专题4.2 等差数列（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题4.2 等差数列 教学目标 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 教学重难点 1.重点 （1）等差数列的概念与等差中项； （2）等差数列的通项公式； （3）等差数列的前n项和。 2.难点 （1）累加法求数列通项公式； （2）等差数列的前n项和的性质与特征。 知识点01 等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点02 等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点03 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 知识点04 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 知识点05 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和） 题型01 等差数列的概念 【典例1】．等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 【变式1】．已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 【变式2】．已知数列，均为等差数列，若，，则________． 【变式3】．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知等差数列中，，，则其公差______． 【变式4】．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知数列满足，（），，则______. 题型02 等差数列的通项公式 【典例2】．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·湖南·期中）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．在等差数列中，，公差，，则___________． 【变式4】．在数列中，若，则__________. 题型03 等差中项 【典例3】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知等差数列中，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式1】．（25-26高二上·吉林·期末）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．（25-26高二下·福建福州·期中）在等差数列中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）在等差数列中，，则的值为________. 【变式4】．（25-26高二上·天津·阶段检测）在等差数列中，，则的值为______. 题型04 等差数列的前n项和 【典例4】．（25-26高二下·内蒙古包头·期末）记为等差数列的前项和，若，，则_____________． 【变式1】．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知等差数列的前项和为，公差且，，则________． 【变式2】．设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 【变式3】．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式4】．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知等差数列 中，，，则数列的前 项和（    ） A． B． C． D． 题型05 等差数列中的前n项和性质与最值 【典例5】．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 【变式2】．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）（多选题）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 【变式3】．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）（多选题）已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 【变式4】．（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 题型06 裂项相消求和 【典例6】．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 【变式1】．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）设等差数列满足，. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和的取值范围. 【变式2】．在等差数列中，,， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式3】．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列中，，为其前项和，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 【变式4】．（25-26高二下·陕西商洛·期末）设等差数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：． 题型07 绝对值求和 【典例7】．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【变式1】．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【变式2】．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 【变式3】．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 题型08 综合应用 【典例8】．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上向下数，第一层有1个球，第二层比第一层多2个球，第三层比第二层多3个球，第四层比第三层多4个球，以此类推，设各层球数为，则下列说法正确的是（    ） A．若该“三角垛”共5层，则小球总数为35个 B． C．设，则的前项之和为 D．若该“三角垛”的每个小球半径都为，则当层数为层时，该“三角垛”的高度为 【变式1】25．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知等差数列的公差，为数列的前项和，对给定的且，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当，时， D．当，时， 【变式2】．记正项数列的前项和为，且，，则（    ） A．756 B．720 C．636 D．630 【变式3】．（25-26高二下·江西萍乡·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________. 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）通项公式为（）的等差数列的公差为（     ） A． B． C．1 D．2 2．已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 5．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 7．已知在等差数列中，首项，公差，则通项公式________． 8．（25-26高一下·上海静安·期末）已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 9．（24-25高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列满足则数列的通项公式为____. 10．（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且，则的通项公式__________. 11．若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 12．等差数列中，，则________． 13．已知等差数列的前项和为，若，则________． 14．（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中，公差，前项和为.