3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

3.2 空间向量运算的 坐标表示及应用 空间向量运算的坐标表示 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 了解标准正交基.掌握空间向量的坐标表示.理解空间向量平行(共线)、垂直的条件. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　标准正交基及空间向量的坐标表示 逐点清(二)　空间向量的坐标运算 逐点清(三)　空间向量平行(共线) 和垂直的条件 4 课时检测 逐点清(一)　标准正交基及空间 向量的坐标表示 01 多维理解 1.标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作_______向量i，j，k，这三个___________的_______向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基. 单位 互相垂直 单位 2.空间向量的坐标表示 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p=xi+yj+zk.反之，任意给出一个三元有序实数组__________，也可找到唯一的一个向量p=xi+yj+zk与之对应.把三元有序实数组___________叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p=__________.单位向量i，j，k都叫作___________.xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的___________，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上的投影______. (x，y，z) (x，y，z) (x，y，z) 坐标向量 投影向量 数量 微点练明 1.已知{i，j，k}是空间的一组标准正交基，且=-i+j-k，则的坐标为(　　) A.(-1，1，-1) B.(-i，j，-k) C.(1，-1，-1) D.(1，-1，1) √ 解析：根据空间向量坐标的定义，由=-i+j-k，知=(-1，1，-1). 2.若点A(-2，2，1)关于y轴的对称点为A'，则向量的坐标为(　　) A.(4，-4，-2) B.(0，-4，0) C.(4，0，-2) D.(-4，0，2) √ 解析：因为点A的坐标为(-2，2，1)，所以点A关于y轴的对称点A'的坐标为(2，2，-1)，连接OA，OA'(O为原点)(图略)，则在标准正交基{i，j，k}下，=-2i+2 j+k，=2i+2 j-k，所以=-=4i-2k，所以 =(4，0，-2).故选C. 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}为基，则向量的坐标为　　　　　，向量的坐标为　　　　　，向量的坐标为　　　　　　.  (1，1，1) 解析：因为=++=++，所以向量的坐标为.因为=++=++，所以向量的坐标为.因为=++，所以向量的坐标为(1，1，1). 4.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设=i，=j，=k，=4i+0j+0k=(4，0，0). =+=0i+4j+4k=(0，4，4).=+ =++=-4i+4j+4k=(-4，4，4). 逐点清(二)　空间向量的坐标运算 02 多维理解 设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2).则有 加法 a+b=____________________ 减法 a-b=____________________ 数乘 λa=_____________________ 数量积 a·b=________________ (x1+x2，y1+y2，z1+z2) (x1-x2，y1-y2，z1-z2) (λx1，λy1，λz1)，λ∈R x1x2+y1y2+z1z2 微点练明 1.若向量a=(4，0，-2)，向量a-b=(0，1，-2)，则b= (　　) A.(-4，1，0) B.(-4，1，-4) C.(4，-1，0) D.(4，-1，-4) 解析：b=a-(a-b)=(4，0，-2)-(0，1，-2)=(4，-1，0). √ 2.已知向量a=(1，2，1)，b=(1，-1，m)，且a·b=-2，则m= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 √ 解析：因为a·b=-2，所以1×1+2×(-1)+1×m=-2⇒m=-1，故选A. 3.已知A(1，1，0)，B(2，0，-1)，C(-1，3，-2)，则+=(　　) A.(4，-4，0) B.(-4，4，0) C.(-2，2，0) D.(-2，2，-2) √ 解析：+==(-1，3，-2)-(1，1，0)=(-2，2，-2). 4.若A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，则·=(　　) A.-11 B.3 C.4 D.15 解析：由已知，=(2-3，-4-(-4)，-1-1)=(-1，0，-2)，=(-1-3， 5-(-4)，1-1)=(-4，9，0)，∴·=4+0+0=4. √ 5.已知向量a=(2，3，-4)，b=(-4，-3，-2)，b=c-2a，则c=____________.  (0，6，-20) 解析：由题意，得c=4a+2b=(8，12，-16)+(-8，-6，-4)=(0，6，-20). 逐点清(三)　空间向量平行(共线) 和垂直的条件 03 多维理解 设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2). (1)当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得 (2)当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔==. (3)a⊥b⇔a·b=0⇔______________________. x1x2+y1y2+z1z2=0 |微|点|助|解| (1)要证明a⊥b，就是证明a·b=0；要证明a∥b，就是证明a=λb(b≠0). (2)若a∥b，则 ==成立的条件是x2 y2z2≠0. 微点练明 1.已知a=(-2，-3，1)，b=(2，0，4)，c=(-4，-6，2)，则下列结论正确的是 (　　) A.a∥c，b∥c B.a∥c，a⊥b C.a∥b，a⊥c D.以上都不对 解析：因为a=(-2，-3，1)，b=(2，0，4)，c=(-4，-6，2)，所以a·b= -4+4=0，c=2a，则a∥c，a⊥b. √ 2.已知a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，且(a+b)∥(2a-b)，则 (　　) A. x=，y=1 B. x=，y=-4 C. x=2，y=- D. x=1，y=-1 √ 解析：由a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，得a+b=(x+1，3，2-y)，2a -b=(2-x，3，-2y-2)，由(a+b)∥(2a-b)，得==，所以x=，y=-4. 3.已知向量a=(1，1，0)，b=(-1，λ，2)，且7a+5b与2a-b互相垂直，则实数λ等于 (　　) A. B.或 C.0或 D.0或 √ 解析：由题意得7a+5b=7(1，1，0)+5(-1，λ，2)=(2，7+5λ，10)，2a-b =2(1，1，0)-(-1，λ，2)=(3，2-λ，-2)，由7a+5b与2a-b互相垂直，得(7a+5b)·(2a-b)=2×3+(7+5λ)×(2-λ)+10×(-2)=0，解得λ=0或λ=. 4.已知空间三点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设=a，=b. (1)设向量c=，试判断2a-b与c是否平行? 解：因为a==(1，1，0)，b==(-1，0，2)，所以2a-b=(3，2，-2). 又c=， 所以2a-b=-2c， 所以(2a-b)∥c. (2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值. 解：由(1)得ka+b=(k-1，k，2)，ka-2b=(k+2，k，-4). 又因为(ka+b)⊥(ka-2b)，所以(ka+b)·(ka-2b)=0，即(k-1，k，2)· (k+2，k，-4)=2k2+k-10=0，解得k=2或k=-. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在空间直角坐标系中，已知点A(1，-2，3)，B(-3，0，1)，则线段AB的中点坐标是 (　　) A.(-1，-1，2) B.(1，1，-2) C.(2，2，-4) D.(-2，-2，4) √ 解析：设线段AB的中点坐标为(x，y，z)，所以x==-1，y==-1，z==2，故线段AB的中点坐标是(-1，-1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若向量a=(2，0，-1)，b=(0，1，-2)，则2a-b= (　　) A.(-4，1，0) B.(-4，1，-4) C.(4，-1，0) D.(4，-1，-4) √ 解析：因为向量a=(2，0，-1)，所以2a=(4，0，-2)，又向量b=(0，1，-2)，所以2a-b=(4，0，-2)-(0，1，-2)=(4，-1，0).故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若向量a，b的坐标满足a+b=(-2，-1，2)，a-b=(4，-3，-2)，则a·b等于 (　　) A.5 B.-5 C.7 D.-1 √ 解析：∵a+b=(-2，-1，2)，a-b=(4，-3，-2)，∴两式相加得2a= (2，-4，0)，解得a=(1，-2，0)，∴b=(-3，1，2)，∴a·b=1×(-3)+(-2) ×1+0×2=-5.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知a=(1，-1，2)，b=(-1，m，-2)，若a∥b，则实数m的值是 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-5 √ 解析：因为a∥b，所以b=λa，所以解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知向量a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，则向量b在向量a方向上的投影向量为 (　　) A. B. C.(0，-1，-1) D.