1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

1.3.3　 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 探索并掌握等比数列的前n项和公式;理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.等比数列的前n项和公式 |微|点|助|解| (1)一般地,使用等比数列求和公式时需注意: ①一定不要忽略q=1的情况. ②知道首项a1、公比q和项数n,可以用; 知道首尾两项a1,an和q,可以用. ③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三个,可求其余两个. (2)两种思想:关于等比数列前n项和公式的基本运算,多运用方程的思想,解决两个基本量:首项a1和公比q,从而求出通项公式.同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想. 2.等比数列前n项和的性质 (1)数列{an}为公比不为-1的等比数列,Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N+). (3)若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则: ①在其前2n项中,=q; ②在其前2n+1项中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1). S奇=a1+qS偶. (4)若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+),则数列{an}为等比数列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N+)⇔数列{an}为等比数列. |微|点|助|解| 　　当q=-1且n为偶数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不是等比数列;当q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是等比数列. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. ( 　) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. ( 　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+), 则此数列一定是等比数列. ( 　) × √ √ 2.等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为 (　　) A.4　　　　B.-4　　　　C.2　　　　D.-2 √ 解析:由S5==44,得a1=4. 3.数列{2n-1}的前99项和为(　　) A.2100-1　　　B.1-2100　　　C.299-1　　　D.1-299 解析:数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-1. √ 4.已知一个等比数列的项数是偶数,其奇数项之和为1 012,偶数项之和为2 024,则这个数列的公比为 (　　) A.8　　　B.-2　　　C.4　　　D.2 解析:设公比为q,由题意知S偶=qS奇,即2 024=1 012q,∴q=2. 5.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn=__________________. √ 解析:当x=1时,Sn=n;当x≠1时,Sn=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　等比数列前n项和的基本运算 [例1]　求下列等比数列前n项和: (1),,,…,求S8; 解:因为a1=,q=, 所以S8==. (2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5. 解:法一　由题意知解得从而S5==. 法二　由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10, 所以a1=8,从而S5==. 　　求等比数列前n项和,要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比,应特别注意q=1是否成立. |思|维|建|模| 针对训练 1.在等比数列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. 解:法一　∵an=96,q=2,∴a1·2n=192.① 又∵Sn==189,即a1-a1·2n=-189, ∴a1=a1·2n-189=192-189=3. 代入①式得n=6. 法二　由公式Sn=及已知,得189=,解得a1=3. 又由an=a1qn-1,得96=3·2n-1,解得n=6. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. 解:设{an}的公比为q,由题设得 解得或 当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1); 当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1. 题型(二)　等比数列前n项和的性质及应用 [例2]　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=48,S2n=60,则S3n= (　　) A.60　　　　B.61　　　　C.62　　　　D.63 √ 解析:法一　∵S2n≠2Sn,∴公比q≠1, 由已知得 ②÷①得1+qn=,即qn=　③, ③代入①得=64, ∴S3n==64=63. 法二　∵{an}为等比数列,显然公比q≠-1, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列, ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n), 即(60-48)2=48(S3n-60),∴S3n=63. 