若，则________. 15．设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 16．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 18．（24-25高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 20．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 等差数列 教学目标 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 教学重难点 1.重点 （1）等差数列的概念与等差中项； （2）等差数列的通项公式； （3）等差数列的前n项和。 2.难点 （1）累加法求数列通项公式； （2）等差数列的前n项和的性质与特征。 知识点01 等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 知识点02 等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 知识点03 等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 知识点04 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 知识点05 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和） 题型01 等差数列的概念 【典例1】．等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】因为为等差数列，且， 所以由下标和性质有，即，解得. 【变式1】．已知等差数列，，，则（   ） A．13 B．15 C．17 D．18 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，解得. 【变式2】．已知数列，均为等差数列，若，，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】直接由等差数列的性质计算可得. 【详解】因为数列，均为等差数列，由等差数列的性质得数列也为等差数列， 所以为，的等差中项，所以， 所以． 【变式3】．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知等差数列中，，，则其公差______． 【答案】4 【难度】0.95 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】． 【变式4】．（25-26高二上·浙江衢州·期末）已知数列满足，（），，则______. 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据数列的周期性求解. 【详解】由可得， 两式相减得，即 所以是周期为2的周期数列. 因为，所以，因为为偶数，所以， 故答案为：. 题型02 等差数列的通项公式 【典例2】．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 【变式1】．（25-26高三上·四川绵阳·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 【变式2】．（24-25高二下·湖南·期中）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据已知条件构造等差数列，再结合通项公式计算求解. 【详解】因为，左右同乘，所以， 为首项是1，公差为3的等差数列，所以， 所以， 故选:C. 【变式3】．在等差数列中，，公差，，则___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】利用已知求得等差数列的通项公式，进而求得. 【详解】因为等差数列中，，公差， 所以数列的通项公式， 又，所以，解得. 故答案为：. 【变式4】．在数列中，若，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由题设可得，进而得到数列是以3为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可. 【详解】由，得，而， 则数列是以3为首项，1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 题型03 等差中项 【典例3】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知等差数列中，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【难度】0.86 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【详解】由题意可得：， 根据等差数列的基本性质得：， 因此，同理可得， 因此：. 【变式1】．（25-26高二上·吉林·期末）在等差数列中，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】由等差数列的等差中项求得结果. 【详解】在等差数列中，，解得. 故选：C. 【变式2】．（25-26高二下·福建福州·期中）在等差数列中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等差中项的应用 【分析】根据等差中项的性质，结合充分不必要条件的判定判断即可． 【详解】解：等差数列中，若，则， 等差数列中，当公差，，可以为任意正整数， 综上，“”是“”的充分不必要条件． 【变式3】．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）在等差数列中，，则的值为________. 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的下标和性质可求得的值，再根据即可计算出最后结果. 【详解】由题意得，结合等差数列的性质可知， 可得，即， 则. 故答案为：12 【变式4】．（25-26高二上·天津·阶段检测）在等差数列中，，则的值为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的等差中项性质运算即可. 【详解】因为在等差数列中，若，则， 且等差中项，所以， 得到，故. 故答案为： 题型04 等差数列的前n项和 【典例4】．（25-26高二下·内蒙古包头·期末）记为等差数列的前项和，若，，则_____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】先通过等差数列通项公式求出公差，再代入前项和公式计算. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，又，所以，解得， 所以. 【变式1】．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知等差数列的前项和为，公差且，，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由等差数列的性质进行求解． 【详解】依题意得，，解得． 【变式2】．设是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A．2023 B．776 C．108 D．388 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】因为数列是等差数列， 所以，即， 因为，，所以， 由等差中项可知， 所以. 【变式3】．已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【详解】因为，即，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 【变式4】．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）已知等差数列 中，，，则数列的前 项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【详解】设等差数列 的公差为． 由得，所以． 于是， ． 题型05 等差数列中的前n项和性质与最值 【典例5】．已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列前n项和的其他性质及应用 【详解】因为，不妨设，，其中， 所以 【变式1】．（26-27高三上·广西河池·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．2729 B．2730 C．2731 D．