3.2.1 第2课时 双曲线的标准方程的综合应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

双曲线的标准方程的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步掌握双曲线的标准方程及几何性质，并应用它们解决与双曲线有关的应用问题及直线与双曲线的综合问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　判断直线与双曲线的 位置关系 题型(二)　弦长问题 题型(三)　中点弦问题 4 课时检测 题型(一)　判断直线与双曲线的位置关系 01 一般地，设直线方程为y=kx+m(m≠0)，双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，将y=kx+m代入-=1，消去y并化简，得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0，即k=±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点. (2)当b2-a2k2≠0，即k≠±时，判别式Δ>0⇔直线与双曲线相交，有两个公共点；判别式Δ=0⇔直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；判别式Δ<0⇔直线与双曲线相离，没有公共点. [例1]　已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立消去y，得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2≠0，即k≠±1时，Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2). 由得-<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 变式拓展 若本例条件“直线l与双曲线有两个不同的公共点”改为“直线l与双曲线有且只有一个公共点”，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立消去y，得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2≠0，即k≠±1时，Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2). 由得k=±， 此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1-k2=0，即k=±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x=5，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点. 故当k=±或k=±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点. |思|维|建|模| (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 1.直线y=与双曲线-y2=1交点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 针对训练 √ 解析：由题知，双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±x，所以直线l：y=与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 2.(2024·北京高考)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点，则k的一个取值为_______________.  解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y=±x，直线y=k(x-3)过定点(3，0).因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k=±. (答案不唯一) 题型(二)　弦长问题 02 [例2]　已知双曲线C的方程为-y2=1，直线l：y=x-1与双曲线C交于A，B两点，求AB. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 整理得x2+3x-6=0，由Δ=32-4××(-6)=15>0，所以x1+x2=-12，x1x2= -24，即AB=·=· =10. |思|维|建|模| 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： ①AB=|x1-x2|=； ②AB=|y1-y2|=(k≠0). 针对训练 3.设动点P(x，y)与点F(，0)之间的距离和点P到直线l：x=的距离的比值为，记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； 解：由动点P(x，y)与点F(，0)之间的距离和到直线l：x=的距离的比值为，可得=，整理得-=1， 即曲线C的方程为-=1. (2)若O为坐标原点，直线y=x+1交曲线C于A，B两点，求△OAB的面积. 解：联立方程组整理得3x2-4x-24=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1+x2=，x1x2=-8，所以AB=|x1-x2|=×=. 又由点O到直线y=x+1的距离d==，所以△OAB的面积S=AB·d=××=. 题型(三)　中点弦问题 03 [例3]　设A，B为双曲线-=1上的两点，若线段AB的中点为M(1，2)，则直线AB的方程是(　　) A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-y+1=0 D.x-2y+3=0 √ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减，得=， 因为线段AB的中点为M(1，2)，所以x1+x2=2，y1+y2=4，因此由=⇒=1， 即直线AB的斜率为1，方程为y-2=x-1⇒x-y+1=0， 代入双曲线方程中，得y2-4y-14=0， 因为(-4)2-4×1×(-14)>0，所以线段AB存在，故选C. |思|维|建|模|　中点弦问题的解决方法 根与系数 的关系法 直线与双曲线方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点 点差法 利用弦两端点适合双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率 4.已知直线l与双曲线-=1交于A，B两点，且弦AB的中点为M，则直线l的方程为____________.  针对训练 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=6，y1+y2=3， 又两式相减，得-=0， 即-=0，整理得=，∴直线l的方程为y-=(x-3)，化简得3x-2y-6=0. 3x-2y-6=0 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的 (　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析：充分性：因为“直线与双曲线有且仅有一个公共点”，所以直线与双曲线相切或直线与渐近线平行.故充分性不满足；必要性：因为“直线与双曲线相切”，所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”.故必要性满足.所以“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要且不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交，则实数k的取值范围为 (　　) A.(-2，2) B.[-2，2) C.(-2，2] D.[-2，2] √ 解析：易知k≠±2，将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程 (4-k2)x2-16=0，由Δ>0可得-2<k<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 (　　) A.(1，2) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(2，1) √ 解析：法一　将y=x-1代入2x2-y2=3，得x2+2x-4=0，由此可得弦的中点的横坐标为==-1，纵坐标为-1-1=-2，即中点坐标为(-1，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得2-=3，2-=3，作差整理得kAB====1　①， 又M在y=x-1上，则有y0=x0-1　②， 联立①②解得x0=-1，y0=-2，所以M(-1，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.直线x+y=1与双曲线4x2-y2=1相交所得弦长为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：将直线x+y=1代入4x2-y2=1得3x2+2x-2=0.