5.1.2 第2课时 导数的几何意义及应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

导数的几何意义及应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步了解导函数的概念，理解导数的几何意义.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用导数的几何意义判断函数的图象变化 题型(二)　利用导数的几何意义求解切线问题 题型(三)　导函数的实际意义 4 课时检测 题型(一)　利用导数的几何意义判断函数的图象变化 01 [例1]　若函数y=f(x)的导函数在区间[a，b]内单调递增，则函数y=f(x)在区间[a，b]内的图象可能是 (　　) √ 解析:函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a，b]内单调递增，由导数的几何意义可知，曲线y=f(x)在区间[a，b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合. |思|维|建|模| (1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x=x0附近曲线是上升的；f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 针对训练 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系正确的是 (　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3) C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) √ 解析:kAB==f(3)-f(2)，f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2). 题型(二)　利用导数的几何意义求解切线问题 02 题点1　求切线方程 [例2]　已知曲线y=x3+，求曲线在点P(2，4)处的切线方程. 解:∵P(2，4)在曲线y=x3+上，∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k= = =4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0. 变式拓展 1.本例条件不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解:设曲线y=x3+与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k= =， ∴切线方程为y-=(x-x0)，即y=x-+. ∵点P(2，4)在切线上，∴4=2-+， 即-3+4=0.∴+-4+4=0， ∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，∴(x0+1)(x0-2)2=0， 解得x0=-1或x0=2.故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 2.本例条件不变，求满足斜率为1的曲线的切线方程. 解:设切点为(x0，y0)， 由变式拓展1可知切线的斜率为k=，即=1，x0=±1，∴切点为或(-1，1)，∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1，即3x-3y+2=0或x-y+2=0. |思|维|建|模| 求曲线切线方程的两种情形 (1)如果所给点P(x0，y0)是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)，即得切线的斜率k=f'(x0)，再根据点斜式得出切线方程. (2)如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上. 题点2　求切点坐标或参数 [例3]　(1)已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则实数a=(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:f'(1)===[(Δx)2+3Δx +3+a]=3+a.又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，∴f'(1)· =(3+a)·=-1，解得a=1. √ (2)已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为_______.  解析:设切点坐标为(x0，y0)，则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2，∴=4x0+2Δx，∴f'(x0)==4x0.又∵切线的斜率为k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=.∴y0=2×+1=，∴切点坐标为. |思|维|建|模| 求切点坐标的步骤 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标. 针对训练 2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切，则a的值为_______，切点坐标为___________.  解析:设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为y'==3x2-2x，则y'=3-2x0=1， 解得x0=1或x0=-.当x0=1时，y0=-+1=1.又因为(x0，y0)在直线y=x+a上，将x0=1，y0=1代入得a=0，与已知条件矛盾，舍去.当x0=-时，y0=-+1 =，则切点坐标为，将代入直线y=x+a中得a=. 3.已知曲线f(x)=. (1)求过点A(1，0)的切线方程； 解: f'(x)===-.设过点A(1，0)的切线的切点为P，则f'(x0)=-，即该切线的斜率k=-.因为点A(1，0)，P在切线上，所以=-，解得x0=，故切线的斜率k=-4，故曲线过点(1，0)的切线方程为y=-4(x-1)，即4x+y-4=0. (2)求满足斜率为-的曲线的切线方程. 解:设斜率为-的切线的切点为Q， 由(1)，知k=f'(a)=-=-，得a=±， 所以切点坐标为或.故满足斜率为-的曲线的切线方程为y-=-(x-)或y+=-(x+)，即x+3y-2=0或x+3y+2=0. 题型(三)　导函数的实际意义 03 [例4]　对一名工人的研究表明，工作t h后生产出的产品量Q(单位:t)可以近似表示为Q=Q(t)=-t3+15t2+12t，该工人每天工作8 h. (1)求当t从2 h变到4 h时，该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； 解:由题意可知，==74， 它表示该工人在2 h到4 h时间段内， 平均每小时生产产品量为74 t. (2)求Q'(2)，Q'(4)，并解释它们的实际意义. 解:由题意可得Q'(t)=-3t2+30t+12，所以Q'(2)=-12+60+12=60，Q'(4)=-48+120+12=84.Q'(2)=60表示在2 h时刻，工人的生产速度为每小时生产出的产品量为60 t，Q'(4)=84表示在4 h时刻，工人的生产速度为每小时生产出的产品量为84 t. |思|维|建|模| 　　函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 针对训练 4.建造一栋占地面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y=f(x)=++0.3，求f'(100)，并解释它的实际意义. 解:根据导数的定义，得f'(100)== == ==+=0.105. f'(100)=0.105表示当建筑房屋占地面积为100 m2时， 成本增加的速度为1 050元/m2. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数f(x)=的图象如图所示，则下列大小关系正确的是(　　) A.f'(-2)<f'(-1)<f'(1) B.f'(-1)<f'(1)<f'(-2) C.f'(1)<f'(-1)<f'(-2) D.f'(1)<f'(-2)<f'(-1) √ 解析:因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，f'(1)< f'(-1)<f'(-2). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若曲线y=h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则 (　　) A.h'(a)=0 B.h'(a)<0 C.h'(a)>0 D.h'(a)不确定 √ 解析:由2x+y+1=0，得y=-2x-1.由导数的几何意义知，h'(a)=-2<0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f(x)满足f'(x1)>0，f'(x2)<0，则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 (　　) 解析:由f'(x1)>0，f'(x2)<0可知，f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正，在x=x2处切线的斜率为负. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为(　　) A.30° B.45° C.135° D.60° √ 解析:∵==1，∴切线的斜率为1，∴倾斜角为45°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为 (　　) A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 √ 解析:设切点为(x0，y0)，因为f'(x)= =(2x+Δx)=2x.由题意可知，切线斜率k=4，即f'(x0)=2x0=4，所以x0=2.所以切点坐标为(2，4)，所以切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　) A.(-∞，-1) B.(-1，1) C.(-∞，1) D.(1，+∞) √ 解析:y=x+上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率k=y'= ==1-<1.即k<1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在x=0处的导数f'(0)>0，函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为(　　) A.2 B. C.3 D. √ 解析:f'(0)==(aΔx+b)=b>0. ∵函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点，即b2-4a=0，∴==+ +1≥2+1=2，当且仅当=，即b=2时等号成立.故的最小值为2.故选A. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知函数y=f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x-y-2=0平行，则y'|x=2=____.  3 解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y'=3. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则=_____.  -2 解析:由导数的概念和几何意义知，=f'(1)=kAB==-2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知函数f(x)=ax2+2bx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y=4x+3，则a=____，b=____.  -3 5 解析:由导数的定义得，函数的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为f'(1)=2a+2b=4.由切线方程为y=4x+3，可得f(1)=a+2b=4+3=7，所以 a=-3，b=5. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为______.  解析:由题意知，当点P到直线y=x-2的距离最小时，点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点，且该切线平行于直线y=x-2.设y=f(x)=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1，解得x=，∴P，故点P到直线y=x-2的最小距离d==. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，Q(2，-1)，且在点Q处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值. 解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1，1)，∴a+b+c=1①. ∵y'== ==(2ax+b+aΔx)=2ax+b， ∴y'|x=2=4a+b，∴4a+b=1②. 又曲线过Q(2，-1)点，∴4a+2b+c=-1③， 联立①②③解得a=3，b=-11，c=9. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)在抛物线y=x2上，哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?哪一点处的切线垂直于这条直线? 解:y'==(2x+Δx)=2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0，则k1=2x0=4，解得x0=2.所以y0==4，即P(2，4).设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0，则k2=2x1= -，解得x1=-.所以y1==，即Q.故抛物线y=x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x-y+1=0，在点处的切线垂直于直线4x-y+1=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y-6=0平行，求a的值. 15 解:设切点为P(x0，y0)，则f'(x0)= =[3+3x0Δx+(Δx)2+2ax0+aΔx-9]=3+2ax0-9=3-9-. ∵斜率最小的切线与直线12x+y-6=0平行， ∴该切线斜率为-12.∴-9-=-12.解得a=±3.又a<0，∴a=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15.(10分)已知曲线y=x2+1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线?若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由. 15 解:∵==2x+Δx，∴y'==(2x+Δx)=2x. 设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k=y'=2x0， 由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0). 又∵切线过点(1，a)，且y0=+1，∴a-(+1)=2x0(1-x0)， 即-2x0+a-1=0.∵切线有两条，∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0，解得a<2. 故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(-∞，2). $$