2732 【答案】B 【难度】0.8 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. 【变式2】．（26-27高三上·广东肇庆·开学考试）（多选题）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 【答案】BC 【难度】0.7 【知识点】判断数列的增减性、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 【变式3】．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）（多选题）已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时，取得最小值 D． 【答案】BC 【难度】0.75 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【详解】，， ，，故A错误，B正确； 等差数列的前项小于零，第5项开始大于零， 故当时，取得最小值，C正确； ，故D错误． 【变式4】．（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【难度】0.76 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前项和的性质求解. 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 题型06 裂项相消求和 【典例6】．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. （2）略 【变式1】．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）设等差数列满足，. (1)求的通项公式. (2)设，求数列的前项和的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）由等差数列，先将化为基本量，的形式，求出和，从而求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再根据函数的单调性求出的取值范围. 【详解】（1）由数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 解得，所以的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以， 易知，当时，单调递减，所以单调递增，因此，当时，取最小值，即， 当时，，，所以的取值范围为. 【变式2】．在等差数列中，,， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则, , 所以解得,. 所以． （2）， 所以, . 【变式3】．（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知等差数列中，，为其前项和，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）第一问根据等差数列通项公式和等差数列前项和公式，将和转化为关于和的方程；联立求解得到和，进而得到的通项公式. （2）将求得的代入的表达式，使用裂项相消法求. 【详解】（1）设等差数列公差为，①， ②． 联立①，②解得，，的通项公式． （2）， ． 【变式4】．（25-26高二下·陕西商洛·期末）设等差数列的前项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.76 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可. （2）根据裂项相消法证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以． 又，所以公差， 所以． （2）由（1）知， 所以     ． 题型07 绝对值求和 【典例7】．（25-26高二下·陕西汉中·期中）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式及前n项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)， (2)106 【难度】0.74 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . （2）因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 【变式1】．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 【变式2】．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.6 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，进而根据已知条件列方程求解即可； （2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解即可； （3）结合（1）得，进而根据每项的符号进行讨论求解即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，化简得，解得， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，得， 所以 ． 所以的前n项和． （3）由（1）知，得 令，解得 ①当时，，故， 此时是首项为9，公差为的等差数列， 得到， ②当时，，故， 先求前五项和， 从第6项起，是首项，公差为2的等差数列，项数为， ， 综上所述，的前n项和． 【变式3】．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)（） 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . （2）由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 题型08 综合应用 【典例8】．（25-26高二下·广东揭阳·期末）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”从上向下数，第一层有1个球，第二层比第一层多2个球，第三层比第二层多3个球，第四层比第三层多4个球，以此类推，设各层球数为，则下列说法正确的是（    ） A．若该“三角垛”共5层，则小球总数为35个 B． C．设，则的前项之和为 D．若该“三角垛”的每个小球半径都为，则当层数为层时，该“三角垛”的高度为 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】累加法求数列通项、等差数列的简单应用、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、正棱锥及其有关计算 【分析】根据题意列举出前5项求和判断A，由题意及等差数列的前n项和公式求判断B，由题设得相邻两项之和，再应用累加及等差数列的前n项和公式判断C，根据已知上层的一个球恰好落在下层三个相邻球构成的凹槽中，且球心构成一个棱长为的正四面体，求出该四面体的高，结合100层的特征求总高度判断D. 【详解】A：由题意，各层球数为，，，，， 若共5层，小球总数个，正确， B：由题意，第层的球数为前个正整数的和，即，正确， C：由，则，，，，， 相邻两项之和，， 则 ，显然与不相等，错误， D：每增加一层，上层的一个球恰好落在下层三个相邻球构成的凹槽中，四个球的球心构成一个棱长为的正四面体， 正四面体的高为， 则第一层球的球心到第层球心间的距离为， 故该“三角垛”的总高度为，正确. 【变式1】25．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）（多选题）已知等差数列的公差，为数列的前项和，对给定的且，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当，时， D．当，时， 【答案】BD 【难度】0.42 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题. 【详解】对于A，当时， ， 因为 ，，所以 ， 又因为，， 所以 ，故A错误； 对于B，当时， ， 若，则 ， 若，则 ，故B正确； 对于C，当时，， 若，则，因为，与题目条件矛盾， 若，则，，，故C错误； 对于D，当时， ， 又因为 ，代入可得： ，， 所以 ，解得，故D正确. 【变式2】．记正项数列的前项和为，且，，则（    ） A．756 B．720 C．636 D．630 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由得及，得到数列从第二项起成等差数列，且公差为，再结合求出的值，利用等差数列前项和公式计算即可. 