阶段质量评价（一） 第一章 直线与圆(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

阶段质量评价 第一章 直线与圆 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线l经过两点A(2，m)，B(-m，2m-1)且l的倾斜角为45°，则m的值为(　　) A.　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.- √ 解析：由斜率的定义可得kAB=tan 45°，即=1，解得m=-. 2.已知直线l1：2x+2y-5=0，l2：4x+ny+1=0，若l1∥l2，则n的值为 (　　) A.-6　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.-4 解析：因为l1∥l2，所以=≠，解得n=4，故选C. √ 3.圆心为M(2，-1)，且与直线x-2y+1=0相切的圆的方程为 (　　) A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-2)2+(y+1)2=5 C.(x-2)2+(y+1)2=25 D.(x-2)2+(y-1)2=25 解析：由题意知，r==，所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5. √ 4.一条沿直线传播的光线经过点P(-2，5)和Q(1，1)，然后被x轴反射，则反射光线所在直线的方程是 (　　) A.4x+3y-7=0 B.4x+3y+7=0 C.4x-3y-7=0 D.4x-3y+7=0 解析：由题意P，Q两点关于x轴的对称点分别为P1(-2，-5)，Q1(1，-1)，直线P1Q1方程为=，化简得4x-3y-7=0即为反射光线所在直线方程. √ 5.圆x2+y2-6y=0在点P(，1)处的切线方程为(　　) A.x-2y-3=0 B.x-2y+3=0 C.2x-y-3=0 D.2x-y+3=0 √ 解析：因为()2+12-6×1=0，所以P(，1)在圆x2+y2-6y=0上，x2+y2-6y=0的圆心为A(0，3)，故kAP==-，设圆x2+y2-6y=0在点P(，1)处的切线方程斜率为k，故kkAP=-1，解得k=，所以圆x2+y2-6y=0在点P(，1)处的切线方程为y-1=(x-)，即x-2y-3=0. 6.已知直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 解析：由k=1时，圆心到直线l：y=x+1的距离d=，所以弦长为.所以S△OAB=××=，所以充分性成立.由图形的对称性当k=-1时，△OAB的面积也为，所以必要性不成立.故选A. √ 7.已知圆C1：x2+y2=r2(r>0)，圆C2：(x+3)2+(y-4)2=4，若C1与C2有公共点，则r的最小值为 (　　) A.1　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7 解析：已知圆C1：x2+y2=r2(r>0)，则圆心C1(0，0)，半径为r1=r，圆C2：(x+3)2+(y-4)2=4，则圆心C2(-3，4)，半径r2=2.又|C1C2|==5，C1与C2有公共点，所以|r-2|≤|C1C2|≤r+2，又r>0，所以3≤r≤7，即r的最小值为3. √ 8.已知圆C：x2+y2-4x-4y-1=0，AB是圆C上的一条动弦，且|AB|=4，O为坐标原点，则|+|的最小值为(　　) A.4-2　　　B.2-1　　　C.2　　　D.4 解析：圆C：x2+y2-4x-4y-1=0，即(x-2)2+(y-2)2=9，圆心C(2，2)，半径r=3，设弦AB的中点为H， 则CH⊥AB，|+|=|2|，且|AB|=4， 所以|CH|==1，所以点H在以C为圆心， 1为半径的圆上，所以|OH|≥|OC|-1=2-1， 所以|+|的最小值为4-2. √ 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.对于直线l1：ax+2y+3a=0和直线l2：3x+(a-1)y+3-a=0.以下说法正确的是(　　) A.直线l2一定过定点 B.若l1⊥l2，则a= C.若l1∥l2，则a=3 D.点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为 √ √ 解析：l2：3x+(a-1)y+3-a=0变形为l2：3x-y+3+a(y-1)=0，令 解得故直线l2一定过定点，A正确；若l1⊥l2，则3a+2(a-1)=0， 解得a=，B正确；若l1∥l2，则解得a=3或a=-2，C错误； l1：ax+2y+3a=0恒过点Q(-3，0)，点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为P，Q两点间距离，其中|PQ|==5，D错误. 10.已知圆C1：x2+y2=9，圆C2：(x-3)2+(y+4)2=9，且C1与C2交于P，Q两点，则下列结论正确的是 (　　) A.圆C1与圆C2关于直线PQ对称 B.线段PQ所在直线的方程为6x-8y-7=0 C.圆C1与圆C2的公切线方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0 D.若A，B分别是C1与C2上的动点，则|AB|的最大值为11 √ √ 解析：两圆的半径均为3，则PQ为线段C1C2的垂直平分线，故圆C1与圆C2关于直线PQ对称，A正确；因为圆C1与圆C2相交，所以两个方程相减可得直线PQ的方程为6x-8y-25=0，B错误； 因为圆C1与圆C2相交，所以有两条公切线， 又两圆的半径相等，所以公切线与C1C2平行，即公切线的斜率k==-，设公切线方程为y=-x+b，即4x+3y-3b=0，所以3=，解得b=±5， 所以C1与C2的公切线方程为4x+3y-15=0或4x+3y+15=0，C错误； |AB|的最大值为|C1C2|+r1+r2= +3+3=11，D正确. 11.已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(4，0)，B(0，3)，P为圆C上一点，Q为直线AB上一点，则 (　　) A.|PQ|的最大值为 B.|PQ|的最小值为 C.当∠BAP最小时，|AP|=4 D.当∠BAP最大时，|AP|=4 √ √ √ 解析：由题意可知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3，4)，半径r=1，点A(4，0)，B(0，3)，所以直线AB的方程为+=1，即3x+4y-12=0，设圆心C到直线AB的距离为d==，则有|PQ|≥|CQ|-|CP|≥d-r=-1=，所以|PQ|的最小值为，没有最大值，故A错误，B正确； 如图，当直线AP与圆相切时∠BAP取到最大值∠BAP2和 最小值∠BAP1，则此时切线长|AP|=|AP1|=|AP2| ===4，故C、D正确. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知点P(1，m)到直线l：3x+4y-2=0的距离等于3，则m的值为______. -4或 解析：由已知得d==3，解得m=-4或m=. 13.(5分)如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度|AD|为6 m，行车道总宽度|BC|为2 m，侧墙|EA|，|FD|高为2 m，弧顶高|MN|为5 m.