3.2 第1课时 空间向量的概念及线性运算(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§2 空间向量与向量运算 空间向量的概念及线性运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.类比平面向量，理解空间向量的定义及表示方法，掌握几种特殊的空间向量. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　空间向量的有关概念 逐点清(二) 空间向量的加减运算 逐点清(三)　空间向量的数乘运算 4 逐点清(四)　共线向量基本定理 课时检测 5 逐点清(一)　空间向量的有关概念 01 多维理解 1.空间向量的概念 定义 在空间中，具有______和______的量叫作空间向量 表示 向量可用小写字母表示，如a，b，c，…，也可用有向线段表示，如，其中点A叫作向量的起点，点B叫作向量的终点 向量的模 表示向量a的___________的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示.规定模为0的向量叫作零向量 自由向量 数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量 大小 方向 有向线段 2.几种特殊的空间向量 相等向量 方向______且模相等的向量称为相等向量 相反向量 方向_______且模相等的向量互为相反向量 共线向量或 平行向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线____________时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量) 共面向量 能平移到同一平面内的三个向量叫作共面向量 相同 相反 平行或重合 |微|点|助|解| (1)注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等，与a(a≠0)方向相同的单位向量为，方向相反的单位向量为-. (2)零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等. (3)在空间中仍然有：=(AB，CD不共线)⇔四边形ABCD为平行四边形. (4)若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. 微点练明 1.下列说法正确的是 (　　) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D.将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 解析：零向量与它的相反向量相等，A错误；任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错误；同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小，C正确；将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，D错误. √ 2.给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|=|b|，则a=b；④若空间向量m，n，p满足m=n，n=p，则m=p；⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中正确命题的个数为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误. √ 3.[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，AA1=1，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中 (　　) A.单位向量有8个 B.与相等的向量有3个 C.的相反向量有4个 D.模为的向量有4个 √ √ √ 解析：由题可知单位向量有 ，共8个，故A正确；与相等的向量有 ，共3个，故B正确；向量的相反向量有 ，共4个，故C正确；模为的向量分别为 ，共8个，故D错误. 逐点清(二)　空间向量的加减法 02 多维理解 空间向量 的运算 三角形法则 加法 a+b=+= 平行四边形法则 加法 a+b=+=_____ 减法 a-b=-=_____ 加法运算律 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 交换律 a+b=b+a |微|点|助|解| (1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即+++…+=. (2)若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即+++…+=0. (3)空间向量加、减法运算的两个技巧 巧用相反向量 向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 巧用平移 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 微点练明 1.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则--= (　　) A. B. C. D. √ 解析：--=+-=-=. 2.[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算的结果为向量的是(　　) A.(+)- B.(-)- C.(-)+ D.(-)- √ 解析：如图所示，(+)-=-=+ =；(-)-=-=；(-)+=+=；(-)-=(-)-=+=. √ √ 3.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简-+++，并在图中标出化简结果. 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中， 四边形AA1F1F是平行四边形， 所以=. 同理==， 由正六棱柱性质可知=， 所以-+++=-+(++) =+=， 所以化简结果如图所示. 逐点清(三)　空间向量的数乘运算 03 多维理解 定义 实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作____.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算 几何意义 λ>0 向量λa与向量a的方向______ λa的长度是a的长度的____倍 λ<0 向量λa与向量a的方向______ λ=0 λa=0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a 分配律 (λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb 相同 相反 λa |λ| |微|点|助|解| (1)λa=0⇔λ=0或a=0. (2)向量λa与向量a一定是共线向量. (3)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，明确表示向量的有向线段，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. 微点练明 1.如图，在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点.若=a， =b，=c，则=(　　) A.a-b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析：依题意，=+=+=+(-) =--=a-b-c. √ 2.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面 ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，=2= =x+y+z，则x+y+z=(　　) A.- B. C.1 D. 解析：因为=2=，所以=+=+=-+-=-+-=-++-=+-，故x=，y=，z=-，故x+y+z=. √ 3.如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD的重 心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各 式，并在图中标出化简结果. (1)+-； 解：连接EF，∵G是△BCD的重心，∴=. 又=，∴由向量加法的三角形法则可知， ++=++=+=.在图中标出，如图所示. (2)(+-)； 解：连接AH，∵F，H分别为AD，BC的中点， ∴(+-)=(2-)=-=-=. 