法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn,即60=48+48qn,得qn=, ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. (2)一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,则此数列的公比为________,项数为________. 2 8 解析:设数列为{an},其公比为q,项数为2n,则奇数项,偶数项分别组成以q2为公比的等比数列,又a1=1,a2=q,q≠1,所以 ②÷①,得q=2,所以=85,4n=256,故得n=4,故项数为8. 　　[变式拓展] 在本例(1)中,若把条件换为“Sn=2,S2n=6”,求S4n. 解:设数列{an}的公比为q,首项为a1,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列, Sn=2,S2n-Sn=4,故qn=2.所以Sn==2,得-=2, 即=-2,S4n===-2×(1-16)=30. 结合等比数列前n项和的性质解题 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础. (2)运用方程思想、整体思想是解题的关键. |思|维|建|模| 针对训练 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则S9等于 (　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D. 解析:由已知得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,且S3=8,S6-S3=7-8=-1, ∴S9-S6=(-1)×=,∴S9=S6+=7+=.故选C. √ 4.已知等比数列{an}有2n+1项,a1=1,所有奇数项的和为85,所有偶数项的和为42,则n= (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 √ 解析:法一　因为等比数列有2n+1项,则奇数项有n+1项,偶数项有n项,设公比为q,得到奇数项的和为1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+…+q2n-1) =85,偶数项的和为q+q3+q5+…+q2n-1=42,整体代入得q=2,所以前2n+1项的和为=85+42=127,解得n=3.故选B. 法二　由S奇=a1+qS偶,得85=1+42q,所以q=2,所以前2n+1项的和为=85+42=127,解得n=3. [例3]　已知等差数列{an}满足a3=7,a2+a6=20. (1)求{an}的通项公式; 题型(三)　等比数列前n项和公式的应用 解:设等差数列{an}的公差为d, 则a3=a1+2d=7,a2+a6=2a1+6d=20, 解得a1=1,d=3, 所以an=1+3(n-1)=3n-2. (2)若等比数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=a1,=a6,bn+1>bn, 求满足Sn≤2 025的正整数n的最大值. 解:设等比数列{bn}的公比为q. 由(1)知b1=a1=1,=a6=3×6-2=16. 因为=(b1q2)2,所以q=2或q=-2, 又bn+1>bn,所以q=2,所以Sn==2n-1. 令2n-1≤2 025,得2n≤2 026, 又210<2 026<211, 所以满足题意的正整数n的最大值为10. 解决等比数列前n项和有关问题时应注意 (1)首先将题目问题转化为等比数列问题. (2)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要关注各数列之间的相互联系. |思|维|建|模| 5.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列. (1)求{an}的通项公式; 针对训练 解:依题意,得2Sn=an+1-a1. 于是,当n≥2时, 有 两式相减,得an+1=3an(n≥2). 又因为a2=2S1+a1=3a1,an≠0, 所以数列{an}是首项为a1,公比为3的等比数列. 因此,an=a1·3n-1(n∈N+). (2)设bn=1-Sn,问:是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出a1的值;若不存在,请说明理由. 解:存在.因为Sn==a1·3n-a1, 所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n. 要使{bn}为等比数列, 则1+a1=0,故a1=-2. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.等比数列{an}中,首项a1=12,公比q=,那么它的前4项和S4的值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:由等比数列的前n项和公式,得S4===18×=. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=2,S6-S3=4,则S9-S6= (　　) A.8　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.1 解析:由题意得,(S6-S3)2=S3(S9-S6),∴S9-S6=8. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于 (　 ) A.10　　　B.210　　　C.210-2　　　D.211-2 解析:∵==2,∴数列{an}是公比为2的等比数列,且a1=2, ∴S10==211-2. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在等比数列{an}中,a1+an=82,a3an-2=81,且前n项和Sn=121,则此数列的项数n等于 (　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 √ 解析:设等比数列{an}的公比为q,依题意,a1+an=82,a3an-2=a1an=81, 所以或若则Sn===121,解得q=3,所以an=1×3n-1=81=34,n=5.若则Sn===121,解得q=,所以an=81×=34×31-n=35-n=1,n=5.综上所述,n的值为5. