2.2.1 双曲线及其标准方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§2 双曲线 2.1 双曲线及其标准方程 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及其求法 (待定系数法、定义法). 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决焦点三角形问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于_______ (大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 _________________叫作双曲线的焦点 焦距 _________________________叫作双曲线的焦距 两个定点F1，F2 两个焦点间的距离|F1F2| 常数 |微|点|助|解| (1)在双曲线定义中，若|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)，即“去掉绝对值符号”，则动点M的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2). (2)2a的大小与点M的轨迹如下表所示. 条件 结论 0<2a<|F1F2| 动点M的轨迹是双曲线 2a=|F1F2| 动点M的轨迹是分别以F1，F2为端点，指向F1，F2所在直线两侧的射线 2a>|F1F2| 动点M不存在，因而轨迹不存在 2a=0 动点M的轨迹为线段F1F2的垂直平分线 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 焦点坐标 ____________________ ____________________ 焦距 |F1F2|=_____ a，b，c的关系 c2=_________ F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 2c a2+b2 |微|点|助|解| (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置， 就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型. “焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上;若y2的系数为正， 则焦点在y轴上. (3)参数a，b，c的几何意义:在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2=a2+b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形， 且长度为c的线段是斜边，如图所示. 基础落实训练 1.已知点F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是 (　　) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 √ 解析:依题意得|F1F2|=10，当a=3时，因为|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时，2a=10=|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线. 2.方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围为(　　) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(-∞，1)∪(2，+∞) √ 解析:由方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线，则解得k<1，故选A. 3.以F1(-，0)，F2(，0)为焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是(　　) A.-y2=1　　　B.-y2=1　　　C.-y2=1　　　D.x2-=1 解析:由题意得双曲线焦点在x轴上且c=，设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，则有a2+b2=c2=3，-=1，解得a2=2，b2=1，故所求双曲线的标准方程为-y2=1，故选A. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　双曲线的标准方程 [例1]　根据下列条件，分别求双曲线的标准方程. (1)经过点P，Q; 解:法一　若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，由于点P和Q在双曲线上，∴解得 (舍去). 若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，将P，Q两点坐标代入可得解得∴双曲线的标准方程为-=1. 综上，双曲线的标准方程为-=1. 法二　设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0)， ∵P，Q两点在双曲线上， ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)c=，经过点(-5，2)，焦点在x轴上. 解:法一　依题意可设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).则有 解得 ∴所求双曲线的标准方程为-y2=1. 法二　∵焦点在x轴上，c=， ∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(-5，2)，∴-=1， ∴λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是-y2=1. |思|维|建|模| 用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 [提醒]　求双曲线的标准方程时，焦点不确定可设方程为mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0). 针对训练 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2); 解:因为a=2，且双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)，将点A(-5，2)的坐标代入双曲线的方程得-=1，解得b2=16，因此，双曲线的标准方程为-=1. (2)经过A(-7，-6)，B(2，3)两点; 解:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0)，将点A，B的坐标代入双曲线方程可得解得m=，n=-， 因此双曲线的标准方程为-=1. (3)过点P(-，2)，且与椭圆+=1有相同焦点. 解:由题意知，椭圆+=1的焦点坐标为F1(-，0)，F2(，0)， 所以可设双曲线标准方程为-=1，其中a2+b2=5，代入点P(-，2)可得-=1，联立解得a2=1，b2=4，所以双曲线的标准方程为x2-=1. 题型(二)　与双曲线有关的轨迹问题 [例2]　已知A(0，7)，B(0，-7)，C(12，2)，以C为焦点的椭圆过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为 (　　) A.y2-=1(y≤-1) 　 B.y2-=1(y≥1) C.-x2=1(y≤-4) 　 D.-x2=1(y≥4) √ 解析:因为A(0，7)，B(0，-7)，C(12，2)， 所以|AC|==13，|BC|==15，|AB|=14， 因为A，B 都在椭圆上，所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14， 故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支，又2c=|AB|=14，2a=|AF|-|BF|=2，即c=7，a=1，所以b2=48，因此F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1). 　　