2.2.1 双曲线及其标准方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案围绕双曲线及其标准方程展开，引导学生从已学的椭圆知识出发，通过问题探究双曲线的定义、几何图形和标准方程，设置“想一想”“提醒”等学习支架，帮助构建知识脉络。 资料结合工程建筑等实际背景培养数学抽象，通过定义辨析和方程对比发展直观想象，题型涵盖方程识别、求解及实际应用，注重通性通法，提升学生用数学思维分析和解决问题的能力。

2.1　双曲线及其标准方程 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程（直观想象）. 　　双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜.在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度. 【问题】　我们已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何性质呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2的　　　　　　等于常数（大于零且小于｜F1F2｜）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.这　　　　　叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离　　　　叫作双曲线的焦距. 提醒：（1）当常数等于｜F1F2｜时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；（2）当常数大于｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在；（3）当常数等于0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 【想一想】 如果定义中“距离之差”没有加绝对值，点的轨迹表示什么曲线？ 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　　　　　（a＞0，b＞0） 　　　　　（a＞0，b＞0） 图形 焦点坐标 　　　　　 　　　　　 a，b，c的关系 c2＝　　　 提醒：巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程－＝1表示双曲线.（　　） （2）双曲线两焦点之间的距离称为焦距.（　　） （3）若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.（　　） （4）双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值.（　　） 2.平面内动点P到两定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是（　　） A.（－4，＋∞） B.（4，＋∞） C.（－4，4） D.（－4，0）∪（0，4） 3.已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为（　　） A.（－，0），（，0） B.（－5，0），（5，0） C.（0，－5），（0，5） D.（0，－），（0，） 4.双曲线的两焦点坐标是F1（0，3），F2（0，－3），b＝2，则双曲线的标准方程是　　　　. 题型一　双曲线标准方程的识别 已知－＝－1，当k为何值时： （1）方程表示双曲线？ （2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？ 尝试解答 通性通法 双曲线方程的辨识方法 　　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 1.已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a＝（　　） A. B.5 C.7 D. 2.在方程mx2－my2＝n中，若mn＜0，则方程所表示的曲线是（　　） A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的椭圆 题型二　求双曲线的标准方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点（，0），（3，2）； （2）焦点为（0，－5），（0，5），经过点； （3）a＝b，经过点（3，－1）； （4）经过（3，－4）和两点. 尝试解答 通性通法 1.求双曲线标准方程的两个关注点 （1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； （2）定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程（组）求解. 2.求双曲线的标准方程的步骤 （1）根据已知条件设出双曲线的标准方程； （2）利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用； （3）确定双曲线的标准方程. 特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，需分类讨论.也可直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0），把所给点的坐标代入方程，解方程组求出A，B的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论. 1.（2026·聊城月考）椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝　　　　. 2.（2026·常州质检）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为　　　　. 题型三　双曲线的定义及应用 角度1　与双曲线有关的动点的轨迹问题 如图，已知圆E：（x＋2）2＋y2＝4，F（2，0），动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程. 尝试解答 通性通法 与双曲线有关轨迹问题的解题思路及注意点 （1）求解与双曲线有关点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程. （2）特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 角度2　焦点三角形问题 （1）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A.2　 　 B.4 C.6　 　　 D.8 （2）设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　在解与焦点三角形（△PF1F2）有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得｜PF1｜，｜PF2｜的关系式，从而求出｜PF1｜，｜PF2｜.但是，一般我们不直接求解出｜PF1｜，｜PF2｜，而是根据需要，把｜PF1｜＋｜PF2｜，｜PF1｜－｜PF2｜，｜PF1｜·｜PF2｜看作一个整体来处理. 角度3　与双曲线有关的最值问题 （1）已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P（3，1）为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为（　　） A.＋4 B.－4 C.－2 D.＋2 （2）P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是圆（x＋4）2＋y2＝4和（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜－｜PN｜的最大值为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点. （1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在； （2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在. 1.若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为（　　） A. B. C.8 D.16 2.已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一点，M（0，2），则△PFM的周长的最小值为　　　　. 