为保证安全，要求行驶车辆顶部 (设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是________m. 3.5 解析：如图，圆弧的圆心O在直线MN上， 过B作BG⊥AD，交圆弧于点G，作GH⊥MN于点H， 连接OE，OG.设EF与MN交于点P，由题可知， |MP|=5-2=3 m，|EP|=|AD|=3 m， |GH|=|BC|= m，设|OE|=|OM|=r，则|OP|=r-3，在Rt△OEP中， 有|OE|2=|OP|2+|EP|2，即r2=(r-3)2+(3)2，解得r=6，∴|OH|= = =5 m，∴|MH|=|OM|-|OH|=6-5=1 m，∴|BG|=|NH|=|MN| -|MH|=5-1=4 m，故车辆通过隧道的限制高度是4-0.5=3.5 m. 14.(5分)过直线x-y-6=0上一点P作圆C：(x-1)2+(y-3)2=4的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为__________. 4 解析：根据题意可得C(1，3)，半径为2，∵直线x-y-6=0，∴点C到直线的距离为=4>2，即直线与圆C相离，∵点P为直线上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B，∴四边形PACB的面积为S四边形PACB=2S△PAC=2|PA|=2，∵圆心C到直线的距离为4，∴|PC|min=4，即(|PC|2)min=32，则四边形PACB的面积最小值为4. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知圆C1：x2+y2-2x-6y-1=0与圆C2：x2+y2-10x-12y+45=0. (1)判断圆C1与圆C2的位置关系；(5分) 解：圆C1：(x-1)2+(y-3)2=11，圆心坐标为(1，3)，半径r1=， 圆C2：(x-5)2+(y-6)2=16，圆心坐标为(5，6)，半径r2=4， 圆心距d==5， 因为4-<5<+4，所以两圆相交. (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程.(8分) 解：两圆相减，x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0，化简为4x+3y-23=0， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 16.(15分)已知点A(0，-4)，B(2，0)，C(4，4)，D(-5，1). (1)判断A，B，C，D四点能否围成四边形，并说明理由；(7分) 解：由点A(0，-4)，B(2，0)，C(4，4)，D(-5，1)得kAB==2，kBC==2， 即kAB=kBC. 因为kAB=kBC且直线AB与直线BC有公共点B，所以A，B，C三点共线. 故A，B，C，D四点不能围成四边形. (2)已知点D到直线AC的距离d=3，求△ACD的面积.(8分) 解：因为点D到直线AC的距离d=3为△ACD中在边AC上的高， 又|AC|==4，所以△ACD的面积S△ACD=|AC|d=×4×3=30. 17.(15分)已知Rt△ACB的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程；(7分) 解：法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC， 所以kAC·kBC=-1. 又kAC=，kBC=， 所以·=-1， 化简得x2+y2-2x-3=0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0). 法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)， 由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2. 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆，由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点. 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). 法三　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，所以·=0. 因为A(-1，0)，B(3，0)，C(x，y)， 所以=(x+1，y)，=(x-3，y)， 所以·=(x+1)(x-3)+y2=x2-2x-3+y2=0， 所以直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0). (2)直角边BC的中点M的轨迹方程.(8分) 解：设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点， 由中点坐标公式得x=，y=， 所以x0=2x-3，y0=2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0)， 将x0=2x-3，y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4， 即(x-2)2+y2=1. 因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 18.(17分)已知圆C的圆心在直线l：y=x上，并且经过点A(2，1)和点B(3，2). (1)求圆C的标准方程；(7分) 解：因为AB的中点为D，且kAB=1，所以AB的垂直平分线为y- =-，即x+y-4=0， 由得所以圆心C(2，2)，则半径r=|AC|=1， 所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1. (2)若直线m：x+y+t=0上存在点P，过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，且∠MPN=90°，求实数t的取值范围.(10分) 解：如图，由∠MPN=90°得∠CPM=45°， 所以|CP|=， 所以圆心C(2，2)到直线m的距离d=≤， 则|4+t|≤2，解得-6≤t≤-2， 所以实数t的取值范围为[-6，-2]. 19.(17分)已知直线l：y=k(x-2)(k∈R)交圆M：(x-1)2+(y-3)2=5于不同的A，B两点，|AB|=4. (1)求直线l的方程；(5分) 解：圆心为M(1，3)，圆心M到直线l的距离为d==， 由题意可知，圆M的半径为r=，由勾股定理可得+d2=r2， 即22+=5，整理可得6k+8=0，解得k=-，因此，直线l的方程为y=-(x-2)，即4x+3y-8=0. (2)若Q为圆O：x2+y2=1上一动点，求·的最小值.(12分) 解：设线段AB的中点为S，由垂径定理可知MS⊥AB， 且|MS|=d==1， ·=(+)·(+)=-=-4， 因为kAB=-，则kMS=-=， 所以直线MS的方程为y-3=(x-1)，即3x-4y+9=0， 联立解得即点S， 则|OS|==， 所以||≥|||-|||=-1， 当且仅当点Q为线段OS与圆O的交点时，等号成立， 所以·=-4≥-4=，故·的最小值为. $$