(-1，0，-1) √ 解析：因为向量a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，所以a·b=1，|a|=，所以向量b在向量a方向上的投影向量为·=a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在△ABC中，C=90°，A(1，2，-3k)，B(-2，1，0)，C(4，0，-2k)，则k的值为 (　　) A. B.- C.2 D.± √ 解析：因为=(-6，1，2k)，=(-3，2，-k)，所以·=(-6)×(-3) +2+2k·(-k)=-2k2+20=0，解得k=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点M是侧面CDD1C1的中心，则在基{}下的坐标为(　　) A. B. C. D. √ 解析：由题可知，M为DC1的中点，=+=+(+)=+(+) =++，∴坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知a=(sin θ，cos θ，tan θ)，b=，且a⊥b，则θ为(　　) A.- B. C.2kπ-(k∈Z) D.kπ-(k∈Z) √ 解析：∵ a=(sin θ，cos θ，tan θ)，b=，且a⊥b，∴sin θcos θ+cos θsin θ+1=0，即sin 2θ=-1，∴2θ=-+2kπ，k∈Z，∴ θ= -+kπ，k∈Z.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.若四边形ABCD是平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，-5，1)， C(3，7，-5)，则顶点D的坐标为 (　　) A.(1，1，-7) B.(5，3，1) C.(-3，1，5) D.(5，13，-3) √ 解析：∵ABCD为平行四边形，∴=，设D(x，y，z)，则= (-2，-6，-2)，=(3-x，7-y，-5-z)，∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(1，3，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一组基，则实数λ的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：若a，b，c三个向量不能构成空间向量的一组基，所以a，b，c共面，则存在x，y∈R使得c=xa+yb⇒(1，3，λ)=(2x-y，-x+4y，3x-2y)，则解得所以实数λ的值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若m=(2，-1，1)，n=(λ，5，1)，且m⊥(m-n)，则λ=_____.  5 解析：由已知得m-n=(2-λ，-6，0). 由m·(m-n)=0得，2(2-λ)+6+0=0，所以λ=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直 角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为__________， 的坐标为__________，的坐标为____________.  解析：由题图，A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，∴=(1，0，0)-(0，0，0)=(1，0，0)，=(1，1，1)- (0，1，0)=(1，0，1)，=(0，1，0)-(1，0，1)=(-1，1，-1). (1，0，0) (1，0，1) (-1，1，-1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知点M(1，0，2)，N(-1，1，0)，=2，则点P的坐标为_________.  解析：点M(1，0，2)，N(-1，1，0)，则=(-2，1，-2)，设点P(x，y，z)，则=(x-1，y，z-2)，由=2，得解得所以点P的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)设a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5). (1)若(ka+b)∥(a-3b)，求k的值；(5分) 解：因为a=(1，5，-1)，b=(-2，3，5)， 所以ka+b=k(1，5，-1)+(-2，3，5)=(k-2，5k+3，5-k)，a-3b=(1，5，-1) -3(-2，3，5)=(7，-4，-16)， 若(ka+b)∥(a-3b)，则==，解得k=-. (2)若(ka+b)⊥(a-3b)，求k的值.(5分) 解：若(ka+b)⊥(a-3b)， 则(ka+b)·(a-3b)=7(k-2)-4(5k+3)-16(5-k)=3k-106=0，解得k=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设O为坐标原点，向量=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，求·取得最小值时点Q的坐标. 解：∵点Q在直线OP上运动， ∴∥，设=λ，则Q(λ，λ，2λ)， ∴=-=(1-λ，2-λ，3-2λ)， =-=(2-λ，1-λ，2-2λ)， ∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-， 故当λ=时，·取得最小值，此时Q. $$