1.3.1 等比数列及其通项公式(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

1.3　 等比数列 1.3.1　 等比数列及其通项公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等比数列的有关概念 逐点清(二) 等比数列的通项公式 逐点清(三) 等比数列的判定与证明 4 逐点清(四) 等比数列的实际应用 5 课时跟踪检测 逐点清(一) 等比数列的有关概念 01 多维理解 一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的____一项之____都等于________常数,那么这个数列称为等比数列,这个常数叫作等比数列的_______.公比通常用字母q表示(q≠0). 2 前 比 同一个 公比 |微|点|助|解| 　　对等比数列概念的理解 (1)由于等比数列每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能为0. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.“每一项与它的前一项之比都等于同一个常数”,即比值相等,同时还要注意公比是每一项与其前一项之比,防止前后次序颠倒. (3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3,n∈N+)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,那么此数列不是等比数列. (4)如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但却是不同的常数,那么此数列不是等比数列. (5)常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.当常数列是各项都为0的数列时,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,它是等比数列. 微点练明 1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 (　　) ①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2; ③常数列a,a,…,a,…; ④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+. A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A. √ 2.数列1,1,1,…,1,…必为 (　　) A.等差数列,但不是等比数列 B.等比数列,但不是等差数列 C.既是等差数列,又是等比数列 D.既不是等差数列,也不是等比数列 解析:数列1,1,1,…,1,…是公差为0的等差数列,也是公比为1的等比数列.故选C. √ 3.判断下列数列是否为等比数列. (1)1,3,32,33,…,3n-1,…; 解:记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….∵==3(n≥2,n∈N+), ∴数列为等比数列,且公比为3. (2)-1,1,2,4,8,…; 解:记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,∵=-1≠=2,∴此数列不是等比数列. (3)a1,a2,a3,…,an,…. 解:当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时, 数列为a1,a2,a3,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a. 逐点清(二) 等比数列的通项公式 02 多维理解 1.等比数列的通项公式 一般地,如果等比数列{an}的首项为a1(a1≠0),公比为q(q≠0),则{an}的通项公式为an=_________. 2.等比中项 在两个数a,b之间插入数G,使a,G,b成等比数列,则G称为__________ __________.由等比中项的定义可知:=⇒G2=____⇒G_________. a1qn-1 等比中项 ± a与b的 ab |微|点|助|解| (1)在等比数列{an}中,任取相邻的三项an,an+1,an+2,则an+1是an与an+2的 等比中项.如在等比数列1,2,4,8,…中,2n是2n-1与2n+1的等比中项(n∈N+). (2)“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”是不等价的,前者可以推出后者,但后者不一定能推出前者.如G=a=0,b=1,满足G2=ab,而0,0,1不成等比数列. 微点练明 1.在等比数列{an}中,a1=8,q=,则a4与a8的等比中项是(　　) A.±　　　B.4　　　C.±4　　　D. 解析:由已知可得a6=a1q5=8×=,由等比中项的性质可得a4a8==,因此,a4与a8的等比中项是±. √ 2.在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为(　　) A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6 √ 解析:因为an=a1qn-1,所以×=,即=,解得n=5. 3.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于(　　) A.1　　　B.2　　　C.-2　　　D.-1 解析:设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,解得q=2. √ 4.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项, 则=________. 解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9. ∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=d,∴==. 5.在等比数列{an}中. (1)若它的前三项分别为5,-15,45,求a5; 解:因为a5=a1q4,而a1=5,q==-3,所以a5=405. (2)若an=625,n=4,q=5,求a1; 解:a1===5. (3)若a4=2,a7=8,求an. 解:因为所以 由得q3=4,从而q=,而a1q3=2, 于是a1==,所以an=a1qn-1=.   逐点清(三) 等比数列的判定与证明 03 [例1]　设数列{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,数列{cn}满足cn=an+bn,n∈N+.若an=2n,bn=3n,是否存在常数k,使得数列{cn+1-kcn}为等比数列?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 解:由题意知,若数列{cn+1-kcn}为等比数列,则有(cn+1-kcn)2=(cn+2-kcn+1)·(cn-kcn-1),其中n≥2且n∈N+,将cn=2n+3n代入上式,得[2n+1+3n+1-k(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-k(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-k(2n-1+3n-1)], 即[(2-k)2n+(3-k)3n]2=[(2-k)2n+1+(3-k)·3n+1]·[(2-k)2n-1+(3-k)3n-1], 整理得(2-k)(3-k)·2n·3n=0,解得k=2或k=3. 故存在实数k=2或k=3,使得数列{cn+1-kcn}为等比数列. 　　[变式拓展] 本例条件不变,证明:{cn}不是等比数列. 解:设数列{an},{bn}的公比分别为p,q,p≠q且p≠0,q≠0,a1≠0,b1≠0,则cn=a1pn-1+b1qn-1,要证{cn}不是等比数列,只需证≠c1c3.事实上=(a1p+b1q)2=p2+2a1b1pq+q2,c1c3=(a1+b1)·(a1p2+b1q2) =p2+a1b1(p2+q2)+q2,由于p≠q,故p2+q2>2pq.又a1≠0,b1≠0, 从而≠c1c3,所以{cn}不是等比数列. |思|维|建|模| 判断数列是等比数列的常用方法 定义法 若数列{an}满足=q(n∈N+,q为常数且不为零)或=q(n≥2,且n∈N+,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列 通项 公式法 若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列 等比 中项法 若=anan+2(n∈N+且an≠0),则数列{an}为等比数列 针对训练 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N+). (1)求a1,a2; 解:由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),所以a1=-.又S2=(a2-1), 即a1+a2=(a2-1),得a2=. (2)求证:数列{an}是等比数列. 解:证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-.又a1=-,所以{an}是首项为-, 公比为-的等比数列. 逐点清(四) 等比数列的实际应用 04 [例2]　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值; 解:从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%), a3=13.5(1-10%)2,…. 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列, 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, ∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元. (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱? 