1.2.1 等差数列及其通项公式(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

1.2　 等差数列 1.2.1　 等差数列及其通项公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念,掌握等差数列通项公式的意义. 2.会推导等差数列的通项公式,能应用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 3.掌握等差中项的概念,并能应用等差中项解决问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等差数列的有关概念 逐点清(二) 等差数列的通项公式 逐点清(三) 等差数列的判定与证明 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　等差数列的有关概念 01 多维理解 (1)一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差都等于_______常数,那么这个数列称为等差数列,这个常数叫作等差数列的______,公差通常用字母______表示. (2)递推公式:an+1-an=______ (d为常数). 同一个 公差 d d |微|点|助|解| 　　对等差数列概念的解读 (1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)作差的顺序:“每一项与它的前一项之差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒; (3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数; (4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞). 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列. ( 　) (2)-1,-2,-3,-4,-5不是等差数列. ( 　) (3)若数列{an}是等差数列,则其公差d=a7-a8. ( 　) √ × × 2.下列数列是等差数列的是 (　　) A.,,, B.1,,, C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0 √ 解析:由等差数列的定义知,0,0,0,0是等差数列,故选D. 3.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是 (　　) A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为-的等差数列 D.不是等差数列 √ 4.在-1和8之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则公差为______. 3 解析:由已知a-(-1)=b-a=8-b=d,∴8-(-1)=3d,∴d=3. 逐点清(二) 等差数列的通项公式 02 多维理解 1.等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为________________. an=a1+(n-1)d |微|点|助|解| 　　等差数列通项公式的注意点 (1)通项公式还可以推广为an=am+(n-m)d(m,n∈N+,m<n). (2)通项公式的变形:d==(m,n∈N+,m<n),即已知等差数列的任意两项,可以直接求出公差d. (3)由方程思想,已知an,a1,n,d中的任何三个量,可以求出另一个量, 即“知三求一”. (4)根据通项公式知,已知数列的任意两项,可以确定等差数列的每一项. 2.等差中项 在两个数a,b之间插入数M,使a,M,b成等差数列,则____称为a与b的等差中项. M |微|点|助|解| (1)任意两个实数都有等差中项且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即M=. (3)a2是a1和a3的等差中项,特别要注意序号之间的关系. 微点练明 1.已知等差数列{an}中,a1+a8=2,a2+a9=8,则数列{an}的公差为 (　　) A.4　　　　B.3　　　　C.1　　　　D.-1 √ 解析:在等差数列{an}中,因为a1+a8=2,所以a2+a9=a1+d+a8+d=2+2d=8,解得d=3. 2.记等差数列{an}的公差为d(d≥0),若是与-2的等差中项,则d的值为(　　) A.0　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2 解析:由等差数列{an}的公差为d,是与-2的等差中项,得2=+-2,即2(a1+d)2=+(a1+2d)2-2,整理得d2=1,而d≥0,解得d=1. √ 3.在等差数列{an}中, (1)已知a1=2,d=3,n=10,求an; 解:an=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2)已知a1=3,an=21,d=2,求n; 解:由an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=21,解得n=10. (3)已知a1=12,a6=27,求d; 解:由a6=a1+5d=12+5d=27,解得d=3. (4)已知d=-,a7=8,求a1和an. 解:由a7=a1+6d=a1-2=8,解得a1=10,所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+. 4.已知等差数列{an}:3,7,11,15,…. (1)求{an}的通项公式; 解:设数列{an}的公差为d. 依题意,有a1=3,d=7-3=4, ∴an=3+4(n-1)=4n-1. (2)135,4m+19(m∈N+)是数列{an}中的项吗?请说明理由; 解:令4n-1=135,得n=34, ∴135是数列{an}的第34项. ∵4m+19=4(m+5)-1,且m∈N+, ∴4m+19是数列{an}的第m+5项. (3)若am,at(m,t∈N+)是数列{an}中的项,那么2am+3at是数列{an}中的项吗?请说明理由. 解:∵am,at是数列{an}中的项,∴am=4m-1,at=4t-1, ∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1. ∵2m+3t-1∈N+, ∴2am+3at是数列{an}的第2m+3t-1项. 逐点清(三)　等差数列的判定与证明 03 [典例]　已知数列{an}满足a1=2,an+1=.那么数列是否为等差数列?请说明理由. 解:数列是等差数列,理由如下: ∵a1=2,an+1=,∴==+, ∴-=,即数列是首项为=,公差为d=的等差数列. 　　[变式拓展] 1.若本例中的条件“a1=2,an+1=”变为“a1=4,an=4-(n>1),记bn=”.试证明数列{bn}为等差数列. 证明:bn+1-bn=-=-=-==. 又b1==,∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. 2.若本例中的条件“a1=2,an+1=”变为“a1=1,a2=2,2an+1=2an+3 (n≥2,n∈N+)”.试判断数列{an}是否是等差数列. 解:当n≥2时,由2an+1=2an+3,得an+1-an=,但a2-a1=1≠, 故数列{an}不是等差数列. |思|维|建|模| 证明等差数列的方法 　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法. (1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法. (2)通项公式法可用于选择、填空题的求解. 针对训练 数列{an}满足a1=1,a2=2,=2an+1-an+2. (1)求a3,a4的值; 解:数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.