3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第二课时） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1 理解并掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质（重点） 2 双曲线的离心率几何意义的导入、理解及求法（难点） 3 直线与双曲线位置关系（重点、难点） 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 或 或 关于坐标轴和原点都对称 双曲线的简单几何性质 性质 双曲线 关于坐标轴和原点都对称 复习导入 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 情景导入 前面我们将直线与圆、椭圆的方程联立解方程组，通过求解方程组进而确定它们是相交、相切还是相离，即讨论它们的公共点情况． 这种研究方法，对研究直线与双曲线的位置关系完全适用． 将直线l的方程与双曲线的方程联立，得方程组，消去y或x，得到关 于x或y的方程． 直线与双曲线相交 有两个公共点； （1）∆>0 只有一个公共点； 直线与双曲线相切 （2）∆=0 没有公共点． 直线与双曲线相离 （3）∆<0 1．当二次项系数为0时，结论再行讨论． 2．当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程， 新知探究 6 例6 讨论直线y= x＋b，与双曲线x2－y2= 1 的公共点的个数． 结论：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点． 课本例题 7 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 归纳总结 变式 讨论直线y= kx＋1，与双曲线 的公共点的个数． 9 10 综上： 11 讨论直线y= kx＋m，与双曲线 的公共点的个数． 12 例7.已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 补充例题 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 变式 已知直线y= kx＋1与双曲线 的交于A、B两点．在下列条件下，求k的取值范围． （1）点A、B都在双曲线的左支； （2）点A、B都在双曲线的右支； （3）点A、B分别在双曲线的左右两支． 14 （1）点A、B都在双曲线的左支； （1）若点A、B都在双曲线的左支，则 15 （2）点A、B都在双曲线的右支； （2）若点A、B都在双曲线的右支，则 16 （3）点A、B分别在双曲线的左右两支． （3）若点A、B分别在双曲线的左右两支，则 17 4.讨论直线x=m与双曲线x2-y2=1的公共点的个数． 【解析】解：直线x=m与双曲线x2-y2=1的图象如右图所示： 易知双曲线x2-y2=1的左右顶点分别为A(-1，0)，B（1，,0)， 由图知，当|m|＞1时有两个交点；当|m|=1有一个交点．当|m|＜1时没有交点． 故当m＜-1或m＞1时，直线与双曲线有两个交点； 当m=±1时，直线与双曲线有一个交点； 当-1＜m＜1时，直线与双曲线没有交点． 课本练习 18 题型一：直线与双曲线的位置关系判断 典例剖析 例1.已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k. ①当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意. ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点； (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 归纳总结 题型二：双曲线的弦长与中点弦问题 例2.已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； 解(1)：(法一)由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立双曲线方程，得. 设，，则，解得. 所以直线的方程为，即. 典例剖析 例2.已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点. (1)求直线的方程； 解(1)：(法二)由题意知直线的斜率存在，设代入双曲线方程，得，， 两式相减得，即 所以直线的斜率 所以直线的方程为，即. 典例剖析 例2.已知直线双曲线过点作一直线交双曲线于两点，且为的中点. (2)求弦的长. 解(2)：将代入，得. 由弦长公式， 得， 所以. 典例剖析 求弦长的两种方法 1.距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长. 2.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线与双曲线交于，，则弦长或. 归纳总结 题型三：双曲线性质的综合应用 典例剖析 所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ>0). 因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8， 由(1)可得F1(－4,0)，F2(4,0)， 因为点M在双曲线上，所以18－m2＝8， 即m2＝10， (3)求△F1MF2的面积. 27 解决双曲线的几何性质问题可用代数法，也可用几何法，综合应用几何性质解题可简化运算. 归纳总结 讨论直线y= kx＋m，与双曲线 的公共点的个数． 课堂小结 29 由得－<k<且k≠±1， 联立 当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝. 综上，k＝或k＝±2或k不存在时，直线l与双曲线只有一个公共点. 因为e＝， 所以双曲线的方程为－＝1. 例3　已知双曲线的中心在原点，左、右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上. (1)求双曲线的方程； 所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2， 所以·＝12. 例3　已知双曲线的中心在原点，左、右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上. (2)求·的值； ＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)， 所以 ＝|F1F2|·|m|＝4. 例3　已知双曲线的中心在原点，左、右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上. 因为|F1F2|＝8，又由(2)知m＝±. 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， $$