在图中标出，如图所示. (3)++. 解：++=+(-)+(-)=+(+) =+=+=.在图中标出，如图所示. 逐点清(四)　共线向量基本定理 04 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理. [例1]　设向量e1，e2，e3不共面，已知=e1+e2+e3，=e1+λe2+e3，=4e1+8e2+4e3，若A，C，D三点共线，则λ=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由=e1+e2+e3，=e1+λe2+e3，得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3，因为A，C，D三点共线，所以∥，则存在唯一实数μ，使得=μ，则解得 √ [例2]　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上， 且=2，点F在体对角线A1C上，且=.求证： E，F，B三点共线. 证明：如图，连接EF，FB，∵=-=-=(++)-=(++)-=+-=-= +-(++)=+-， ∴=，∴∥，又EF∩FB=F，∴E，F，B三点共线. |思|维|建|模| 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a=λb成立. (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法①是否存在实数λ，使得=λ. ②对空间任意一点，若=x+y，且x+y=1，则P，A，B三点共线. 1.设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，=2e1-e2，且A，B，D三点共线，求实数k的值. 针对训练 解：因为=e1+3e2，=2e1-e2， 所以=+=e1+3e2-(2e1-e2)=-e1+4e2， 又A，B，D三点共线， 于是=λ，即2e1+ke2=λ(-e1+4e2)， 而e1，e2不共线，因此解得k=-8， 所以实数k的值是-8. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线. 证明：连接GB，GD，GC1，如图，则=++=++， 因为G是△BC1D的重心， 所以++=0， 又=+=+，=+， 所以3=++； 即=(++)=， 所以∥，A1，G，C三点共线. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.向量与的长度相等 B.在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 √ √ 解析：向量与是相反向量，长度相等，A正确；在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，B错误；空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，C错误；由空间向量的有关概念与性质知D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知空间任意两个向量a，b，则这两个向量一定是　 (　　) A.共线向量 B.共面向量 C.不共线向量 D.共面但一定不共线 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 解析：如图，与向量大小相等，方向相同的向量有 ，共3个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，化简+-=(　　) A. B. C. D. √ 解析：∵ABCD-A1B1C1D1为平行六面体， 如图所示，∴+-=+= +=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则+(+)=(　　) A. B. C. D. 解析：如图，因为E为棱BC的中点，所以+(+)=+×2=+=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知A，B，C三点共线，O为空间不同于A，B，C三点的任一点，则①=2+μ；②存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+ m+n=0，那么使①②成立的μ与λ+m+n的值分别为(　　) A.1，-1 B.-1，0 C.0，1 D.0，0 √ 解析：∵A，B，C三点共线，=2+μ，∴2+μ=1，解得μ=-1.又由λ+m+n=0，得=--，由A，B，C三点共线知，--=1，则λ+m+n=0.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知空间四边形ABCD，点E，F分别是AB与AD边上的点，M，N分别是BC与CD边上的点，若=λ=λ=μ=μ，则向量与满足的关系为(　　) A.= B.∥ C.||=|| D.||≠|| 解析：由=λ=λ，得=-=λ(-)=λ，所以共线，同理，由=μ=μ，得=μ，所以共线，所以共线，即∥. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，=2，则以下结论正确的是(　　) A.=++ B.=-+- C.=-+ D.=+- 解析：因为=2，所以==-=+-=+ -=+(-)-=+-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若=+ x+y，且G，M，N三点共线，则x+y=(　　) A.- B. C. D.- √ 解析：若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得=λ+(1-λ)= ++成立，所以=，可得λ=，所以x=y=，可得x+y=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.[多选]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=++=++，则(　　) A.E为棱D1C1的中点 B.F为棱CC1上更靠近C的三等分点 C.EF=CD1 D.EF∥平面ABB1A1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为=++=++=+，所以-==，则E为棱D1C1的中点，A正确.因为=+ +=+，所以-==，则F为棱CC1上更靠近C的三等分点，B正确.因为E为棱D1C1的中点，F为棱CC1上更靠近C的三等分点，易得EF≠CD1，C错误.因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，EF⊂平面DCC1D1，所以EF∥平面ABB1A1，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，N是BC的中点，则向量=__________.(用a，b，c表示)  解析：由向量的减法及加法运算可得，=-=+-= +-=b+c-a. b+c-a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)如图，在空间四边形OABC中，=a，=b， =c，点M在OA上，且=3，N为BC的中点， 若=xa+yb+zc，则x+y+z=_______.  解析：因为=3，N为BC的中点，所以== (+).所以=-=(+)-=-a+b+c. 因为=xa+yb+zc，所以x+y+z=-++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为 棱B1C1上任意一点.只考虑图上已画出线段所对应的 向量，写出： (1)的相等向量，的相反向量；(2分) 解：根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有的相反向量有. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)用三个或三个以上向量的和表示.(4分) 解：用“首尾规则”求解，则=++=++ ++.(答案不唯一) (2)用另外两个向量的和或差表示；(4分) 解：用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有= +=+=-=-.(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形 且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与 是否共线? 解：因为M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD、ABEF 都是平行四边形，所以=++=++. 又=+++=-+--，所以++= -+--.所以=+2+=2(++)=2， 即与共线. $$