【详解】因为， ∴① 时，，即 时，② ①-②得，即， 所以数列从第二项起成等差数列，且公差为，且， 又，， ， 解得或（负值，舍去），， 所以数列的首项为，从第二项起成等差数列，且公差为. 所以. 【变式3】．（25-26高二下·江西萍乡·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.已知等差数列是“数列”，首项，公差，记，若数列的前项和，则正整数的最小值为________. 【答案】5 【难度】0.38 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、数列新定义、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】根据“数列”定义得到存在正整数，使得即可求出公差；将代入后利用裂项相消法求得，解不等式得到结果. 【详解】等差数列的通项公式，前n项和公式， 因为等差数列是“数列”，根据“数列”定义，当时，存在正整数，使得， 即，整理得； 因为，为正整数，所以仅当时满足条件，因此； 所以， 因此数列的前项和 ， 令，则，所以； 所以正整数的最小值为5. 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）通项公式为（）的等差数列的公差为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【详解】公差为. 2．已知数列的递推公式为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】利用特征方程可得，根据条件求出即可，或构造常数列，再利用等差数列求通项公式. 【详解】法1：特征方程为，解得. 设通项为，代入，得，解得， 故. 法2：因为，所以， 因为，，所以数列是以为首项的常数列， 则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，则. 3．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 4．在等差数列中，若，则（    ） A． B．8 C．16 D．24 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列性质以及等差中项的应用计算可得结果. 【详解】依题意可得，因此； 又，可得； 因为，所以. 故选：B 5．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 6．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 7．已知在等差数列中，首项，公差，则通项公式________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】直接代入等差数列的通项公式即得. 【详解】由等差数列的通项公式，可得． 8．（25-26高一下·上海静安·期末）已知正项数列，其前项和为，且( )．则数列的通项公式为 ______． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【详解】当时，，因此， 则，则， 同时，当时，， 因此， 所以， 而因为，所以， 即， 所以是首项，公差的等差数列， 因此， 当时，满足条件， 因此数列的通项公式为. 9．（24-25高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列满足则数列的通项公式为____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由递推关系变形，可转化为为等差数列，据此可求出通项公式. 【详解】， ，即， 解得， 由题意知，，故由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， ， 故 故答案为： 10．（2025·北京房山·一模）已知是等差数列，且，则的通项公式__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的基本量运算求出，代入通项即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由， 因代入解得， 故. 故答案为：. 11．若等差数列中的，是方程的两个根，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【详解】由题意得. 由等差数列的性质可知： ，，…，，， 所以. 12．等差数列中，，则________． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】由等差中项的概念即可求解. 【详解】因为， 则． 故答案为：3 13．已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的性质计算即得． 【详解】由题意，得，. 所以 14．（25-26高二下·四川成都·期末）在等差数列中，公差，前项和为.若，则________. 【答案】14 【难度】0.78 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 所以. 15．设等差数列的公差为，前项和为， (1)若，，求； (2)若，求； (3)若，求． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.82 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】（1），， ， ； （2）由题意得：，，解得，， ，即； （3）， ，， ， ， ， ，又， . 16．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题得，利用分组求和以及等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意得：， 所以. 17．（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列结论正确的有（     ） A．， B．当时，最小 C．使得成立的最小自然数 D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】由题设不等式作差可得公差，数列递增，且，所以前14项为负，从15项起为正，由且可推出即可判断A选项；前14项均为负,15项后均为正，结合数列递增可判断B选项；计算，，据此判断满足的最小，从而判断C选项； 将等价化简为，而该式已知成立，即可判断D选项． 【详解】由得由得 故，因此公差， 由得 对于A选项：由于，且，所以，所以A错误； 对于B选项：因为，所以此数列为递增数列， 又，所以前项均为负数，15项以后均为正数， 所以当时，最小，所以B正确； 对于C选项：，而，故， 又，因为，所以， 又数列为递增数列，所以使的最小自然数为，所以C正确； 对于D选项：， 因为，所以；因为 ，所以， 所以，， 要证，即 而由，得，所以D正确. 18．（24-25高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】取倒数，再结合等差数列求和公式结合累加法得出通项，最后裂项相消求和． 【详解】数列满足， 可得，， ， 所以， ， 所以， 所以， 可得数列的前2025项和:． 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且满足，. (1)求的通项公式； (2)求的最大值； (3)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)100 (3) 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列通项公式及前项和公式列方程组求解即可； （2）根据等差数列的性质求最值即可； （3）利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，解得， 所以； （2）令，得. 所以当时，；当时，， 所以的最大值为； （3）由题知. 所以. ． 20．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前10项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.74 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和公式，将等式转化为方程组即可求解； （2）通过分析等差数列的通项公式，化简绝对值，结合等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则根据题目条件有， 解得，， 因此数列的通项公式为. （2）当时，，因此当时，，当时，， 设为数列的前项和， 则， 因为， 故. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $