3.2.2 第1课时 双曲线的几何性质(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

3.2.2 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.掌握双曲线的几何性质(范围、焦点、渐近线、离心率等). 2.能用双曲线的性质求标准方程.会求双曲线的离心率、渐近线等. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.双曲线的几何性质 标准方程 -=1 (a>0，b>0) -=1 (a>0，b>0) 图形 范围 ________________ ________________ 对称性 对称轴：_________　对称中心：________ 顶点 _________，________ _________ ，________ 实轴和 虚轴 实轴：线段A1A2，长：____ 虚轴：线段B1B2，长：______ 实半轴长：______，虚半轴长：_____ x≥a或x≤-a y≥a或y≤-a 坐标轴 原点 A1(-a，0) A1(0，-a) 2a 2b a b 续表 A2(a，0) A2(0，a) 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 F1F2=2c 渐近线 y=________ y=_________ 离心率 e=____，e∈__________ ±x ±x (1，+∞) 续表 2.等轴双曲线 实轴和虚轴_________的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是_________，离心率e=_____. 等长 y=±x |微|点|助|解| (1)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (2)焦点到渐近线的距离为b. (3)双曲线上的点到焦点的距离最小值：同侧时最小值为c-a，异侧时最小值为c+a. (4)为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程-=1(a>0，b>0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到双曲线渐近线的方程±=0. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线-=1与-=1(a>0，b>0)的形状相同.(　　) (2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.(　　) (3)双曲线-=1的渐近线方程是3x±2y=0.(　　) √ √ × 2.[多选]已知双曲线C：-=1，则下列选项正确的是(　　) A.C的焦点坐标为(±4，0) B.C的顶点坐标为(0，±3) C.C的离心率为 D.C的虚轴长为2 √ √ √ 解析：因为a2=9，b2=7，所以a=3，b=，c==4.因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0，±4)，故A错误；顶点为(0，±3)，故B正确；离心率为，故C正确；虚轴长为2，故D正确. 3.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线Ci(i=1，2，3，4)，其离心率分别为ei.则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是 (　　) A.e2<e1<e4<e3 B.e1<e2<e3<e4 C.e2<e1<e3<e4 D.e1<e2<e4<e3 √ 解析：根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在(0，1)之间，则e3，e4都大于e1，e2，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故e2<e1，根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故e4>e3，综上e2<e1<e3<e4，故选C. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　由双曲线的方程研究其几何性质 [例1]　求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 解：将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1，即-=1，∴a=3，b=2，c=.因此顶点坐标为A1(-3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)，实轴长2a=6，虚轴长2b=4，离心率e==，渐近线方程为y=±x=±x. 将本例中双曲线方程换为“nx2-my2=mn(m>0，n>0)”，结论不变，如何求解? 变式拓展 解：把方程nx2-my2=mn(m>0，n>0)化为标准方程为-=1(m>0，n>0)， 由此可知，a=，b=，c=， 焦点坐标为(，0)，(-，0)， 离心率e===， 顶点坐标为(-，0)，(，0)， 实轴长为2a=2，虚轴长为2b=2. 所以渐近线方程为y=± x，即y=±x. |思|维|建|模| 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 针对训练 1.[多选]已知双曲线方程为x2-8y2=32，则 (　　) A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.焦距为6 D.离心率为 解析：双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为-=1，得a=4，b=2，c=6，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为，故选ABD. √ √ √ 题型(二)　由双曲线的几何性质求其标准方程 [例2]　分别求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为； 解：依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c=13，又=，∴a=5，b==12，故其标准方程为-=1. (2)渐近线方程为y=±x，且经过点A(2，-3). 解：法一　∵双曲线的渐近线方程为y=±x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则=　①.∵A(2，-3)在双曲线上，∴-=1　②.联立①②，无解. 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则=　 ③. ∵A(2，-3)在双曲线上，∴-=1　④. 联立③④，解得a2=8，b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 法二　由双曲线的渐近线方程为y=±x，可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0)， ∵A(2，-3)在双曲线上，∴-(-3)2=λ，即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. |思|维|建|模| 求双曲线的标准方程的方法 (1)根据双曲线的几何性质求标准方程，一般是先定型(焦点在哪个轴上)，再定量(确定a2，b2的值). (2)巧设双曲线方程 ①如果已知双曲线的方程为标准形式，但是不知焦点所处的位置，可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m，n同号)，然后由条件求m，n. ②与双曲线-=1具有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0)，再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程. 针对训练 2.已知双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆+=1的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 解析：因为椭圆+=1的焦点在y轴上，离心率e=，所以所求双曲线的焦点也在y轴上，离心率e=2， 即=2，所以c2=4a2，又因为双曲线的虚轴长为4， 即2b=4，所以b=2， 即c2-a2=3a2=4，所以a2=，所以所求双曲线的方程为-=1. 3.已知双曲线的一个焦点为(，0)，渐近线方程为x±y=0，则该双曲线的标准方程为(　　) A.-x2=1 B.y2-=1 C.x2-=1 D.-y2=1 解析：由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c==，再由c2=a2+b2，解得a2=2，b2=1，该双曲线的标准方程为-y2=1，故选D. √ [例3]　(1)已知双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为(　　) A.2 B. C. D.- 题型(三)　求双曲线的离心率 √ 解析：∵双曲线-=1(a>b>0)的渐近线方程为y=±x，∴由双曲线-=1(a>b>0)两条渐近线的夹角为，可得=tan =. ∴双曲线的离心率为e===. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若F1A=13，AB=10，则C的离心率为_____________.  解析：法一　由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x=c代入-=1得y=±， 即A，B， 故AB==10，AF2==5， 又AF1-AF2=2a，得AF1=AF2+2a=5+2a=13，解得a=4，代入=5，得b2=20，故c2=a2+b2=36，即c=6，所以e===. 法二　由题意，得AF2=BF2=5，F1A=13，则F1F2=2c==12，则c=6.又当x=c时，-=1，c2=a2+b2，则|y|=，所以AB=2|y|==10，则===5，解得a=4，所以e==. |思|维|建|模|　求双曲线离心率的常用方法 直接法 已知a，c可直接利用e=求解，已知a，b(或已知渐近线方程)可利用e=求解 方程法 若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2=c2-a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e=，转化为关于e的方程求解 4.过双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A.若∠AFO=2∠AOF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D.或2 针对训练 √ 解析：在Rt△OAF中，因为∠AFO=2∠AOF，所以∠AOF=30°，则tan 30°==，所以e====，故选B. 5.双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于点P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　) A.-1 B. C.±1 D.+1 √ 解析：由题意得F1F2=PF2，-=1(a>0，b>0)中，令x=c得-=1，解得y=±，故PF2=，因为F1F2=2c，所以=2c，结合b2=c2-a2可得c2-2ac-a2=0，方程两边同时除以a2，得e2-2e-1=0，解得e=1±，负值舍去，故离心率为+1. 6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥=-，则C的离心率为___________.  解析：法一　由题意可知，F1(-c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)， B(0，y0)，所以=(x1-c，y1)，=(-c，y0)，因为=-， 所以即 所以A==(c，y0)，因为⊥，所以·=0，即c2-=0，解得=4c2. 因为点A在双曲线C上，所以-=1，又=4c2， 所以-=1，即-=1，化简得=， 所以e2=1+=，所以e=. 法二　由=-，得=，设||=2t，||=3t，由对称性可得||=3t，则||=2t+2a，||=5t，设∠F1AF2=θ，则sin θ==，所以cos θ==，解得t=a，所以||=2t+2a=4a， ||=2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得 cos θ==，即5c2=9a2，则e=. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.双曲线-=1的左焦点与右顶点之间的距离等于(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 √ 解析：由已知得左焦点的坐标为(-5，0)，右顶点的坐标为(3，0)， 所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是 (　　) A.x2-y2=8 B.x2-y2=4 C.y2-x2=8 D.y2-x2=4 √ 解析：令y=0，得x=-4，∴等轴双曲线的一个焦点为(-4，0)，∴c=4，a2=b2=c2=×16=8，即双曲线方程为x2-y2=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.[多选]若P是双曲线C：-=1上一点，C的一个焦点坐标为F(4，0)，则下列结论正确的是(　　) A.m=2 B.渐近线方程为y=±x C.PF的最小值是2 D.焦点到渐近线的距离是2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：依题意可知4+m=16⇒m=12，所以A错误.因为双曲线的方程为-=1，所以渐近线的方程为y=±x，(PF)min=c-a=2，渐近线方程为x±y=0，焦点到渐近线的距离是d==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点.若=，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.3x±2y=0 B.2x±3y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设双曲线C的半焦距为c(c>0).由题可知F1F2=2c，PF1-PF2=2a，则==，所以==，所以=，所以C的渐近线方程为x±2y=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知椭圆C1：+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2：-y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为椭圆C1，双曲线C2的离心率，则(　　) A.0<m<1 B.e1> C.m>n D.当n=1时，m=3 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为椭圆C1，双曲线C2的焦点相同，所以m>1，m2-1=n2+1，所以m2=n2+2，所以m>n，当n=1时，m=，故A、D错误，C正确.因为(e1e2)2=·=·==1+>1，所以e1>，故B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知双曲线C：-=-1的焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是(　　) A.渐近线方程为3x±4y=0 B.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数 C.若双曲线C上一点P满足PF1=2PF2，则△PF1F2的周长为28 D.若从双曲线C的左、右支上任取一点，则这两点的最短距离为6 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可得C：-=1，故渐近线为3y=±4x，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为e1==，e2==，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知|PF1-PF2|=2×3=6，若PF1=2PF2，则PF1-PF2=PF2=6，PF1=12，又F1F2=2×=10，故△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=6+12+10=28，故C正确；由双曲线的图象可知左、右两支上距离最近的两点为左、右顶点，即最短距离为6，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则AB=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据双曲线的离心率e==，得c=a，即c2=5a2，即a2+b2=5a2，所以b2=4a2，=4，所以双曲线的渐近线方程为y=±2x，易知渐近线y=2x与圆相交. 法一　由得5x2-16x+12=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=.所以AB=|x1-x2|==，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　因为圆心(2，3)到渐近线y=2x的距离d==，所以AB=2=2=，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则实数a的值为__________.  解析：双曲线-=1，则a>0，所以双曲线的焦点在x轴上， 所以4-a2=a+2，又a>0，所以解得a=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为　　　　　　　　.  解析：∵=，∴==，∴=，∴=，∴=.又∵双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y=±x. y=±x 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知点B1，B2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)虚轴的两个端点，过B1且垂直于y轴的直线与双曲线交于P，Q两点，若△PQB2为正三角形，则该双曲线的离心率e为__________.  解析：如图所示，依题意Q点纵坐标为b， 把y=b代入双曲线方程可得x=±a， 所以点Q的坐标为(a，b)， 又Rt△B2B1Q中，tan∠B1B2Q===， 则=，e===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，若P是两条曲线的一个交点，且cos ∠F1PF2=，则+的值为__________.  解析：由题知，不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0)，双曲线的方程为-=1(m>0，n>0)，F1F2=2c.不妨设P是两条曲线在第一象限内的一个交点，F1，F2分别为左、右焦点， 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则有PF1+PF2=2a，PF1-PF2=2m，e1=，e2=，所以PF1=a+m，PF2=a-m.在△F1PF2中，由余弦定理知cos ∠F1PF2= ===， 整理得a2+5m2=6c2，即+=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求中心在原点，适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)顶点在x轴上，两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)；(5分) 解：设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，因为两顶点间的距离是10，且经过点(10，3)， 则解得 则双曲线方程为-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)一个焦点坐标为(5，0)，一条渐近线方程为3x-4y=0.(5分) 解：因为一个焦点坐标为(5，0)，可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，且c=5，由一条渐近线方程为3x-4y=0，可得y=x，则=. 设a=4k，b=3k，k>0，则c2=a2+b2⇒52=(4k)2+(3k)2，解得k=1， 则a=4，b=3，所以双曲线方程为-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，-1)，点M(3，m)在双曲线上.求： (1)双曲线的方程；(3分) 解：因为e=，所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).因为过点 (3，-1)，所以9-1=λ，即λ=8，所以双曲线的方程为x2-y2=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)·；(6分) 解：由(1)可设F1(-4，0)，F2(4，0)，所以=(-4-3，-m)，=(4-3，-m)，所以·=(-4-3)×(4-3)+m2=2+m2， 因为M点在双曲线上，所以18-m2=8，即m2=10，所以·=12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)△F1MF2的面积.(6分) 解：△F1MF2的底F1F2=8，由(2)知m=±，所以△F1MF2的高h=|m|=，所以=×8×=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知双曲线C：-=1. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；(7分) 解：由题可设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0)， 当λ>0时，方程为-=1，令4λ=得λ=，即双曲线方程为-=1，即-=1.当λ<0时，方程为-=1，令-3λ=得λ=-3，即双曲线方程为-=1.所以双曲线的标准方程为-=1或-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是(4，0)，求PA的最小值.(8分) 解：设P点的坐标为(x0，y0)(x0≥2)，则满足-=1， PA=====，则当x0=时，PA有最小值为. $$