3.3探索与表达规律问题解决策略--归纳专项2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第 1页，共 7页 2025 年北师大新课标七年级探索与表达规律问题解决策略--归纳专项 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.观察下列四个三角形内的数，确定�的值( ) A. 27 B. 55 C. 72 D. 80 2.如图，下列图形由多个完全相同的●组成，第一个图形有 5 个●，第二个图形有 11 个●，第三个图形有 19 个●，…，以此类推，第 11 个图形中●的个数为( ) A. 131 B. 132 C. 155 D. 156 3.如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要 10 根小棒，图案②需要 16 根小棒，图案③需要 22 根小棒，按此规律摆下去，第 8 个图案需要小棒的根数为( ) A. 3� B. 46 C. 52 D. 66 4.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 1 个图形中有 4 个圆，第 2 个图形中有 8 个圆， 第 3 个图形中有 14 个圆，第 4 个图形中有 22 个圆.按此规律排列下去，第 20 个图形中有(    )个圆． A. 422 B. 412 C. 402 D. 392 第 2页，共 7页 5.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，第 2025 个图案中灰色小正方形的个数为( ) A. 8101 B. 8100 C. 8098 D. 8099 6.如图是 2025 年 5 月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中 5 个数(如 2、8、9、10、16).若这样的 阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的 5 个数，则这 5 个数的和可能为( ) A. 41 B. 42 C. 81 D. 120 7.按一定规律排列的多项式：� + �，�2 + 3�，�3 + 5�，�4 + 7�，⋯，第�个多项式是( ) A. �� + (2� + 1)� B. �� + (2� − 1)� C. �2� + (� − 1)� D. �2� + (� + 1)� 8.为了求 1 + 7 + 72 + 73 + … + 72023的值，可令� = 1 + 7 + 72 + 73 + … + 72023，则 7� = 7 + 72 + 73 + 74 + … + 72024，因此 7� − � = 72024 − 1，所以� = 7 2024−1 6 .这种方法称为“错位相减法”.请参考以上方法， 计算23 + 24 + … + 29 + 9 的值是( ) A. 210 B. 210 + 1 C. 210 − 1 D. 210 + 2 9.有一个数字游戏，第一步：取一个自然数�1 = 4，计算�1 ⋅ 3�1 + 1 得�1；第二步：算出�1的各位数字之 和得�2，计算�2 ⋅ 3�2 + 1 得�2；第三步：算出�2的各位数字之和得�3，计算�3 ⋅ 3�3 + 1 得�3；…，以此 类推，则�2024的值为( ) A. 7 B. 52 C. 154 D. 310 10.根据(� − 1)(� + 1) = �2 − 1，(� − 1)(�2 + � + 1) = �2 − 1，(� − 1)(�3 + �2 + � + 1) = �4 − 1，(� − 1)(�3 + �3 + �2 + � + 1) = �5 − 1，…的规律，则22025 + 22024 + 22023 +⋯+ 22 + 2 + 1 的个位数字是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 第 3页，共 7页 11.定义一种“四位差运算”的操作：对于一个四位数(四位数字不全相同)，将各位数字重新排列组成最大 四位数和最小四位数(允许首位为零)，用最大数减去最小数得到差．例如，对 1234 进行一次“四位差运算”， 得 4321 − 1234 = 3087，二次“四位差运算”就是把一次“四位差运算”的结果再做“四位差运算”的操 作．则对初始数 1234 连续进行三次“四位差运算”后的结果是 ． 12.下面摆放的图案，从第 2 个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转 90°得到，第 2025 个图案与第 1 个至第 4 个中的第______个箭头方向相同. (填序号) 13.如图所示，在这个运算程序中，若开始输入�的值为 2，结果输出的是 1，将第 1 次输出的结果 1，再次 输入运算程序，进行第 2 次运算，结果输出的是−2，……则第 6 次输出的结果是______；第 2025 次输出的 结果是______． 14.如图是一组有规律的图案，它们是由若干个大小相同的菱形组成.第 1 个图案中有 4 个菱形，第 2 个图 案中有 7 个菱形，第 3 个图案中有 10 个菱形……依此规律，第�个图案中有______个菱形(用含�的代数式 表示)． 15.如图，用小棒摆图形，第 1 个图形需要 5 根小棒，第 2 个图形需要 9 根小棒，第 3 个图形需要 13 根小 棒，…，按照这样的方法继续摆下去，第�个图形需要______根小棒． 第 4页，共 7页 三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 9 分)观察以下等式： 第 1 个等式：11 + 1 1 − 2 = 0；第 2 个等式： 3 2+ 2 3 − 2 = 1 6；第 3 个等式： 5 3+ 3 5 − 2 = 4 15；第 4 个等式： 7 4+ 4 7 − 2 = 9 28；… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第 5 个等式：______； (2)写出你猜想的第�个等式(用含�的式子表示)，并证明． 17.(本小题 9 分)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为�1，�2，�3，�4，… 以此类推.请回答下列问题： (1)�3的值为______，�10 的值为______；(2)��的值为______；(3)若 1 �1 + 1�2 + 1�3 + … + 1�� = � 2025 (�为正整数)，则�的值为______． 