1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

1.2.3　 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 了解等差数列前n项和公式的推导过程;掌握等差数列前n项和公式;理解并应用等差数列前n项和的性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 _______________ __________________ Sn= Sn=na1+d |微|点|助|解| (1)公式Sn=反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式Sn=na1+d知d=0时,Sn=na1;d≠0时,等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 2.等差数列前n项和的常见性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为___. (2)若Sn,S2n,S3n,…分别为等差数列{an}的前n项,前2n项,前3n项,…和, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为_____. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=. (4)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇= ___,=(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n+1,则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项), S偶-S奇=-an+1,=________(S奇≠0). (6)在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则=-(m+n). [提醒]　上述性质可用于小题,大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn,S2n,S3n,…成等差数列. 基础落实训练 1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= (　　) A.-20　　　　B.-40　　　　C.-60　　　　D.-80 解析:由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80. 2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=4,S4=8,则S6=(　　) A.12　　　　B.16　　　　　C.24 　　　D.36 解析:由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2(8-4)=4+S6-8,故S6=12. 3.在等差数列{an}中,a1=20,an=54,Sn=999,则d=_______,n=________.  √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　等差数列前n项和的基本运算 [例1]　(1)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n; 解:由题设可得 解得或 (2)在等差数列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10. 解:由题设可得 即解得 故a10=2+3×(10-1)=29. 　　[变式拓展] 若本例(1)中,将“d=2”改为“a1=3”,其他条件不变,求n和公差d. 解:法一　由 得解得 法二　∵a1=3,an=11,Sn=35,∴35==7n,即n=5.又11=3+(5-1)d,∴d=2. 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. |思|维|建|模| (2)利用等差数列的性质解题. 针对训练 1.(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7=( 　) A.-2　　　　B.　　　　C.1　　　　D. √ 解析:法一　设等差数列{an}的公差为d,由S9=9a1+d=9(a1+4d)=1,得a1+4d=, 所以a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=2(a1+4d)=,故选D. 法二　因为{an}为等差数列,所以S9==9a5=1,得a5=,所以a3+a7=2a5=, 故选D. 法三　令公差d=0,则S9=9a1=1,解得a1=,所以a3+a7=2a1=. 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=__________. 25 解析:法一　设等差数列{an}的公差为d, 则由a2+a6=2, 得a1+d+a1+5d=2, 即-4+6d=2,解得d=1, 所以S10=10×(-2)+×1=25. 法二　设等差数列{an}的公差为d, 因为a2+a6=2a4=2,所以a4=1, 所以d===1, 所以S10=10×(-2)+×1=25. 题型(二)　等差数列前n项和的性质及应用 [例2]　在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n= (　　) A.9　　　　B.10　　　　C.11　　　　D.12 解析:根据等差数列前n项和的性质可得==,解得n=10. √ [例3]　已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}前3m项的和S3m. 解:法一　在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴30,70,S3m-100成等差数列, ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 法二　在等差数列中,,,成等差数列, ∴=+.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.∴S3m=210. 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算. (3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解. |思|维|建|模| 针对训练 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=-6,S18-S15=18,则S18等于 (　　) A.36　　　　B.18　　　　C.72　　　　D.9 解析:由S3,S6-S3,…,S18-S15成等差数列知,S18=S3+(S6-S3)+ (S9-S6)+…+(S18-S15)==36. √ 4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023,-=6, 则S2 025=__________. 2 025 解析:由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d, 则-=6d=6,所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1, 所以S2 025=1×2 025=2 025. [例4]　已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式an; 题型(三)　等差数列前n项和公式的应用 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =3n2+4n-3(n-1)2-4(n-1)=6n+1, 当n=1时,a1=S1=3+4=7,满足an=6n+1, 即数列{an}的通项公式an=6n+1. (2)求证:数列{an}是等差数列. 解:∵an=6n+1, ∴当n≥2时,an-an-1=6n+1-6(n-1)-1=6为常数,则数列{an}是等差数列. 　　[变式拓展] 若本例中条件变为“数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1(n∈N+)”. 求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列,若是,请证明; 若不是,请说明理由. 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3(n-1)2-4(n-1)-1=6n+1, 当n=1时,a1=S1=3+4+1=8,不满足an=6n+1, 所以an=显然{an}不是等差数列. 　　由Sn求得通项公式an的特点:若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列. |思|维|建|模| 5.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r. (1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列; 针对训练 解:证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,令n=1,S1=25-2=23,所以n≥2时, Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2 =27-4n,此时a1=27-4=23,所以an=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+ 4(n-1)=-4,可得数列{an}是公差为-4的等差数列. (2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件. 