3.3.2 第1课时 抛物线的几何性质(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

3.3.2 抛物线的几何性质 抛物线的几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 了解抛物线的简单几何性质.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.四种抛物线形式的特征 类型 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 焦点 准线 x=- x= y=- y= 范围 ______， y∈R ______， y∈R x∈R， _______ x∈R， _______ 对称轴 x轴 y轴 顶点 _______ 离心率 e=1 开口方向 _____ _____ _____ _______ x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 (0，0) 向右 向左 向上 向下 续表 |微|点|助|解| 　　抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 (1)它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； (2)顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点. 2.抛物线的焦点弦、通径 设抛物线的焦点在x轴上，则抛物线的焦点弦即为过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦，弦长公式为AB=__________，在所有的焦点弦中以垂直于对称轴的焦点弦弦长最短，称为抛物线的通径长，其公式为A0B0=2p. x1+x2+p |微|点|助|解| 如图，M1M2叫作抛物线的通径，长度是2p，这是常数2p的又一几何意义，所以p越大，通径越大，即抛物线的开口越大.反之，p越小，通径越小，抛物线的开口越小. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线没有渐近线.(　　) (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(　　) (3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.(　　) (4)抛物线y2=2px(p>0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是 [0，+∞). (　　) √ √ × × 2.抛物线x=8y2的通径长为 (　　) A.8 B.4 C. D. 解析：抛物线x=8y2，即y2=x，可得2p=，因此通径长为. √ 3.抛物线C与抛物线x2=4y关于x轴对称，则抛物线C的准线方程是 (　　) A.y=-1 B.y=-2 C.y=1 D.y=2 解析：∵抛物线C与抛物线x2=4y关于x轴对称，∴抛物线C的方程为x2=-4y， ∴抛物线C的准线方程是y=1. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　由抛物线的性质求其标准方程 [例1]　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解：椭圆的方程可化为+=1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即=3， ∴p=6，∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x， 其准线方程分别为x=-3和x=3. |思|维|建|模| 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 针对训练 1.(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，-3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； 解：因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M(m，-3)位于第三或第四象限，故可确定所求抛物线的开口向下. 设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0)，则焦点为F. 因为M(m，-3)在抛物线上且MF=5， 故解得 故m=±2，抛物线方程为x2=-8y，准线方程为y=2. (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程. 解：由题意，可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0)，则焦点为F，直线l：x=，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为，所以AB=2|a|.因为△OAB的面积为4，所以··2|a|=4，所以a=±2.故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x. 题型(二)　与抛物线有关的实际应用问题 [例2]　南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为4 cm，往杯盏里面放入一个半径为r cm的小球，要使小球能触及杯盏的底部(顶点)，则r最大值为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意可得A的坐标为，设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)，则=8p，解得p=，故该抛物线的标准方程为x2=y. 设小球大圆圆周方程为x2+(y-r)2=r2，联立方程组解得y=0或y=2r-，要使小球能触及杯盏的底部(顶点)，则小球与杯子有且只有一个交点，就是抛物线的顶点，所以y=2r-=0或y=2r-无效，考虑到抛物线不可能在x轴下方，所以y<0不成立，即y=2r-<0，所以2r-≤0，解得r≤，所以r的最大值为. |思|维|建|模| 解决抛物线实际问题的步骤 (1)建立平面直角坐标系； (2)设出合适的抛物线方程； (3)经过计算求出抛物线的方程； (4)求出需要的量； (5)还原实际问题，从而解决问题. 针对训练 2.一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，如图所示.