1.3.3 第2课时 等比数列的前n项和的应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

等比数列的前n项和的应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.掌握等差数列与等比数列的综合应用. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 等比数列前n项和的实际应用 题型(二)　递推公式的实际应用 题型(三)　分组转化法求和 4 课时跟踪检测 题型(一)　等比数列前n项和的实际应用 01 [例1]　某家用电器一件现价2 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少?(1.00812≈1.1) 解:设每期应付款x元,则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)11, 第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)10,…,第12期付款没有利息, 所以各期付款连同利息之和为x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x=x. 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812, 于是有x=2 000×1.00812. 解得x=≈176(元). 所以每期应付款176元. 应用等比数列解决实际问题的一般思路 (1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题; (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用知识求解. |思|维|建|模| 针对训练 1.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2025年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则: (1)该市在2031年应该投入电力型公交车多少辆? 解:每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an},其中a1=128,q=. ∴2031年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆). (2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的? 解:设{an}的前n项和为Sn,则Sn==256×, 由Sn>(10 000+Sn)×,即Sn>5 000,解得n≥8. ∴到2032年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 题型(二)　递推公式的实际应用 02 [例2]　某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问至少经过多少年,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(lg 2≈0.3) 解:设经过n年后,该项目的资金为an万元. 由题意得,an=an-1(1+25%)-200(n≥2), 整理可得an-800=(an-1-800), 即{an-800}成一个等比数列,a1=1 000(1+25%)-200=1 050,a1-800=250, ∴an-800=250, 即an=250+800, 令an≥4 000,得≥16,解得n≥12, 即至少经过12年,该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标. |思|维|建|模| 　　理解题意,建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系,构造数列,确定数列的通项公式求解. 2.某城市2024年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 针对训练 解:设每年新增汽车为b万辆,该城市第n年末的汽车保有量为an, 则容易得到an和an-1的递推关系: an=(1-6%)an-1+b=0.94an-1+b(n≥2), 即an-b=0.94. ∴是以0.94为公比,以30-b为首项的等比数列. ∴an-b=·0.94n-1,即an=b+·0.94n-1. ①当30-b≥0,即b≤1.8时,an≤an-1≤…≤a1=30. ②当30-b<0,即b>1.8时,an趋近于b, 并且数列{an}为递增数列,因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆, 即an≤60(n∈N+),则b≤60, 即b≤3.6. 综上,每年新增汽车不应超过3.6万辆. 题型(三)　分组转化法求和 03 [例3]　(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; 解:因为2Sn=3an+1-3,所以2Sn+1=3an+2-3, 两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1, 即an+2=an+1,所以等比数列{an}的公比为. 因为2S1=3a2-3=5a1-3, 所以a1=1,故an=. (2)求数列{Sn}的前n项和. 解:因为2Sn=3an+1-3,所以Sn=(an+1-1)=. 设数列{Sn}的前n项和为Tn,则Tn=×-n=×-n-. |思|维|建|模| 分组法求数列的前n项和的方法技巧 　　如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和. 针对训练 3.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; 解:因为数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N+), 当n=1时,a2=2+a1=2+2=4, 当n≥2时,由an+1=2+Sn可得an=2+, 上述两个等式作差可得an+1-an=an, 可得an+1=2an,又因为a2=2a1, 所以数列{an}为等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2×2n-1=2n. (2)若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:由(1)可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n, 所以Tn=(1+41)+(3+42)+(5+43)+…+[(2n-1)+4n]=[1+3+5+…+(2n-1)]+ (4+42+43+…+4n)=+=n2+. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半”.其意为今有蒲草第一日长高3尺,以后蒲草每日长高 前一日的半数,则蒲草第5日的高度为 (　　) A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 √ 解析:由题意,蒲草每日增长的高度成等比数列,等比数列的首项为3,公比为,蒲草第5日的高度为等比数列前5项和,S5==(尺). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为P,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 ( 　) A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 解析:设每年应还x万元,则有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9=M(1+P)10, 得 =M(1+P)10,解得x=. √ 22 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为 (　　) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2 解析:由题可知,设数列{an}的前n项和为Sn,所以Sn=a1+a2+…+an, 即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1),所以Sn=+, 故Sn=2n+1-2+n2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍,这座塔一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 (　　) A.190 B.191 C.192 D.193 解析:设最上面一层有x盏,则第二层有2x盏,第三层有4x盏,第四层有8x盏,…, 第七层有26x盏(层数从上面数).