解:Sn=25n-2n2+r,令n=1,得S1=25-2+r=23+r,所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)- 2(n-1)2+r,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,所以an-an-1= (27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得n≥2时,数列{an}是公差为-4的等差数列, 若数列{an}是等差数列,则a1=27-4=23=23+r,所以r=0. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 (　　) A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.1 解析:等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=17,S17=340,则数列{an}的公差是 (　　) A.-4　　　B.-3　　　C.　　　D.3 解析:因为S17===17a9=340,所以a9=20,又a8=17, 所以d=a9-a8=20-17=3.故选D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知等差数列{an}中,a1=1,Sn为{an}的前n项和,S5=5S3-5,则S4= (　　) A.4　　　B.-2　　　C.3　　　D.-1 解析:记等差数列{an}的公差为d,则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5, 整理得2a1+d-1=0,又a1=1,所以d=-1,所以S4=4×1+×(-1)=-2. 故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= (　　) A.27　　　B.45　　　C.81　　　D.18 解析:由等差数列{an},得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,可得2(S6-S3)= S3+S9-S6,即2×(36-9)=9+ S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故选B. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3a12是{an}中的 (　　) A.第30项 B.第36项 C.第48项 D.第60项 解析:设公差为d, 则解得 所以an=n,则a3a12=3×12=36, 令an=36,则n=36,所以a3a12是{an}中的第36项.故选B. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析:由已知得=,可设Sn=kn(3n+5),Tn=kn(4n+6),则a7=S7-S6 =182k-138k=44k,b8=T8-T7=304k-238k=66k,即==,故选A. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,an+1+an=3n,则 (　　) A.a4=5 B.S20=300 C.S31=720 D.n为奇数时,Sn= √ √ √ 解析:由an+1+an=3n,则an+2+an+1=3(n+1),两式作差,得an+2-an=3,a1=1,当n为奇数时, {an}是首项为1,公差为3的等差数列,即an=n-;a2=2,当n为偶数时,{an}是首项为2,公差为3的等差数列,即an=n-1.所以a4=a2+3=5,A正确;S20=(a1+a3+…+a19)+ (a2+a4+…+a20)=+=300,B正确;S31=(a1+a3+…+a31)+ (a2+a4+…+a30)=+=721,C错误;n为奇数时,Sn=+ =+=,D正确.故选ABD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7, 3a2+a5=5,则S10=__________. 95 解析:设数列{an}的公差为d,则由题意得 解得 则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn,Tn,且=3,则=______. 解析:由等差数列性质可得==3,解得=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N+)均在函数y=2x-3的图象上,则数列{an}的通项公式an=__________. 4n-5 解析:依题意得=2n-3,即Sn=2n2-3n,所以数列{an}为等差数列,且a1=S1=-1, a2=S2-S1=3,设其公差为d,则d=4,所以an=4n-5(n∈N+). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,在ak和ak+1之间插入k个2(k∈N+)形成一个新数列{bn},则{bn}的前2 024项的和为__________. 7 891 解析:在数列{bn}中,在ak+1的前面的所有项的项数为k+(1+2+…+k)= ≤2 024,当k=62时,=2 015,即在a63的前面的所有项的项数为2 015, 又在a63与a64之间共有63个2,所以数列{bn}的前2 024项中包含数列{an}的 项有63项,中间插入2的数量为1+2+…+62+8=1 961,所以数列{bn}的前2 024项和为+1 961×2=7 891. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式;(5分) 解:设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2. 从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.(5分) 解:由(1)可知an=3-2n, 所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35,可得2k-k2=-35, 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N+,故k=7. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 13.(10分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a1=1,S3=9. (1)求{an}的通项公式;(4分) 解:∵{an}为等差数列,设其公差为d, 则即 解得∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设bn=a2n-1+a2n,求数列{bn}的前n项和Tn.(6分) 解:由(1)可知an=2n-1, ∴a2n-1=2(2n-1)-1=4n-3, a2n=2×2n-1=4n-1, ∴bn=a2n-1+a2n=8n-4. 法一　Tn=8(1+2+3+…+n)-4n=8×-4n=4n2, ∴{bn}的前n项和Tn=4n2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　b1=4,n≥2时,bn-=8n-4-8(n-1)+4=8, ∴{bn}是首项为b1=4,公差为8的等差数列, ∴Tn==4n2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=2,S4=-20. (1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.(6分) 解:设等差数列{an}的公差为d. ∵S2=2,S4=-20, ∴2a1+d=2,4a1+6d=-20, 联立解得a1=4,d=-6, ∴an=4-6(n-1)=10-6n,Sn==7n-3n2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)是否存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列?若存在,求出n;若不存在,请说明理由.(9分) 解:假设存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则2(Sn+2+2n)=Sn+Sn+3, ∴2[7(n+2)-3(n+2)2+2n]=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2,解得n=5. ∴存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3a4=117, a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式an;(5分) 解:设等差数列{an}的公差为d,且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117, ∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13. ∴∴∴an=4n-3,n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.(10分) 解:由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n, ∴bn==, ∴b1=,b2=,b3=. ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, ∴2c2+c=0,∴c=-或c=0(舍去). 经检验,c=-符合题意,∴c=-. $$