已知行车道总宽度AB=6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为 (　　) A.2.25 m B.2.5 m C.3.25 m D.3.5 m √ 解析：如图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则C(4，-4)，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p=2，∴抛物线方程为x2=-4y. ∵行车道总宽度AB=6 m， ∴将x=3代入抛物线方程，解得y=-2.25， ∴车辆通过隧道的限制高度为6-2.25-0.5=3.25 m. [例3]　已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若AF+BF=4，求l的方程； 题型(三)　抛物线性质的综合应用 解：设直线l：y=x+t，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由题设，得F，故AF+BF=x1+x2+.又AF+BF=4， 所以x1+x2=.由得9x2+12(t-1)x+4t2=0， 则x1+x2=-.从而-=，解得t=-.所以l的方程为y=x-. (2)若=3，求AB. 解：由=3，得y1=-3y2. 由得y2-2y+2t=0，所以y1+y2=2， 从而-3y2+y2=2，故y2=-1，y1=3. 代入C的方程，得x1=3，x2=.故AB=. |思|维|建|模| 应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便. (2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系. (3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化. (4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值. 3.在平面直角坐标系xOy中，直线l经过抛物线E：y2=12x的焦点F，且与E相交于A，B两点，直线OB交E的准线于点C. (1)若AB=15，求直线l的方程； 针对训练 解：抛物线E：y2=12x的焦点为F(3，0)，准线方程为x=-3， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，得AB=AF+BF=x1+3+x2+3=x1+x2+6=15， 所以x1+x2=9，当直线l的斜率不存在时，x1+x2=6，不符合要求， 故直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x-3)，联立方程y2=12x，得k2x2-(6k2+12)x+9k2=0，则x1+x2==9，解得k=±2， 所以直线l的方程为2x-y-6=0或2x+y-6=0. (2)证明：直线AC平行于x轴. 解：证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线OB的方程为y=x=x， 令x=-3，可得yC=-，设直线l的方程为x=my+3，代入方程y2=12x， 得y2-12my-36=0，所以y1y2=-36，所以y1=-=yC，所以直线AC平行于x轴. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1+x2=3p，则PQ= (　　) A.4p B.5p C.6p D.8p √ 解析：因为PQ过焦点，所以PQ=x1+x2+p=4p. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若抛物线y2=2mx(m≠0)的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合，则m的值为 (　　) A.-2 B.2 C.-4 D.4 √ 解析：由抛物线方程y2=2mx可知其焦点为，将圆的方程变形为(x-2)2+y2=4可知其圆心为(2，0)，根据题意可得=2，所以m=4.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.[多选]以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为 (　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=4y √ √ 解析：设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0)，依题意将x=代入y2=2px或将x=-代入y2=-2px，得|y|=p， ∴2|y|=2p=8，p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径AB为2 m，灶深CD为0.5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为(　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 A.3 m B.2 m C.1.5 m D.1 m 解析：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，由题意可知A(0.5，)， B(0.5，-)在抛物线上，故p=2， 因此焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，O为坐标原点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，OF=，∴+=6，∴p=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知抛物线C：y2=4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α=45°时，如图所示的“蝴蝶形”图案(阴影区域)的面积为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.32 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意知F(1，0)，直线AC的倾斜角α=45°，则直线AC的方程为y=x-1，联立y2=4x，消去y可得x2-6x+1=0，解得x=3±2，xA=3+2，xC=3-2.由抛物线的定义可得AF=xA+1=4+2，CF=xC+1=4-2，根据抛物线的对称性，结合AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，可知DF=AF=4+2，BF=CF=4-2， 故S△AFB=AF×BF=(4+2)(4-2)=4，故“蝴蝶形”图案的面积为2×4=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知F(2，0)是抛物线C：y2=2px的焦点，A(4，4)，P是C上的任意一点，则(　　) A.PF的最小值是2 B.以P为圆心且过F的圆与C的准线相切 C.PF的中点轨迹方程为y2=4x-4 D.使△PFA面积为5的点P有4个 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：抛物线C：y2=2px的焦点F(2，0)，则抛物线C的方程为y2=8x. 