18.(本小题 9 分)若 12− 1 = 1 − 1 2， 1 3− 1 2 = 1 2 − 1 3， 1 4 − 1 3 = 1 3 − 1 4，…，照此规律试求： (1)计算： 119 − 1 18 = ； (2)计算： 12 − 1 + 1 3− 1 2 + 1 4 − 1 3 + 1 5 − 1 4 ； (3)计算：| 12− 1| + | 1 3 − 1 2 | + | 1 4 − 1 3 | + ⋯ + | 1 2025 − 1 2024 | 第 5页，共 7页 19.(本小题 9 分)如图，把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为12的长方形，再把其中一个面积为 1 2的长方 形分成两个面积为 1 4的正方形，再把其中一个面积为 1 4的正方形分成两个面积为 1 8的长方形，如此进行下去， 用图形揭示的规律计算： (1)计算：12+ 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32； (2)计算：12+ 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 +⋯+ 1 2�． 20.(本小题 9 分)用火柴棒搭建如图所示的四个图形，回答问题： (1)观察图形，其中图①用了( )根火柴棒，图②用了( )根火柴棒，图③用( )了根火柴棒． (2)若按上述方式继续搭建，猜想第�个图形中，火柴棒的根数是多少？ (3)根据(2)中的猜想，如果用 5052 根火柴棒，那么搭建的是第几个图形？ 21.(本小题 9 分)(1)【归纳与发现】  ①12 = 3 × 4，1 + 2 = 3 × 1; 69 = 3 × ，6 + 9 = 3 × ．  ②312 = 3 × 104，3 + 1 + 2 = 3 × 2; 504 = 3 × ，5 + 0 + 4 = 3 × ． (2)【验证与说理】  ①试说明：2325 及其各数位上的数字之和都能被 3 整除;  ②设����是一个四位数(�, �, �, �分别为其千位，百位，十位，个位上的数字)，若� + � + � + �能被 3 整除， 试说明：����能被 3 整除． 第 6页，共 7页 22.(本小题 10 分)在《代数式》的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，得到合并同类项的法 则． 提出问题：47 × 43，56 × 54，89 × 81，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘 的算式，能否找到一种速算方法？下面我们利用这种方法来研究速算． 几何建模： 用长方形的面积表示两个正数的乘积，以 47 × 43 为例： 画长为 47，宽为 43 的长方形，如图，将这个 47 × 43 的长方形从右边切下长为 40，宽为 3 的一条，拼接 到原长方形的上面． 分析：原长方形的面积可以有两种不同的表达方式，47 × 43 的长方形面积或(40 + 7 + 3) × 40 的长方形面 积与右上角 3 × 7 的长方形面积之和，即 47 × 43 = (40 + 10) × 40 + 3 × 7 = 5 × 4 × 100 + 3 × 7 = 2021． (1)模仿应用： (1)请仿照上面的方法用长方形的面积表示 56 × 54 的乘积； (2)填空：89 × 81 =________× 8 × 100 +________×________= 7209； (2)归纳提炼：(3)两个十位数字相同，并且个位数字之和是 10 的两位数相乘的速算方法是 . (用文字表 述) 第 7页，共 7页 23.(本小题 11 分)【阅读材料】在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等.如 今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具.有一种密码的明文(真实 文)按计算机键盘上的字母顺序排列，如�、�、�、…、�、�，这 26 个字母依次对应 1、2、3、…、25、 26 这 26 个自然数(见下表)，设明文的任一字母所对应的自然数为�，通过某种规定的运算程序把�转化为 对应的自然数．．．�′，�′对应的字母为密文． 例如：将明文�转换成密文：� → 26(26 被 4 除余 2) → 26+24 + 12 = 19 → �，即�的密文为�；将密文�转 换成明文，� → 10 → 10 − 6 × 4 − 1 = 15 → �，即�的明文为�。 【解决问题】(1)按照以上程序加密 1 次，明文�对应的密文为________;明文����对应的密文为 ___________; (2)按照以上程序加密 1 次的密文为“康居学子”的首字母“����”，则其对应的明文为 _________; (3)加密可以重复进行，按照以上程序加密 2025 次，明文�对应的密文为_____________． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】    14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】；  ，证明见解析过程．  17.【答案】       18.【答案】【小题】 【小题】 【小题】   19.【答案】；   ．  20.【答案】，，； 由可知，第个图形有火柴棒根，第个图形有火柴棒根，第个图形有火柴棒根，，所以第个图形中，火柴棒的数量为； 根据的猜想，如果用根火柴棒， 所以， 解得， 所以搭建的是第个图形．  21.【答案】解，；，； ，；，， 故答案为：，；，； ， 因为为整数，为整数， 所以可以被整除， ，能被整除， 所以及其各个数位上的数字之和都可以被整除； ， 因为，，，为整数， 所以 是整数， 所以能被整除， 所以若  能被整除，则可以被整除．   22.【答案】【小题】 如图．．        或       【小题】 十位数字加的和与十位数字相乘，再乘，加上两个个位数字的积，构成运算结果   23.【答案】，  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北师大新课标七年级探索与表达规律问题解决策略--归纳专项 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.观察下列四个三角形内的数，确定的值(    ) A. B. C. D. 2.