两边平方可得6k2=3,解得k=±,所以斜率存在且满足条件的直线有2条,所以共有3条,故选C. √ 题型(三)　中点弦问题 03 [例3]　设A,B为双曲线-=1上的两点,若线段AB的中点为M(1,2),则直线AB的方程是(　　) A.x+y-3=0 　　 B.2x+y-3=0 C.x-y+1=0 　 D.x-2y+3=0 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减,得 =,因为线段AB的中点为M(1,2),所以x1+x2=2,y1+y2=4,因此由=⇒=1,即直线AB的斜率为1,方程为y-2=x-1⇒x-y+1=0,代入双曲线方程中,得y2-4y-14=0, 因为(-4)2-4×1×(-14)>0,所以线段AB存在,故选C. √ 中点弦问题的解决方法 |思|维|建|模| 根与系数的关系法 直线与双曲线方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点 点差法 利用弦两端点适合双曲线方程,作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标,可求弦所在直线的斜率 针对训练 4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-4,-7),则E的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 解析:直线l的方程为y=·(x-3),即y=x-3,设双曲线E的方程为-=1(a>0,b>0),由消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0, Δ=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)>0,因为弦AB的中点为N(-4,-7), 于是得-=-4,即a2=b2,而a2+b2=9,解得a2=,b2=,满足Δ>0, 所以双曲线E的方程为-=1,即-=1. 5.已知直线l:x-y+3=0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点P(1,4)是弦AB的中点,则双曲线C的渐近线方程是(　　) A.y=±4x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x √ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=8,=1. 因为A,B两点在双曲线C上,所以所以-=0, 则===×1=4,即=2, 故双曲线C的渐近线方程是y=±2x. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0,b>0)的交点个数是(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 √ 解析:由题意,双曲线-=1(a>0,b>0),可得其渐近线方程为y=±x,因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为 (　　) A.(-2,2) B.[-2,2) C.(-2,2] D.[-2,2] 解析:易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-2<k<2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 (　　) A.(1,2) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(2,1) 解析:法一　将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0,由此可得弦的中点的横坐标为==-1,纵坐标为-1-1=-2,即中点坐标为(-1,-2). √ 法二　设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1,y1),B(x2,y2),设线段AB的中点为M(x0,y0),将A,B代入双曲线方程得2-=3,2-=3,作差整理得kAB====1①, 又M在y=x-1上,则有y0=x0-1②, 联立①②解得x0=-1,y0=-2,所以M(-1,-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为 (　　) A. B. C. D. 解析:将直线x+y=1代入4x2-y2=1得3x2+2x-2=0.设两交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,∴|AB|=|x1-x2|=× =. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.体育馆等建筑物的屋顶一般采用曲面结构.如图所示,某建筑物的屋顶采用 双曲面结构,该建筑物屋顶外形弧线可看作是双曲线的上支部分,其渐近线方程为y=±x,焦点坐标为,那么该双曲线的标准方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由渐近线方程为y=±x,得=　①, 又焦点坐标为,c=, 所以a2+b2=　②, 由①②解得a2=,b2=4, 所以双曲线的标准方程为-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知F是双曲线-=1的左焦点,过F倾斜角为30°的直线与双曲线渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由双曲线-=1可知a=2,b=2,c=4,F(-4,0), 故其渐近线方程为y=±x=±x,过F倾斜角为30°的 直线方程为l:y-0=tan 30°(x+4),即l:y=(x+4),不妨设l与渐近线的交点如图所示,由于×(-)=-1,即AB⊥OA. 联立解得即A(-1,),则|OA|==2,联立解得即B(2,2),则|OB|==4,则|AB|= =2, 故△OAB的面积为×|OA|×|AB|=×2×2=2,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知双曲线C:-y2=1,点A,B在C上,AB的中点为(1,1),则(　　) A.C的渐近线方程为y=±2x B.C的右焦点为(2,0) C.C与圆x2+y2=1没有交点 D.