2.2.1 直线的点斜式方程同步练习-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

2.2.1　直线的点斜式方程 一、必备知识基础 1.下列方程是斜截式方程的是(　　) A.x-y+1=0 B.y-2=3(x-1) C.y=-2x-1 D.x=1 2.(2025甘肃陇南礼县高二阶段性检测)已知过点P(1,1)的直线l与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点,则|OA|2+|OB|2的最小值为(　　) A.12 B.8 C.6 D.4 3.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为(　　) A.3x+4y-14=0 B.3x-4y+14=0 C.4x+3y-14=0 D.4x-3y+14=0 4.直线y-b=2(x-a)在y轴上的截距为(　　) A.a+b B.2a-b C.b-2a D.|2a-b| 5.已知直线l的斜率为2,在y轴上的截距为m.若直线通过(1,1)点,则m=　　　　　.  6.将直线y=x+-1绕其上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是　　　　　　.  二、关键能力提升 7.(2025甘肃武威高一期末)直线y=ax-的图象可能是(　　) 8.过点(1,0)且与直线y=x-1的倾斜角相同的直线方程是(　　) A.y=x- B.y=x+ C.y=-2x+2 D.y=-x+ 9.直线ax+by+c=0经过第一、二、四象限,则a,b,c应满足(　　) A.ab>0,bc<0 B.ab<0,bc<0 C.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc>0 10.若直线l经过点A(1,2),且在x轴上的截距的取值范围是(3,5),则其斜率的取值范围是(　　) A.(-1,-) B.(-,0) C.(-∞,-1)∪(,+∞) D.(-∞,-1)∪(-,+∞) 11.已知直线l的方程为y+1=(x-),且l的斜率为a,在y轴上的截距为b,则|a+b|=　　　　　.  12.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的斜截式方程为　　　　　.  13.直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,求直线l的方程. 三、学科素养创新 14.已知过定点(2,1)作直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4,符合条件的直线条数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.0 参考答案 1.C 2.B　解析 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k(k<0), 则直线l的方程为y-1=k(x-1),则A(1-,0),B(0,1-k), 所以|OA|2+|OB|2=+(1-k)2=1-+1-2k+k2=2+(--2k)++k2≥2+2+2=8, 当且仅当-=-2k,=k2,即k=-1时,取等号. 所以|OA|2+|OB|2的最小值为8. 故选B. 3.A　由题知,直线l的点斜式方程为y-5=-(x+2),整理得直线l的方程为3x+4y-14=0.故选A. 4.C　由y-b=2(x-a),得y=2x-2a+b,故直线在y轴上的截距为b-2a.故选C. 5.-1　利用直线的斜截式方程可得方程为y=2x+m. 将点(1,1)代入直线y=2x+m,得1=2+m,解得m=-1. 6.y=x　直线y=x+-1的斜率k1=1,倾斜角α1=45°, 绕直线上一点(1,)沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角α2=45°+15°=60°,斜率k2=tan 60°=,∴旋转后得到的直线方程为y-(x-1),即y=x. 7.B　由y=ax-可知,a≠0,且斜率和在y轴上的截距一定异号,故B正确. 8.A　由题可得,与直线y=x-1的倾斜角相同的直线方程的斜率为k=. 又该直线过点(1,0),因此所求直线的方程为y-0=(x-1),即y=x-,故选A. 9.A　解析 若b=0,则直线不会经过三个象限,所以b≠0, 所以ax+by+c=0,即y=-x-, 因为直线经过第一、二、四象限, 所以-<0,->0, 解得ab>0,bc<0. 故选A. 10.A　设直线的斜率为k(k≠0),则直线方程为y-2=k(x-1). 令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则3<1-<5,解得-1<k<-,所以直线l的斜率的取值范围为(-1,-).故选A. 11.　由直线l的方程可得a=. 令x=0,得y=-2,即b=-2,所以|a+b|=. 12.y=x-　由题意知,直线l的斜率为,故设直线l的斜截式方程为y=x+b,则直线l在x轴上的截距为-b,在y轴上的截距为b,故-b-b=1,解得b=-. 因此直线l的斜截式方程为y=x-. 13.解当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,经检验,符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2).令y=0得,x=. 由三角形的面积为2,得×2=2. 解得k=. 故可得直线l的方程为y-2=(x-2). 综上可知,直线l的方程为x=2或y-2=(x-2). 14.B　由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+1-2k. 在直线l的方程中,令x=0,可得y=1-2k;令y=0,可得x=. 所以直线l交x轴于点(,0),交y轴于点(0,1-2k). 由题意可得·|1-2k|=4, 即=8. ①当k<0时,可得(2k-1)2+8k=0,即4k2+4k+1=0,Δ1=0,有1个实根; ②当k>0时,可得(2k-1)2-8k=0,即4k2-12k+1=0,Δ2=144-16=128>0,有2个实根. 综上所述,符合条件的直线l有3条.故选B. 6 学科网（北京）股份有限公司 $