如图，下列图形由多个完全相同的组成，第一个图形有个，第二个图形有个，第三个图形有个，，以此类推，第个图形中的个数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案需要根小棒，图案需要根小棒，图案需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒的根数为(    ) A. B. C. D. 4.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中有个圆，第个图形中有个圆，第个图形中有个圆，第个图形中有个圆按此规律排列下去，第个图形中有个圆． A. B. C. D. 5.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，第个图案中灰色小正方形的个数为(    ) A. B. C. D. 6.如图是年月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中个数如、、、、若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的个数，则这个数的和可能为(    ) A. B. C. D. 7.按一定规律排列的多项式：，，，，，第个多项式是(    ) A. B. C. D. 8.为了求的值，可令，则，因此，所以这种方法称为“错位相减法”请参考以上方法，计算的值是(    ) A. B. C. D. 9.有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；，以此类推，则的值为(    ) A. B. C. D. 10.根据，，，，的规律，则的个位数字是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.定义一种“四位差运算”的操作：对于一个四位数四位数字不全相同，将各位数字重新排列组成最大四位数和最小四位数允许首位为零，用最大数减去最小数得到差．例如，对进行一次“四位差运算”，得，二次“四位差运算”就是把一次“四位差运算”的结果再做“四位差运算”的操作．则对初始数连续进行三次“四位差运算”后的结果是          ． 12.下面摆放的图案，从第个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第个图案与第个至第个中的第______个箭头方向相同填序号 13.如图所示，在这个运算程序中，若开始输入的值为，结果输出的是，将第次输出的结果，再次输入运算程序，进行第次运算，结果输出的是，则第次输出的结果是______；第次输出的结果是______． 14.如图是一组有规律的图案，它们是由若干个大小相同的菱形组成第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形依此规律，第个图案中有______个菱形用含的代数式表示． 15.如图，用小棒摆图形，第个图形需要根小棒，第个图形需要根小棒，第个图形需要根小棒，，按照这样的方法继续摆下去，第个图形需要______根小棒． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分观察以下等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： 写出第个等式：______； 写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并证明． 17.本小题分将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为，，，，以此类推请回答下列问题：的值为______，的值为______；的值为______；若为正整数，则的值为______． 18.本小题分若，，，，照此规律试求： 计算：           ； 计算：； 计算： 19.本小题分如图，把一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算： 计算：； 计算：． 20.本小题分用火柴棒搭建如图所示的四个图形，回答问题： 观察图形，其中图用了        根火柴棒，图用了       根火柴棒，图用       了根火柴棒． 若按上述方式继续搭建，猜想第个图形中，火柴棒的根数是多少？ 根据中的猜想，如果用根火柴棒，那么搭建的是第几个图形？ 21.本小题分【归纳与发现】 ，          ，          ． ，          ，          ． 【验证与说理】 试说明：及其各数位上的数字之和都能被整除 设是一个四位数分别为其千位，百位，十位，个位上的数字，若能被整除，试说明：能被整除． 22.本小题分在代数式的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，得到合并同类项的法则． 提出问题：，，，是一些十位数字相同，且个位数字之和是的两个两位数相乘的算式，能否找到一种速算方法？下面我们利用这种方法来研究速算． 几何建模： 用长方形的面积表示两个正数的乘积，以为例： 画长为，宽为的长方形，如图，将这个的长方形从右边切下长为，宽为的一条，拼接到原长方形的上面． 分析：原长方形的面积可以有两种不同的表达方式，的长方形面积或的长方形面积与右上角的长方形面积之和，即． 模仿应用： 请仿照上面的方法用长方形的面积表示的乘积； 填空：________________________； 归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是的两位数相乘的速算方法是          用文字表述 23.本小题分【阅读材料】在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具有一种密码的明文真实文按计算机键盘上的字母顺序排列，如、、、、、，这个字母依次对应、、、、、这个自然数见下表，设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 例如：将明文转换成密文：被除余，即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为。 【解决问题】按照以上程序加密次，明文对应的密文为________明文对应的密文为___________按照以上程序加密次的密文为“康居学子”的首字母“”，则其对应的明文为_________加密可以重复进行，按照以上程序加密次，明文对应的密文为_____________． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$