2.2.1 直线的点斜式方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

2.2　 直线的方程 2.2.1　 直线的点斜式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的点斜式方程. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关问题. 课前预知教材·自主落实基础 CONTENTS 目录 1 2 3 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.直线的点斜式方程 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点__________及该直线的斜率k确定,我们把它称为________________________________. 斜率 存在 不存在(α=90°) 点斜式 ______________ 无 特殊 情况 图示 k=0时,l与x轴平行或重合 k不存在时,l⊥x轴,不能用点斜式求方程 P0(x0,y0) 直线的点斜式方程,简称点斜式 y-y0=k(x-x0) |微|点|助|解| (1)构成直线的要素有两个:一个点和一个方向,点斜式方程是这两个要素的直接反映. (2)当倾斜角为90°时,直线没有斜率,点斜式方程不存在. (3)由点斜式方程y-y0=k(x-x0)中能观察到,直线过定点(x0,y0),斜率为k. 2.直线的斜截式方程 把直线l:y=kx+b与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线在y轴上的______.方程y=kx+b由直线l的斜率k和它在y轴上的截距确定.因此,把方程y=kx+b称为直线的斜截式方程,简称斜截式. 截距 |微|点|助|解| (1)b为直线l在y轴上的截距,截距可以取一切实数,即可以为正数、零、 负数;距离必须大于或等于零. (2)斜截式方程可由过点(0,b)的点斜式方程得到. (3)当k≠0时,斜截式方程就是一次函数的表示形式. (4)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线, 即斜率不存在的直线. (5)斜截式是点斜式的特殊情况,在方程y=kx+b中,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程k=与y-y0=k(x-x0)表示的意义相同. ( 　) (2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). ( 　) (3)经过P0(x0,y0)的任意直线方程可表示为y-y0=k(x-x0). ( 　) (4)直线l在y轴上的截距是直线与y轴的交点到原点的距离. ( 　) (5)所有的直线都有点斜式和斜截式方程. ( 　) × √ × × × 2.纵截距为1且倾斜角为120°的直线方程为 (　　) A.y=-x-1 B.y=-x+1 C.y=-x-1 D.y=-x+1 解析:倾斜角为120°,斜率为tan 120°=-,纵截距为1,所以直线方程为y=-x+1. √ 3.倾斜角为45°的直线l过点(-1,1),则l的方程为 (　　) A.y=-x B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=x+2 √ -3 解析:因为直线的倾斜角为45°,所以其斜率为k=tan 45°=1. 根据点斜式可得直线方程为y-1=1×(x+1),即y=x+2. 4.直线y=x-3在y轴上的截距是___________. 解析:对于直线y=x-3,令x=0,可得y=-3,所以直线y=x-3在y轴上的截距是-3. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　直线的点斜式方程 [例1]　写出满足下列条件的直线的点斜式方程: (1)过点A(-4,3),斜率k=3; 解:由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=3[x-(-4)]. (2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°; 解:由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)]. (3)过点D(2,1)和E(3,-4). 解:∵直线过点D(2,1)和E(3,-4),∴斜率k==-5. 故所求直线的点斜式方程为y-1=-5(x-2). 求直线的点斜式方程的思路 |思|维|建|模| 针对训练 1.写出满足下列条件的直线的点斜式方程: (1)过点P(-3,-1),斜率k=; 解:∵直线过点P(-3,-1),斜率k=, ∴直线的点斜式方程为y+1=(x+3). (2)过点P(0,5),且与x轴垂直; 解:∵与x轴垂直的直线,其斜率不存在,∴直线的方程为x=0. (3)过点P(,1),倾斜角是120°. 解:∵直线的倾斜角是120°, ∴k=tan 120°=-. 又直线过点P(,1), ∴直线的点斜式方程为y-1=-(x-). 题型(二)　直线的斜截式方程 [例2]　写出满足下列条件的直线的斜截式方程: (1)直线的斜率是3,在y轴上的截距是-3; 解:由直线的斜截式方程可知, 所求方程为y=3x-3. (2)直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5; 解:∵k=tan 60°=, ∴所求直线的斜截式方程为y=x+5. (3)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2. 解:∵直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2, ∴直线过点(4,0)和(0,-2).∴k==, ∴所求直线的斜截式方程为y=x-2. 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程. |思|维|建|模| 针对训练 2.写出满足下列条件的直线的斜截式方程: (1)斜率是,截距是-2; 解:由题意,当直线在y轴上的截距为-2时,直线的斜截式方程为y=x-2;当直线在x轴上的截距为-2时,直线的方程为y=(x+2),即直线的斜截式方程为y=x+.综上,直线的斜截式方程为y=x-2或y=x+. (2)倾斜角是135°,截距是3. 解:由题意,直线倾斜角是135°,截距是3,所以斜率为k=tan 135°=-1.当直线在y轴上的截距为3时,直线的斜截式方程为y=-x+3;当直线在x轴上的截距为3时,直线的方程为y=-(x-3),所以直线的斜截式方程为y=-x+3.综上,直线的斜截式方程为y=-x+3. [例3]　已知直线l:y=kx+2k+1. (1)求证:直线l恒过一个定点; 题型(三)　含参数的直线方程的几何特征 解:由y=kx+2k+1,得y-1=k(x+2),由直线的点斜式方程可知,直线恒过定点(-2,1). (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. 解:设y=f(x)=kx+2k+1, 因为当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方, 需满足即 解得-≤k≤1, 所以实数k的取值范围是. 对于含参数k的直线方程y-y0=k(x-x0),该直线恒过定点(x0,y0). |思|维|建|模| 3.已知直线l:y=ax+. (1)求证:无论a为何值,直线l必经过第一象限; 针对训练 解:因为y=ax+=a+,所以直线l恒过定点.