直线AB的方程为x-4y+3=0 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:对于A、B,由双曲线C:-y2=1可得a2=4,b2=1,c2=5,所以渐近线方程为y=±x=±x,右焦点为(,0),故A、B不正确;对于C,联立消y可得x2=,代入x2+y2=1,解得y无实数根,所以C与圆x2+y2=1没有交点,故正确;对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减,得-(y1+y2)(y1-y2)=0,因为AB的中点为(1,1),所以等式可得-2(y1-y2)=0,易得直线AB的斜率存在,故可得kAB==,则直线为y-1=(x-1),即x-4y+3=0,联立双曲线C的方程和直线x-4y+3=0,消去x,可得12y2-24y+5=0,此时Δ=576-4×5×12>0,则直线与双曲线有两个交点,符合题意,故直线AB的方程为x-4y+3=0,故正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)(2024·北京高考)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点, 则k的一个取值为________________. 解析:联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0, 由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得k=±或无解, 即k=±,经检验,符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知A,B为双曲线x2-=1上两点,且线段AB的中点坐标为(-1,-4), 则直线AB的斜率为_________. 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=,由线段AB的中点坐标为(-1,-4),即-2(x1-x2)=, ∴kAB==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知直线MN:y=x+2和双曲线C:-=1相交于M,N两点,O为原点, 则△OMN面积为____________. 4 解析:联立得x2-4x-24=0,设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=4,x1x2=-24,所以|MN|==, 又因为点O到直线MN的距离为d=, 所以S△OMN=|MN|d=××=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2. 点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为____________. 解析:由题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),设A(x1,y1),B(0,y0),所以=(x1-c,y1), =(-c,y0),因为=-,所以即所以A. =,=(c,y0),因为⊥,所以·=0,即c2-=0, 解得=4c2. 因为点A在双曲线C上,所以-=1,又=4c2,所以-=1, 即-=1,化简得=,所以e2=1+=,所以e=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数. 解:联立直线和双曲线方程消去y得x2-(x+b)2=1. 整理得2bx+b2+1=0　①, 若b=0,则方程①变为1=0,无解,此时直线与双曲线无公共点. 事实上,此时直线为y=x,就是双曲线的渐近线,自然与双曲线无公共点. 若b≠0,即直线平行于两条渐近线中的一条,方程①成为一元一次方程,有唯一解,原方程组有唯一一组解,此时直线与双曲线有一个公共点. 综上可知,b=0时,无公共点;b≠0时,有一个公共点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-=1于A,B两点,且M为AB中点. (1)求直线l的方程;(6分) 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得-=1,-=1,两式相减得--=0,即(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,因为M为AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=4,所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0,所以直线的斜率为k==4, 所以l的方程为y-2=4(x-2),即y=4x-6, 经验证y=4x-6符合题意,所以直线l的方程为y=4x-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求线段AB的长.(4分) 解:将y=4x-6代入x2-=1中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,x1x2=, 所以|AB|=·=× =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的 直线交双曲线C于P,Q两点,且∠F1PF2=60°,=a2. (1)求双曲线C的渐近线方程;(6分) 解:由题意,得=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=|PF1|·|PF2|=a2, 所以|PF1|·|PF2|=4a2. 在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2= ===,所以c2=2a2, 所以b2=c2-a2=a2,所以b=a, 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)当a=时,在x轴上求一点T,使得·为定值.(9分) 解:当a=时,双曲线C的方程为-=1,则F1(-2,0). 因为∠F1PF2=60°,所以直线PQ的斜率不为0, 设直线PQ的方程为x=my-2, 联立消x得(m2-1)y2-4my+2=0. 则解得m≠±1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则y1+y2=,y1y2=, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设T(t,0),则·=(x1-t,y1)·(x2-t,y2) =(x1-t)(x2-t)+y1y2 =(my1-2-t)(my2-2-t)+y1y2 =(m2+1)y1y2-m(2+t)(y1+y2)+(2+t)2 =(m2+1)·-(2+t)·+(2+t)2=, 要使·为定值,则t2-2=t2+4t+2,即t=-1,此时·=-1,所以点T(-1,0). $$