|思|维|建|模| 　　求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种: (1)列出等量关系，化简得到方程; (2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程. [提醒]　①双曲线的焦点所在的坐标轴; ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 针对训练 2.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x=2上，则顶点C的轨迹方程为 (　　) A.-=1(x>2) B.-=1(x>3) C.+=1(0<x<2) D.+=1(0<x<3) 解析:如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F， 则有|AD|=|AE|=5，|BF|=|BE|=1，|CD|=|CF|， 所以|CA|-|CB|=5-1=4.根据双曲线定义， 所求轨迹是以A，B为焦点，2a=4的双曲线的右支 (右顶点除外)，即c=3，a=2，又c2=a2+b2，所以b2=5， 所以方程为-=1(x>2). √ 题点1　确定有关几何量的值 [例3]　已知M是双曲线-=1上一点，点F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|MF1|=5，则|MF2|=(　　) A.9或1　　　B.1　　　C.9　　　D.9或2 题型(三)　双曲线的定义及应用 √ 解析:因为M是双曲线-=1上一点，所以所以 由双曲线定义可知||MF1|-|MF2||=2a=4， 所以|MF2|=1或|MF2|=9，又|MF2|≥c-a=2，所以|MF2|=9，故选C. 题点2　焦点三角形问题 [例4]　已知F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|=32，求△F1PF2的面积. 解:由题意，得a=3，b=4，c==5， 所以2a=6，2c=10. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6，两边平方，得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2===0，所以∠F1PF2=90°， 所以=|PF1|·|PF2|=×32=16. [变式拓展] 1.若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10， 求点P到焦点F2的距离. 解:由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5. 由双曲线的定义，得||PF1|-|PF2||=2a=6， 所以|10-|PF2||=6，解得|PF2|=4或|PF2|=16. 2.若本例中的条件“|PF1|·|PF2|=32”变成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”， 其他条件不变，求△F1PF2的面积. 解:由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6.又|PF1|∶|PF2|=2∶5，所以|PF2|=10，|PF1|=4.因为|F1F2|=2c=10，所以△PF1F2是等腰三角形.易得PF1边上的高为4，所以=×4×4=8. 题点3　最值问题 [例5]　已知P为双曲线x2-=1右支上一点，M，N分别是(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为________. 5 解析:双曲线的两个焦点F1(-4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1=2，r2=1，易知|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值为|PF1|+2-(|PF2|-1) =|PF1|-|PF2|+3=2+3=5. |思|维|建|模| 与双曲线定义有关问题的解决策略 (1)设F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，若点P满足|PF1|-|PF2|=2a，则点P在双曲线的右支上;若点P满足|PF2|-|PF1|=2a，则点P在双曲线的左支上.如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意动点的横坐标x的取值范围. (2)解与焦点三角形有关的问题，常利用双曲线的定义，并注意与三角形的知识相结合，如正弦定理、余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思想的应用. 针对训练 3.已知双曲线-=1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于(　　) A.4　　　　B.2　　　　C.1　　　　D. 解析:因为双曲线-=1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离|MF2|=18-10=8，N是MF1的中点， O是F1F2的中点，所以|ON|=|MF2|=4. √ 4.已知F1，F2为双曲线C:-=1的左、右焦点，点P在双曲线C上， 且|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1F2P=(　　) A.-　　　B.　　　C.　　　D. 解析:由双曲线方程可知a=4，b=3，c==5， 根据双曲线的几何意义可得|PF1|-|PF2|=2a， |F1F2|=2c，又|PF1|=2|PF2|，解得|PF1|=16， |PF2|=8，|F1F2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1F2P===-，故选A. √ 5.已知F1，F2分别为双曲线-=1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|+|AF2|的最小值为_______________. -2 解析:因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2，所以要求|AP|+|AF2|的最小值，只需求|AP|+|AF1|的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，|AP|+|AF1|最小，最小值为|PF1| ==.故|AP|+|AF2|的最小值为-2. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若方程-=1表示双曲线，则m的取值范围是(　　) A.(-2，2) B.(0，+∞) C.[0，+∞) D.(-∞，-2]∪[2，+∞) √ 解析:∵已知方程表示双曲线， ∴(2+m)(2-m)>0.∴-2<m<2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值为(　　) A.1　　　B.1或-2　　　C.1或　　　D. 解析:由题意知解得a=1. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.过点(1，1)，且=的双曲线的标准方程是(　　) A.-y2=1　　　 B.-x2=1 C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1 √ 解析:由=，知b2=2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为-=1，将点(1，1)代入可得a2=，则双曲线方程为-y2=1.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为-x2=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知点M(2，0)，N(-2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=2，则动点P的轨迹方程为 (　　) A.-y2=1(x≥) B.-y2=1(x≤-) C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1) √ 解析:因为M(2，0)，N(-2，0)，所以|MN|=4，动点P满足|PM|-|PN|=2<|MN|， 由双曲线的定义可知，动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，则有c=2，a=1，b==， 所以动点P的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设F1，F2是双曲线C:x2-=1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上， 当|PF1|=6时，△PF1F2的面积为(　　) A.4　　　B.3　　　C.　　　