因为点位于第一象限,所以无论a为何值,直线l必经过第一象限. (2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 解:设A,则直线OA的斜率kOA==3.若直线l不经过第二象限, 则直线l的斜率kl≥3,即a≥3.所以实数a的取值范围为[3,+∞). 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.方程y=k(x-2)表示 (　　) A.通过点(-2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 解析:易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为(　　) A.9　　　　B.-9　　　　C.　　　　D.- 解析:由y+=(x-1),得y=x-9,∴l在y轴上的截距为-9. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知直线方程为y=-x+2,则直线的倾斜角为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:设直线y=-x+2的倾斜角为θ,可知tan θ=k=-1 ,又 0≤θ<π,所以θ=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知直线y=kx+1-3k,当k变化时,所有的直线恒过定点 (　　) A.(1,3) B.(-1,-3) C.(3,1) D.(-3,-1) 解析:直线y=kx+1-3k变形为y-1=k(x-3),由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有 (　　) A.k1<k2且b1<b2 B.k1<k2且b1>b2 C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1<b2 解析:设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知90°<α1<α2<180°,所以k1<k2,又b1<0,b2>0,所以b1<b2.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]下列选项中,在同一平面直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a不可能正确的是 (　　) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距为a>0,A、B、C、D都不成立;②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,所以A、B、C、D都不成立;③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角, 直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0,只有C成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在等腰△AOB中,|AO|=|AB|,O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上,则直线AB的点斜式方程为 (　　) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 解析:设线段OB的中点为M,连接AM,因为|AO|=|AB|, 则AM⊥x轴,则点M(1,0),故点B(2,0),所以直线AB的斜率为k==-3,所以直线AB的点斜式方程为y-3=-3(x-1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________________. y=x-6或y=-x-6 解析:因为直线与y轴相交成30°角,所以直线的倾斜角为60°或120°, 所以直线的斜率为或-. 又因为在y轴上的截距为-6, 所以直线的斜截式方程是y=x-6或y=-x-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y=x+2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍,那么直线l的方程是__________________. y=x+4 解析:直线y=x+2的斜率为,在y轴上的截距为2,则直线l的斜率为,在y轴上的截距为4,故直线l的方程是y=x+4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)过点(-1,1)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为___________________. y=-x或y=-x+ 解析:由题意可知,直线斜率存在且不为0,设直线方程为y-1=k(x+1),令x=0,解得y=k+1;令y=0,解得x=-. 由题意可得-=2(k+1), 解得k=-1或k=-, 所以直线方程为y=-x或y=-x+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限,则实数k的取值范围为_____________. 解析:由题意知,该直线在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零,即解得k≥. 所以实数k的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(,-1);(5分) 解:∵直线y=-x+1的斜率k=-, ∴其倾斜角α=120°. 由题意,得所求直线的倾斜角α1=α=30°, 故所求直线的斜率k1=tan 30°=. ∵所求直线经过点(,-1),斜率为, ∴所求直线方程是y+1=(x-), 即x-3y-6=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在y轴上的截距是-5.(5分) 解:∵所求直线的斜率是, 在y轴上的截距为-5, ∴所求直线的方程为y=x-5, 即x-3y-15=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程. 解:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,经检验符合题目要求. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2. 当k=0时,显然不符合题意; 当k≠0时,令y=0,得x=,由三角形的面积为2,得××2=2,解得k=, 故直线l的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0. 综上所述,直线l的方程为x=2或x-2y+2=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,1),B(5,1),点C在x轴上,且∠CAB=. (1)求直线AC的斜率;(5分) 解:如图,A(1,1),B(5,1),可知直线AB平行于x轴, 已知点C在x轴上且∠CAB=,可知直线AC与 x轴非负半轴所夹角度为,即直线AC的倾斜角为,故直线AC的斜率kAC=tan =-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求直线BC的方程.(5分) 解:由(1)可知kAC=-1, 可得直线AC的方程为y-1=-1(x-1), 即lAC:x+y-2=0, 将y=0代入,即求得C点坐标为(2,0). 已知B(5,1),kBC==, 可得直线BC的方程为y-0=(x-2), 化简得lBC:x-3y-2=0. $$