解:由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. 解等比数列应用题的步骤 (1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意; (2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题; (3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数; (4)还原:即最后转化为实际问题作出回答. |思|维|建|模| 2.通过测量知道,温度每降低6 ℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34 ℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温26 ℃时,该元件的电子数目接近 (　　) A.860个 B.1 730个 C.3 072个 D.3 900个 解析:由题设知,该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列,且a1=3,公比q=2. 由26-(-34)=60,=10,得a11=3×210=3 072. √ 针对训练 3.假设一个蜂巢里只有1只蜜蜂,第1天它飞出去找回了2个伙伴,第2天, 3只蜜蜂飞出去,各自找回了2个伙伴,…,如果这个找伙伴的过程继续下去,则到第4天所有蜜蜂都归巢后,蜂巢中全部蜜蜂的只数是 (　　) A.1　　　　B.3　　　　C.9　　　　D.81 解析:由题意知,第1天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中一共有1+2=3只蜜蜂,第2天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中一共有3×3=9只蜜蜂,第3天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中一共有3×9=27只蜜蜂,…,第n天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中一共有3×3n-1 =3n只蜜蜂,所以归巢后的蜜蜂数量组成了首项为3,公比为3的等比数列, 所以其通项公式为3n,所以第4天共有34=81只蜜蜂. √ 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列三个数依次成等比数列的是 (　　) A.1,4,8 B.-1,2,4 C.9,6,4 D.4,6,8 √ 解析:42≠1×8,A错误;22≠-1×4,B错误;因为==,所以9,6,4依次成等比数列,C正确;62≠4×8,D错误.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= (　　) A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析:依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知实数m是2,8的等比中项,则m= (　　) A.±4 B.-4 C.4 D.5 解析:因为实数m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,得m=±4,故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在等比数列{an}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于 (　　) A.-2 B.1或-2 C.1 D.1或2 解析:根据题意,代入公式解得或 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.一个各项均为正数的等比数列,每一项都等于它后面两项的和,则公比q= (　　) A. B. C. D. 解析:依题意a1=a2+a3,∴a1=a1q+a1q2,∵a1≠0,∴q2+q-1=0.∴q=或q=(舍去). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知等比数列{an}中,=2,a4=8,则a3=(　　) A.16 B.4 C.2 D.1 解析:设等比数列{an}的公比为q,则==q=2,∴a3===4.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]已知{an}为等差数列,满足4a3-a8=7,a2+a7=11,{bn}为等比数列,满足b1=a1,b4=a15,则 (　　) A.{an}的首项与公差相等 B.a2,a5,a11成等比数列 C.{bn}的首项与公比相等 D.b3,b5,b6成等差数列 √ 解析:因为{an}是等差数列,设公差为d,则4a3-a8=3a1+d=7, a2+a7=2a1+7d=11,解得a1=2,d=1,故A错误;可得an=2+n-1=n+1, 所以a2=3,a5=6,a11=12,是等比数列,故B正确;数列{bn}为等比数列, 且b1=a1=2,b4=a15=16,所以q=2,则bn=2n,故C正确;b3=8,b5=32,b6=64, 不是等差数列,故D错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.数列{an}中,“=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:对数列{an},an+1=2an,若a1=0,则可得a2=a3=…=an=0,此时{an}不是公比为2的等比数列;若{an}是公比为2的等比数列,则=2,即an+1=2an.故“an+1=2an”是“{an}是公比为2的等比数列”的 必要不充分条件,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中,若能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为 (　　) A.105 kJ B.104 kJ C.103 kJ D.102 kJ 解析:设H1需提供的能量为a,由题意知,H2的能量为10%a,H3的能量为(10%)2a,即(10%)2a =10,解得a=103,所以要能使H3获得10 kJ的能量,则需H1提供的能量为103 kJ,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.[多选]设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn,若a2a8=16,则 (　　) A.a5=4 B.当a1=1时,q=± C.log2=18 D.+≥36 解析:A选项,因为=a2a8=16,所以a5=±4,所以A不正确;B选项, 因为a1=1,a2a8=16,则q8=16,所以q8=16,所以q=±,所以B正确; C选项,因为T9=a1a2·…·a9=,所以|T9|=||=218,所以log2|T9|=18,所以C正确; D选项,+≥2a3a7=2a2a8=32,当且仅当a3=a7时等号成立.所以D不正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为____. -4 解析:因为2a+2为a与3a+3的等比中项,所以 解得a=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为___________. 解析:设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得石,28石,28q石,∴+28+28q=98,解得q=2或q=. 又0<q<1,∴q=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=___________________________________ _____________. 2n-4 (只要{an}为正项等比数列(不为常数列) 且a5=2即可) 解析:因为{an}为正项等比数列,所以a3a7==4,所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1= a5qn-5=2×2n-5=2n-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式;(5分) 解:法一　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意得解得 ∴an=a1qn-1=×. 法二　∵{an}为等比数列, ∴q===. ∴an=a3qn-3=12×=×. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an.(5分) 解:由a7=a5q2,得q2==9,∴q=±3,则a1=, 当q=3时,an=a1qn-1=×3n-1=3n-4; 当q=-3时,an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列. (1)证明:,,,依次构成等比数列;(3分) 解:证明:因为==2d(n=1,2,3)是同一个常数, 所以,,,依次构成等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列?并说明理由.(7分) 解:不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.理由如下: 令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0). 假设存在a1,d使得a1,,,依次构成等比数列,由=,得=a1, 同理=,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. 令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0(*), 且t2=t+1. 将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-. 显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立, 因此不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列. $$