所以a3=2a2-a1+2=2×2-1+2=5, a4=2a3-a2+2=2×5-2+2=10. (2)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列. 解:∵bn+1-bn=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an=2, ∴{bn}为等差数列. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列数列中,是等差数列的是 (　　) A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 解析:A、B、D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中, 因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义, 所以不是等差数列. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知a=+,b=-,则a,b的等差中项为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:a,b的等差中项为==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在等差数列{an}中,a1=1,公差d=-2,则a5= (　　) A.-5　　　　B.-11　　　　C.-9　　　　D.-7 解析:a5=a1+4d=1+4×(-2)=-7,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知等差数列{an}中,a6=-24 ,a30=-48 ,则首项a1与公差d分别为 (　　) A.-18,-2 B.-18,-1 C.-19,-2 D.-19,-1 解析:依题意得解得故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中项是0,则a+b的最小值为 (　　) A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.2 解析:∵lg a,lg b的等差中项是0,∴lg a+lg b=0,即lg ab=0,ab=1, ∴a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,故a+b的最小值为2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 (　　) A.a6 B.a4 C.a10 D.a12 解析:由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=-5d,所以an=a1+(n-1)d =-5d+(n-1)d=(n-6)d,所以a6=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则a2 023的值是 (　　) A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.1 013 √ 解析:由2an+1=2an+1,得an+1-an=.所以{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=. 所以an=2+(n-1)=. 所以a2 023==1 013. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]已知在等差数列{an}中,a2+a9+a12-a14+a20-a7=8,则 (　　) A.a10=4 B.a11=4 C.a9-a3=3 D.a10-a3=3 √ √ 解析:由题意,设等差数列{an}的公差为d,则a2+a9+a12-a14+a20-a7=2a1+20d=2(a1+10d)=8.即a11=a1+10d=4,所以a9-a3=a1+8d-(a1+2d)=(a1+10d)=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知递增数列{an}是等差数列,若a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a2 024= (　　) A.2 024 B.2 023 C.4 048 D.4 046 解析:设数列{an}的公差为d(d>0),因为a4=8,3(a2+a6)=a2a6, 则解得 所以a2 024=2+2×(2 024-1)=4 048. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.将数列1,3,6,8中的某两项分别减1、加1后(另两项不变),得等差数列{an}的前四项,则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=2n B.an=2n-2 C.an=3n-2 D.an=3n-3 解析:记减1的项为a,加1的项为b,因为1+8=3+6,可知变化的两项为1,4或2,3,若a=1,b=4,可得0,3,6,9,为等差数列,此时首项为0,公差为3,所以an=0+3(n-1)=3n-3;若a=4,b=1,可得2,3,6,7,不为等差数列;若a=2,b=3,可得1,2,7,8,不为等差数列;若a=3,b=2,可得1,4,5,8,不为等差数列.综上所述,数列{an}的通项公式为an=3n-3.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a1=47,a6=7,则a5等于_____. 15 解析:由2an=an-1+an+1(n≥2)知,数列{an}是等差数列,设公差为d, 由a6=a1+5d,得d=-8, 所以a5=47+(5-1)×(-8)=15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知数列{log2(an-1)}(n∈N+)为等差数列,且a1=3,a3=9, 则数列{an}的通项公式为______________. an=2n+1 解析:设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9, 得log2(a3-1)= log2(a1-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n, 即an=2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),λ是常数. (1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(5分) 解:因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N+),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ, 解得λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由.(5分) 解:不存在实数λ使得{an}为等差数列. 理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ,使得{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1, 即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24, a2-a1≠a4-a3,这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{an}为等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项. (1)求和1的调和中项;(5分) 解:设和1的调和中项为b,依题意得3,,1成等差数列,所以==2, 解得b=, 故和1的调和中项为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.(5分) 解:依题意,是等差数列,设其公差为d, 则3d=-⇒d=,所以=+(n-1)d=+(n-1)=,故an=. $$