对于A，设P(x0，y0)且x0≥0，则PF== ≥2，当且仅当x0=0时取等号，A正确； 对于B，点P到抛物线C的准线的距离等于PF， 因此以P为圆心且过F的圆与C的准线相切，B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 对于C，设线段PF的中点坐标为(x，y)，则点P(2x-2，2y)在抛物线C上，即(2y)2=8(2x-2)，整理得y2=4x-4，因此PF的中点轨迹方程为y2=4x-4，C正确；对于D，FA==2，当△PFA的面积为5时，点P到直线FA的距离h==，直线FA的斜率k==2，设与直线FA平行，且距离为的直线方程为y=2x+m(m≠-4)，于是=，解得m=1或m=-9.当m=1时，把y=2x+1与y2=8x联立，消去y得4x2-4x+1=0，Δ=(-4)2-4×4×1=0，即直线y=2x+1与抛物线相切，该直线上有且只有1点(切点)符合题意，而直线y=2x-9上最多两点符合题意，因此抛物线上最多有3点符合题意，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的 光线l1从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物 线上的点A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另 一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下 列结论正确的是(　　) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 A.x1x2=1 B.点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上 C.若直线l2与直线x=-1相交于点D，则A，O，D三点共线 D.直线l1与l2间的距离最小值为4 √ √ √ 解析：由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(1，0)，设直线AB的方程为x=ty+1，将直线AB的方程代入y2=4x中，得y2-4ty-4=0，由根与系数的关系得y1y2=-4，y1+y2=4t，所以x1x2=·=1，故A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 若点A(x1，y1)关于x轴的对称点在直线l2上，则y1=-y2，所以|y1|=|y2|=2，即|n|=2，不一定成立，故B错误；因为直线l2与x=-1相交于点D(-1，y2)，所以直线OD的斜率为kOD=-y2.又直线OA的斜率为kOA====-y2，所以kOD=kOA，所以A，O，D三点共线，故C正确；直线l1与l2间的距离d=|y1-y2|==≥4， 当t=0时，d取最小值4，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则p=________，B到该抛物线准线的距离为__________.  解析：由已知得B，把点B坐标代入y2=2px得1=2p·，∴p2=2，∴p=，∴B，故d=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线-=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=　　　.  解析：抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y=-. 将y=-代入-=1得|x|=. 要使△ABF为等边三角形，则tan===， 化简得p2=36，又p>0，所以p=6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P为抛物线C上一点，若PF=4，则△POF的面积为___________.  解析：由y2=4x知焦点为F(，0)，准线为x=-. 设P点坐标为(x0，y0)， 则x0+=4，∴x0=3. ∴=4×3=24， ∴|y0|=2，∴S△POF=××2=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若BC=2BF，且AF=3，求此抛物线的标准方程. 解：如图，过A，B分别作准线的垂线AA'，BD，垂足分别为A'，D，则BF=BD， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又2BF=BC， ∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°. 又AF=3，∴AA'=3， ∴AC=6，FC=3.∴F到准线的距离p=FC=. ∴抛物线的标准方程为y2=3x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(5分) 解：抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x轴，x≥0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰△OAB，OA=OB，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.(10分) 解：如图所示，由OA=OB可知AB⊥x轴，设垂足为点 M，又焦点F是△OAB的重心，则OF=OM. 因为F(2，0)，所以OM=OF=3，所以M(3，0). 故设A(3，m)，代入y2=8x得m2=24， 所以m=2或m=-2，所以A(3，2)，B(3，-2)， 所以OA=OB=，AB=4，所以△OAB的周长为2+4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知抛物线E：y2=2px(p>0)与双曲线-=1的渐近线在第一象限的交点为Q，且点Q的横坐标为6. (1)求抛物线E的方程；(5分) 解：设点Q的坐标为(6，y0)，因为点Q在第一象限，所以y0>0， 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以y0=4，所以点Q的坐标为(6，4).又点Q(6，4)在抛物线y2=2px上，所以48=2p×6，所以p=4，故抛物线的标准方程为y2=8x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)过点M(-3，0)的直线l与抛物线E相交于A，B两点，B关于x轴的对称点为B'，证明：直线AB'必过定点.(10分) 解：证明：设直线AB的方程为x=my-3， 联立y2=8x，消去x得，y2-8my+24=0， 判别式Δ=64m2-96>0，即2m2-3>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=8m，y1y2=24， B关于x轴的对称点为B'(x2，-y2)， 所以直线AB'的方程为y+y2=(x-x2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上， 令y=0得x=y2×+x2== ===3. 所以直线AB'过定点(3，0). $$