设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=-，x1x2=-，∴AB=|x1-x2|=·=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.过双曲线x2-=1的一个焦点作直线交双曲线于A，B两点，若AB=4，则这样的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 √ 解析：双曲线x2-=1的右焦点为(，0)，当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=，代入双曲线x2-=1可得y=±2，即AB=4，满足条件；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-0=k(x-)，代入双曲线x2-=1可得(2-k2)x2+2k2x-3k2-2=0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ=(2k2)2-4(2-k2)·(-3k2-2)=12k4+4(2-k2)(3k2+2)=16k2+16>0，x1+x2=-，x1x2=，所以AB=4= ，两边平方可得6k2=3，解得k=±， 所以斜率存在且满足条件的直线有2条，所以共有3条，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-4，-7)，则E的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：直线l的方程为y=·(x-3)，即y=x-3，设双曲线E的方程为-=1(a>0，b>0)，由消去y并整理得(b2-a2)x2+6a2x-a2(9+b2)=0， Δ=36a4-4a2(a2-b2)(9+b2)=4a2b2(9+b2-a2)>0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为弦AB的中点为N(-4，-7)，于是得-=-4，即a2=b2， 而a2+b2=9，解得a2=，b2=，满足Δ>0， 所以双曲线E的方程为-=1，即-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6 km；C在B的北偏西30°方向，相距4 km；P为航天员的着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，4 s后B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1 km/s，则在A处测得P的方向角为 (　　) A.北偏东30° B.北偏东60° C.北偏西30° D.北偏西60° √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为B，C同时接到信号，所以PB=PC，则点P在线段BC的垂直平分线上，因为B，C比A处同时晚4 s收到信号，所以有PB-PA=4<6=AB，从而P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，所以2a=4，c=3，则b2=c2-a2=5.如图，以线段AB的中点O为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则A(3，0)，B(-3，0)，C(-5，2)，所以双曲线的方程为-=1(x≥2)，线段BC的垂直平分线的方程为y-=(x+4)，即x-y+7=0，联立解得即点P(8，5)，从而kPA==，所以直线PA的倾斜角为60°，则在A处测得P的方向角为北偏东30°，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知双曲线C：-=1，直线l：x-2y+2=0，则直线l与双曲线C的公共点的坐标为___________________.  解析：由题意，联立方程组 解得 因此，所求公共点的坐标为(-2，0)，(4，3). (-2，0)，(4，3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图，B地在A地的正东方向4 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是___________________.  x2-=1(x≥1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.则DA-DB=2，根据双曲线的定义知，曲线PQ的轨迹为双曲线的右支.故2c=4，c=2，2a=2，a=1，b2=c2-a2=4-1=3，故曲线PQ的轨迹方程为x2-=1(x≥1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知A，B为双曲线x2-=1上两点，且线段AB的中点坐标为(-1，-4)，则直线AB的斜率为　　　　.  解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=， 由线段AB的中点坐标为(-1，-4)，即-2(x1-x2)=， ∴kAB==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知直线MN：y=x+2和双曲线C：-=1相交于M，N两点，O为原点，则△OMN面积为　　　　.  解析：联立得x2-4x-24=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=4，x1x2=-24，所以MN==，又因为点O到直线MN的距离为d=， 所以S△OMN=MN·d=××=4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)经过点M(2，2)作直线l交双曲线x2-=1于A，B两点，且M为AB中点. (1)求直线l的方程；(6分) 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得-=1，-=1， 两式相减得--=0，即(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为M为AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=4，所以4(x1-x2)-(y1-y2)=0，所以直线的斜率为k==4， 所以l的方程为y-2=4(x-2)，即y=4x-6， 经验证y=4x-6符合题意，所以直线l的方程为y=4x-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求线段AB的长.(4分) 解：将y=4x-6代入x2-=1中得3x2-12x+10=0，故x1+x2=4，x1x2=， 所以AB=·=× =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土能沿AP，BP运到P处，其中AP=100 m，BP=150 m，∠APB=60°，怎样运土才能最省工? 解：由题知，设M为分界线上任一点，则MA+AP=MB+BP， 即MA-MB=PB-PA=50 m，所以M在以A，B为焦点的双曲线的右支上.在△PAB中，由余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos 60°= 1002+1502-2×100×150×=17 500， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，可得分界线所在的曲线方程为-=1(x≥25).故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知双曲线C的方程为2x2-y2=2. (1)直线y=x+m截双曲线C所得的弦长为4，求实数m的值；(6分) 解：联立得x2-2mx-m2-2=0， ∵直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为4，∴Δ=4m2+4m2+8>0. 设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2m，x1x2=-m2-2， 由弦长公式得4=·，解得m=±1.故实数m的值为1或-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)过点(2，-1)作直线交双曲线C于P，Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程.(9分) 解：设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，M(x，y)，D(2，-1)， 则x3+x4=2x，y3+y4=2y，∴2-=2，2-=2， 上式作差得4x(x3-x4)-2y(y3-y4)=0， 当直线PQ的斜率不存在时，根据双曲线对称性 知M(2，0)； 当直线PQ的斜率存在，但y3+y4=0时， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 直线PQ为直线OD，根据双曲线对称性知M(0，0)；当直线PQ的斜率存在，且y3+y4≠0时，kPQ==. ∵kDM=，∴=，化简得2x2-y2-4x-y=0，其中x≠2，y≠0， 而点(2，0)，(0，0)适合上述方程. 所以线段PQ的中点M的轨迹方程是2x2-y2-4x-y=0. $$