1.1.1&1.1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.了解直线的方向向量，理解直线的方向向量与斜率的关系. 2.会应用倾斜角与斜率、方向向量之间的关系解决一些简单的应用问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.斜率与倾斜角的关系 (1)直线的斜率k与倾斜角α满足k=______=(x1≠x2).  tan α (2)斜率与倾斜角的变化规律 图示 倾斜角α (范围) 0 斜率k (范围) 0 K__0，且随着α的增大而_____ _______ K__0，且随着α的增大而_____ > 增大 不存在 < 增大 2.直线的斜率与方向向量的关系 若k是直线l的斜率，则v=______是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k=_____. (1，k) |微|点|助|解| (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a=(0，1). (2)任意直线的方向向量可以表示为a=(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角). 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的倾斜角为θ，则sin θ>0. (　 ) (2)直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ<π. (　 ) (3)若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ. (　 ) (4)若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ. (　 ) × √ × × 2.若直线l的一个方向向量为(2，3)，则它的斜率k为 (　　) A. B. C.- D.- √ 解析：∵(2，3)=2·，且(1，k)是直线的方向向量，∴k=. 3.已知直线l经过A(-1，0)，B(1，2)两点，则直线l的倾斜角是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k==1， 又α∈[0，π)，所以倾斜角是，故选B. 4.过点A(-1，)，B(1，3)的直线的倾斜角为_____.  60° 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　直线的斜率与倾斜角的关系 [例1]　已知坐标平面内三点P(3，-1)，M(6，2)，N(-)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围. 解：如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1， 直线PN的倾斜角为α2，由题意知，tan α1==1，tan α2 ==-，故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角 为150°.结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l 的倾斜角α的取值范围是{α|45°≤α≤150°}. |思|维|建|模| (1)斜率k与倾斜角α，已知一个量的范围求另一个的范围， 利用正切函数的图象和性质即可. (2)已知直线上两点的坐标时，利用k==tan α， 再结合k=tan α的图象求解. 针对训练 1.已知A(1，-4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，则实数λ的值为(　　) A.-5 B.-7 C.-2 D.2 √ 解析：因为A(1，-4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为， 所以kAB==tan，即=-1，解得λ=-5，故选A. 2.若直线l经过A(2，1)，B(3，t2)(t∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　) A. B.[0，π] C.∪ D.∪ √ 解析：由题意得，直线l的斜率k=t2-1≥-1，故tan α≥-1.根据正切函数的图象与性质可知，0≤α<或≤α<π. 题型(二)　直线的斜率与方向向量的关系 [例2]　(1)过A(4，y)，B(2，-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1， -1)，则y= (　　) A.- B. C.-1 D.1 √ 解析：法一　由直线上的两点A(4，y)，B(2，-3)，得=(-2，-3-y).又直线AB的一个方向向量为n=(-1，-1)，所以n∥，所以(-2)×(-1)-(-3-y)×(-1)=0，解得y=-1. 法二　由直线的一个方向向量为n=(-1，-1)，得直线的斜率为=1，所以=1，解得y=-1. (2)已知经过坐标平面内A(1，2)，B(-2，2m-1)两点的直线的一个方向向量为(1，sin α)，则实数m的取值范围为________.  [0，3] 解析：由题意知直线的斜率一定存在，设直线的斜率为k.由A(1，2)，B(-2，2m-1)两点知k==.由直线的一个方向向量为(1， sin α)，可得k=sin α.因为-1≤sin α≤1，所以k∈[-1，1].所以-1 ≤≤1，解得0≤m≤3. |思|维|建|模| 　　一般地，如果已知a=(u，v)是直线l的一个方向向量，那么， (1)当u=0时，显然直线l的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当u≠0时，直线l的斜率k存在，且向量(1，k)是直线l的一个方向向量. (3)对于非零实数λ，向量λa都是l的方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线. 针对训练 3.若直线l的倾斜角为，方向向量为e=(-1，a)，则实数a的值是(　　) A. B.- C. D.- 解析：∵直线l的方向向量为e=(-1，a)，∴直线l的斜率为k==-a.又直线的倾斜角α=，∴斜率k=tan=-=-a，解得a=. √ 4.已知直线l经过点A(1，4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为___________________.  解析：不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)，则k=，所以可以取x=1，则y=2，此时直线l的一个方向向量为(1，2). (1，2)(答案不唯一) 题型(三)　直线的倾斜角与斜率的综合问题 [例3]　已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围. 解：如图，由题意知kPA==-1， kPB==1.要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞). [变式拓展] 1.本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围. 解：由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}. 2.本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”，求直线l的斜率k的取值范围. 解：由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤-1或k≥1. 则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(-1，1). 3.若本例改为“已知两点A(2，3)，B(-1，2)，若点P(x，y)在线段AB上”，求的最大值. 