D.6 解析:∵双曲线C:x2-=1，∴a=1，b=，c=2，又点P在双曲线C的右支上，|PF1|=6，∴|PF1|-|PF2|=2a，6-|PF2|=2，即|PF2|=4， 又|F1F2|=2c=4，∴△PF1F2的面积为×6× =3. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]关于x，y的方程+=1(其中m2≠4)表示的曲线可能是(　　) A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为2的椭圆 √ √ 解析:若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2+2<0，无解，A错误; 若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2+2=4-m2，解得m=±1，B正确; 若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4-m2<0，所以m>2或m<-2，C正确; 若曲线表示长轴长为2的椭圆，则2a=2，a=，则或无解，D错误.故选BC. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点A(4，0)，分别过点M(-5，0)，N(5，0)作圆C的切线并交于点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为 (　　) A.-=1(x>4) B.-=1(x<-4) C.-=1(x>4或x<-4) D.-=1 解析:设PM，PN分别与圆C相切于点S，T， 则|PS|=|PT|，|MS|=|MA|，|NA|=|NT|， 所以|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8， 且8<|MN|=10，所以点P的轨迹是以M， N为焦点的双曲线的右支(除去与x轴交点)， 这里2a=8，a=4，c=5，则b= ==3，故点P的轨迹方程为-=1(x>4). √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点， 则cos∠F1PF2等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 解析:设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1+d2=2①， |d1-d2|=2②， ①2+②2，得+=18.①2-②2，得2d1d2=6. 而c=2，∴cos∠F1PF2===. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知A(7，3)，双曲线C:-=1的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点， 则|PF|-|PA|的最大值是(　　) A.-1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.9 解析:若F'为双曲线右焦点F'(3，0)，则|PF|-|PF'|=2a =4，|AF'|=5，而|PA|≥|PF'|-|AF'|，当且仅当P，F'， A共线且A在P，F'之间时等号成立， 所以|PF|-|PA|≤|PF|-|PF'|+|AF'|=4+5=9， 当P，F'，A共线且A在P，F'之间时等号成立. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于_____. 解析:根据题意可知，双曲线的标准方程为-=1.由其焦距为4， 得c=2，则有c2=2-a+3-a=4，解得a=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)双曲线-=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为__________. 解析:由题意知双曲线右焦点的坐标为(3，0)，则右焦点到直线x+2y-8=0的距离d==. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)若方程+=1表示双曲线，则实数m的取值范围为________________________. (-3，2)∪(3，+∞) 解析:依题意有或解得-3<m<2或m>3. 所以实数m的取值范围是(-3，2)∪(3，+∞). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8; (2分) 解:由已知得c=5，2a=8.因此a=4，且b2=c2-a2=52-42=9. 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是-=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)双曲线的一个焦点坐标是(0，-6)，且双曲线经过点A(-5，6); (2分) 解:由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c=6，所以另一个焦点坐标为(0，6). 因为点A(-5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 2a=|-|=|13-5|=8，因此a=4，从而b2=62-42=20. 因此，所求双曲线的标准方程是-=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)a=4，经过点A; (3分) 解:当焦点在x轴上时，设所求标准方程为-=1(b>0)， 把点A的坐标代入，可得b2=-×<0，不符合题意; 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为-=1(b>0)， 把A点的坐标代入，可得b2=9， 故所求双曲线的标准方程为-=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)与双曲线-=1有相同的焦点，且经过点(3，2). (3分) 解:设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16)，因为双曲线过点(3，2)，所以-=1，解得λ=4或λ=-14 (舍去).所以双曲线的标准方程为-=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程;(5分) 解:椭圆方程可化为+=1，焦点在x轴上，且c==， 故设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则有解得a2=3，b2=2， 所以双曲线的标准方程为-=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:不妨设M点在右支上，则有|MF1|-|MF2|=2，又|MF1|+|MF2|=6， 故解得|MF1|=4，|MF2|=2，又|F1F2|=2， 因此在△MF1F2中，MF1边最长， 而cos∠MF2F1=<0，所以∠MF2F1为钝角. 故△MF1F2为钝角三角形. (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|+|MF2|=6， 试判断△MF1F2的形状.(10分) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知定点A(-，0)，B(，0)，动点P到两定点A，B距离之差的绝对值为2. (1)求动点P对应曲线C的轨迹方程;(5分) 解:由题意知，||PA|-|PB||=2<|AB|=2， 故动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线， 且a=，c=， ∴b==1，故曲线C的方程为-y2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)过点Q(1，1)作直线与曲线C交于M，N两点，若点Q恰为MN的中点，求直线MN的方程.(10分) 解:设M(x1，y1)，N(x2，y2)，满足 两式相减得=-，即=(y1-y2)(y1+y2)， ∵点Q为MN的中点，故 ∴=，即直线MN的斜率为，又过点Q，故直线MN的方程为y-1=(x-1)， 即x-2y+1=0. $$