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知等比数列{an}中,an=2×3n-1,则由此数列的奇数项按原来的顺序所组成的新数列的前n项和为 (　　) A.3n-1 B.3(3n-1) C.(9n-1) D.4(9n-1) √ 解析:由an=2×3n-1,得a2k-1=2×32k-2=2×9k-1,k∈N+,a1=2,则==9,因此由等比数列{an}的奇数项按原来的顺序所组成的新数列是首项为2, 公比为9的等比数列,所以新数列的前n项和为=(9n-1). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　　) A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 √ 解析:法一　设等比数列{an}的公比为q,则q===2. 由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1, Sn==2n-1,所以==2-21-n. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　设等比数列{an}的公比为q, 则　得=q=2. 将q=2代入①,解得a3=4, 所以a1==1,下同法一. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知正项等比数列{an}中a1=2,a5-2a3=a4,设其公比为q,前n项和为Sn,则 (　　) A.q=2 B.an=2n C.S10=2 047 D.an+an+1<an+2 解析:因为a5-2a3=a4,所以a1q4-2a1q2=a1q3,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,又q>0,所以q=2,所以A正确;数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n, 所以B正确;S10==211-2=2 046,所以C不正确;由an=2n,得an+an+1 =2n+2n+1=3·2n,an+2=2n+2=4·2n,所以an+an+1<an+2,所以D正确. √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)对于数列{an},若点(n,an)(n∈N+)都在函数f(x)=2x的图象上, 则数列{an}的前4项和S4=________. 30 解析:由题设可得an=2n,故=2(n≥2),故{an}为等比数列, 其首项为2,公比为2,故S4==30. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3, 则公比q的值为____________. 1或- 解析:当q=1时,S3=a1+a2+a3=3a3,成立;当q≠1时,S3=, a3=a1q2,又S3=3a3,所以=3q2,化简得2q2-q-1=0, 解得q=-或q=1(舍去).综上可知,公比q的值为1或-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·2n-1+1,则实数t的值为______.  -2 解析:Sn=t·2n-1+1=·2n+1,因为等比数列{an}的前n项和Sn=-A·qn+A, 其中q为公比,所以+1=0,所以t=-2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)=k·2x-3,数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn, 若Sn=f(n),则满足Sn≤190的n的最大值为________. 6 解析:设等比数列{an}的公比为q,且q≠1,因为函数f(x)=k·2x-3, 且Sn=f(n),可得Sn==-qn+=f(n)=k·2n-3,所以q=2,a1=3, k=3,所以Sn=3×2n-3≤190,解得1≤n≤6,故n的最大值为6. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知等比数列{an}的公比为q,且有1-q=3a1,用q表示{an}的前n项和为_________________. Sn=-qn+ 解析:当q=1时,∵3a1=1-q=0, ∴a1=0与{an}是等比数列矛盾, ∴q≠1,即=. 又∵等比数列的前n项和公式为Sn==-·qn+,∴Sn=-qn+. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+a. (1)求实数a的值;(6分) 解:由Sn=2n+a,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+a-(2n-1+a)=2n-1, 又a1=S1=2+a,因为数列{an}是等比数列, 所以a1满足an=2n-1,∴2+a=1,即a=-1. (2)若Sm=127,求m.(4分) 解:由(1),Sn=2n-1,∴Sm=2m-1, ∴127=2m-1,解得m=7. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设Sn为正项等比数列{an}的前n项和,已知a3=,S2=. (1)求数列{an}的公比q;(4分) 解:因为数列{an}是正项等比数列,则q>0, 由题意得,整理得=6,即6q2-q-1=0, 解得q=或q=-(舍去). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求数列{an}的通项公式;(3分) 解:因为a3=a1·=,所以a1=,故an=a1qn-1=×=. (3)求数列{an}的前n项和Sn.(3分) 解:Sn===1-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3=14,S6=126. (1)求{an}的通项公式;(4分) (2)若+Sn>958,求n的最小值.(6分) 解:设等比数列{an}的公比为q,由S3=14,S6=126,得a4+a5+a6=S6-S3=112, 而a1+a2+a3=14,则q3=8,解得q=2.又a1(1+q+q2)=14,解得a1=2, 所以{an}的通项公式an=a1qn-1=2n. 解:由(1)知,Sn==2n+1-2,由+Sn>958,得22n+2n+1-2>958,即+2×2n-960>0,整理得(2n-30)(2n+32)>0,而2n>0,因此2n>30, 又n∈N+,则n≥5,所以n的最小值为5. $$