解：设Q(3，0)，则kAQ==-3，kBQ==-，∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是，故的最大值为-. |思|维|建|模| (1)利用斜率公式解决代数问题的关键：根据题目中代数式的特征，看是否可写为的形式，从而联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用几何图形直观分析解决问题. (2)求代数式最值或范围的方法：由斜率公式k=的形式， 可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P'(a，b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解. 针对训练 5.已知两点A(1，4)，B(3，1)，直线l的斜率为a，且过定点P(0，2). (1)若是直线l的一个方向向量，求a的值; 解：因为是直线l的一个方向向量，所以a=kAB==-. (2)若直线l与线段AB有交点，求a的取值范围. 解：如图，因为kPA==2，kPB==-， 所以要使直线l与线段AB有交点， 则a的取值范围为. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ=(　　) A.0 B. C. D. √ 解析：由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k==.又k=tan θ，所以tan θ=.因为θ∈[0，π)，所以θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.经过A(0，1+)，B(3，1)两点的直线的倾斜角为(　　) A. B. C. D. √ 解析：因直线经过A(0，1+)，B(3，1)两点，则直线AB的斜率为k==-， 设直线AB倾斜角为α，显然α≠，于是得tan α=-，而α∈[0，π)，则α=，所以所求的直线的倾斜角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是 (　　) A.k1>k2>k3 B.k3>k1>k2 C.k2>k1>k3 D.k2>k3>k1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由k=tan α，结合y=tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为 (　　) A.-2 B.0 C. D.2 √ 解析：由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°= +(-)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.若直线l的斜率为k，且k2=3，则直线l的倾斜角为 (　　) A.30°或150° B.45°或135° C.60°或120° D.90°或180° √ 解析：设直线l的倾斜角为α，则0°≤α<180°，因为k2=3， 所以k=±.当k=时，即tan α=，则α=60°;当k=-时， 即tan α=-，则α=120°，所以直线l的倾斜角为60°或120°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是 (　) A.[0，2] B.[0，1] C. D. √ 解析：当直线位于如图所示的阴影区域(包含边界)内时满足条件，由图知，当直线过A(1，2)， O(0，0)时直线的斜率最大，为2，当直线 与x轴平行时斜率最小，为0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.点M(x，y)在函数y=2x+4的图象上，当x∈[2，5]时，的取值范围是(　　) A. B. C. D. √ 解析：因为点M(x，y)在函数y=2x+4的图象上，所以当x=2时，y=8;当x=5时，y=14;故设A(2，8)，B(5，14)，而可看作函数y=2x+4的图象上的点与点P (-1，-2)连线的斜率，故当x∈[2，5]时，kPB≤≤kPA，而kPA=，kPB=，所以 ≤≤，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)若经过点P(1-a，1)和Q(2a，3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是___________.  解析：因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率<0，解得a<. 所以实数a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)设直线l的斜率为k，且-1<k≤，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________________.  解析：因为直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π)，由-1<k≤， 得-1<tan α≤，所以α∈∪. ∪ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知直线l的方向向量为(-1，2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α =________.  解析：∵直线l的方向向量为(-1，2)， ∴直线l的斜率等于-2， ∴tan α=-2，tan 2α===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知两点M(2m+3，m)，N(m-2，1)， (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角?(3分) 解：若直线MN的倾斜角为锐角， 则直线MN的斜率k=>0， 解得m>1或m<-5.所以当m∈(-∞，-5)∪(1，+∞)时，直线MN的倾斜角为锐角. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角?(3分) 解：若直线MN的倾斜角为钝角，则直线MN的斜率k=<0， 解得-5<m<1.所以当M∈(-5，1)时，直线MN的倾斜角为钝角. (3)若直线MN的方向向量为a=(0，-2 023)，求m.(4分) 解：若直线MN的方向向量为a=(0，-2 023)，则斜率不存在，即点M，N的横坐标相等，故2m+3=m-2，解得m=-5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)(1)已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°;(5分) 解：①当点P在x轴上时，设点P(a，0). 又A(1，2)，∴直线PA的斜率k==.又直线PA的倾斜角为60°， ∴tan 60°=，解得a=1-，∴点P的坐标为. ②当点P在y轴上时，设点P(0，b)， 同理可得b=2-，∴点P的坐标为(0，2-). 故所求点P的坐标为或(0，2-). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)已知直线l1的方向向量为n=(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，求直线l2的斜率.(5分) 解：设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α.∵直线l1的方向向量为n=(2，1)， ∴直线l1的斜率为tan α=， ∴直线l2的斜率为tan 2α==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)已知两点A(-1，2)，B(m，3)， (1)求直线AB的斜率k;(7分) 解：当m=-1时，直线AB的斜率不存在， 当m≠-1时，直线AB的斜率 k==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围.(8分) 解：当m=-1时，α=;当m≠-1时，k=，因为m∈， 且m≠-1，所以-≤m+1≤，且m+1≠0，所以 ≤-或≥， 即tan α≤-或tan α≥，所以α∈∪. 综上，直线AB的倾斜角α∈. $$