由题意知x+2x+4x+8x+…+26x=x(1+2+22+23+…+26) ==127x=381,∴x=3.故底层的盏数为26×3=192. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数是 (　　) A.33 B.64 C.65 D.127 √ 解析:将开始时的细胞个数记为a1=2,1小时后的细胞个数记为a2=3,2小时后的细胞个数记为a3=5,3小时后的细胞个数记为a4=9,…,由题意可得a1=2,当n≥2时,an=2an-1-1,则an-1=2(an-1-1),所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,所以an-1=2n-1,所以an=2n-1+1,所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(5分)数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n-1),…的前n项和为______________. 2n+1-2-n 解析:观察数列得到an=1+2+…+2n-1==2n-1,所以前n项和Sn=a1+a2+…+an =21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n=-n=2n+1-2-n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)某慢性疾病患者,因病到医院就医,医生给他开了处方药(片剂),要求此患者每天早、晩间隔12小时各服一次药,每次一片,每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%,并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药,则第二天上午8点服完药时,药在其体内的残留量是_______毫克,若该患者坚持长期服用此药_______明显副作用(此空填“有”或“无”). 350 无 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:由题意可设第n次服药后,其体内的残留量为an,则a1=200, a2=200+a1×(1-50%)=200×1.5=300,a3=200+a2×(1-50%) =200+200×1.5×0.5=350,故第二天早上他第三次服药后, 药在他体内的残留量为350毫克;该患者若长期服用此药, 则此药在体内残留量为=400(1-0.5n), ∵0.5n>0,则400(1-0.5n)<400, ∴长期服用此药无明显副作用. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)在数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k=_____. 4 解析:令m=1,则由am+n=aman,得an+1=a1an,即=a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10 =ak(a1+a2+…+a10)=2k×=2k+1×(210-1)=215-25=25×(210-1), 解得k=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知集合P={x|x=2n,n∈N+},Q={x|x=2n-1,n∈N+},将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an},记Sn为数列{an}的前n项和, 则a29=________,使得Sn<1 000成立的n的最大值为________. 47 35 解析:数列{an}的前n项依次为1,2,3,22,5,7,23,…. 利用列举法可得,当n=35时,P∪Q的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列{an},所以数列{an}的前35项分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21, 23,25,…,57,59,2,4,8,16,32,故a29=47.S35=30+×2+ =302+26-2=962<1 000. 因为26=64>61,所以S36=S35+61=1 023>1 000,所以n的最大值为35. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知数列{an}中,an=2n-1+,则数列{an}的前n项和 Sn=____________________. n2+ 解析:因为an=2n-1+,则Sn=+++…+ =(1+3+5+…+2n-1)+=+ =n2+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知数列{an}为等比数列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;(5分) 解:设数列{an}的公比为q,则q3===8,所以q=2, 所以an=a2·qn-2=2·2n-2=2n-1, 所以bn=log2an=log22n-1=n-1. (2)求数列{cn}的前n项和Sn.(5分) 解:cn=an+bn=2n-1+n-1,所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n-1+n-1 =(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=+=2n-1+n(n-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=t,点(Sn,)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时,数列{an}是等比数列?(7分) 解:因为点(Sn,an+1)在直线y=3x+1上, 所以an+1=3Sn+1,当n≥2时,an=3Sn-1+1.于是an+1-an=3(Sn-Sn-1)⇒an+1-an=3an⇒an+1=4an. 又当n=1时,a2=3S1+1⇒a2=3a1+1=3t+1, 所以当t=1时,a2=4a1,此时,数列{an}是等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)在(1)的结论下,设bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是数列{cn}的前n项和,求Tn.(8分) 解:由(1),可得an=4n-1,an+1=4n,所以bn=log4an+1=n,cn=4n-1+n, 那么Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n)=(40+41+…+4n-1)+ (1+2+…+n)=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(17分)“绿水青山就是金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理,已知该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造为绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米. (1)求an与an-1(n≥2)的关系;(4分) 解:由题意知当n≥2时,an=(1-0.04)an-1+(1-an-1)×0.16=0.8an-1+0.16 =an-1+,所以an=an-1+(n≥2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)判断是不是等比数列,并说明理由;(6分) 解:数列是等比数列.理由如下: 由(1)得an=an-1+(n≥2), 设an+x=(an-1+x),可得an=an-1-,所以-=,可得x=-, 所以an-=(n≥2),且a1-=-=-. 因此,数列是首项为-,公比为的等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)至少经过几年,绿洲面积可超过60%?(lg 2≈0.301)(7分) 解:由(2)可知,数列是首项为-,公比为的等比数列, 所以an-=-×,即an=-×+. 令an=-×+>,得<, 两边取常用对数,得(n-1)lg <lg, 所以n-1>===≈=≈4.1, 所以n>5.1, 所以至少经过6年,绿洲面积可超过60%. $$