题型四　双曲线的实际应用 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ 尝试解答 通性通法 　　双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题. 某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工. 1.已知平面内两定点F1（－3，0），F2（3，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（　　） A.｜PF1｜－｜PF2｜＝±7 B.｜PF1｜－｜PF2｜＝±6 C.｜PF1｜－｜PF2｜＝±4 D.｜PF1｜2－｜PF2｜2＝±6 2.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是（　　） A.－2＜m＜2 B.m＞0 C.m≥0 D.｜m｜≥2 3.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是（　　） A.　 B.1或－2 C.1或　 D.1 4.半焦距为，经过点（－5，2），且焦点在x轴上双曲线的标准方程为　　　　. 5.已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，O为坐标原点，则｜ON｜＝　　　　. 完成课后作业　第二章　§2　2.1 答案 2.1　双曲线及其标准方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 距离之差的绝对值　两个定点F1，F2　｜F1F2｜ 想一想 提示：双曲线的一支. 知识点二 －＝1　－＝1　F1（－c，0），F2（c，0）　F1（0，－c），F2（0，c）　a2＋b2 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.D　由双曲线的定义可得，｜m｜＜4且m≠0，解得m∈（－4，0）∪（0，4）. 3.B 4.－＝1 【典例研析】 【例1】　解：（1）原方程可变形为－＝1. 要使方程表示双曲线，必须满足（｜k｜－3）（1－k）＞0. 即或解得k＜－3或1＜k＜3. （2）若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则解得1＜k＜3. 跟踪训练 1.D　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 2.C　方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn＜0知＜0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线. 【例2】　解：（1）根据题意，双曲线经过点（，0），则双曲线的焦点在x轴上，且a＝， 设双曲线的标准方程为－＝1（b＞0）， 双曲线经过点（3，2），则有－＝1，解得b2＝8， 则双曲线的标准方程为－＝1. （2）根据题意，焦点为（0，－5），（0，5），则双曲线的焦点在y轴上，且c＝5， 因为双曲线过点，故根据双曲线的定义可知2a＝｜－｜＝6， 则a＝3，则b2＝c2－a2＝16， 所以双曲线的标准方程为－＝1. （3）根据题意，双曲线中a＝b，设双曲线的方程为x2－y2＝t， 又由双曲线经过点（3，－1），则有t＝32－（－1）2＝8， 则双曲线的方程为x2－y2＝8， 所以双曲线的标准方程为－＝1. （4）根据题意，设双曲线的方程为mx2－ny2＝1（mn＞0）， 双曲线经过（3，－4）和两点，则有 解得m＝－，n＝－， 则双曲线的标准方程为－＝1. 跟踪训练 1.1　解析：由双曲线方程知，焦点在x轴上，且c2＝a＋2（a＞0）.由椭圆方程知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2（舍去）.所以a＝1. 2.－＝1　解析：将x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0，得y2＝9，即y＝±3.所以点A，B的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为A，B两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在y轴上且解得所以双曲线方程为－＝1. 【例3】　解：由已知条件，得圆E的半径r＝2. 设圆P的半径为R，则｜PF｜＝｜PM｜＝R， 所以｜PE｜＝｜PM｜－｜ME｜＝R－2， 所以｜PF｜－｜PE｜＝2＜｜EF｜＝4. 由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线的左支，其中a＝1，c＝2，所以b＝＝. 所以所求轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）. 【例4】　（1）B　（2）22　解析：（1）设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n， 则 ∴∴mn＝4，即｜PF1｜·｜PF2｜＝4.故选B. （2）由题意知｜F1F2｜＝2＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22. 【例5】　（1）C　（2）5　解析：（1）因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－2，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝＝.故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为－2.故选C. （2）双曲线的两个焦点F1（－4，0），F2（4，0）分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知｜PM｜max＝｜PF1｜＋2，｜PN｜min＝｜PF2｜－1，故｜PM｜－｜PN｜的最大值为｜PF1｜＋2－（｜PF2｜－1）＝｜PF1｜－｜PF2｜＋3＝2＋3＝5. 跟踪训练 1.A　由双曲线的定义和余弦定理得，｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 120°＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋3｜PF1｜·｜PF2｜，即100＝36＋3｜PF1｜·｜PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝，则＝｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2＝××＝. 2.2＋4　解析：设双曲线C的左焦点为F1，则｜PF｜－｜PF1｜＝2a，由题可知a＝1，c＝2，所以｜PF｜＝2＋｜PF1｜，F1（－2，0），F（2，0），所以｜MF｜＝2，△PFM的周长为｜MF｜＋｜MP｜＋｜PF｜＝2＋2＋｜MP｜＋｜PF1｜.当M，P，F1三点共线时，｜MP｜＋｜PF1｜取最小值，最小值为｜MF1｜＝2，所以△PFM的周长的最小值为2＋4. 【例6】　解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（－3，0），C（－5，2）. ∵｜PB｜＝｜PC｜，∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－，线段BC的中点D（－4，）， ∴直线PD的方程为y－＝（x＋4）， ① 又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5， ∴商船的轨迹方程为－＝1（x≥2）， ② 联立①②，得点P坐标为（8，5）， ∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°. 跟踪训练 解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50（m），这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25. 在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500， 从而c2＝＝4 375，b2＝3 750， 故所求分界线的方程为－＝1（x≥25）. 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工. 随堂检测 1.C　｜F1F2｜＝6，由双曲线的定义知，当0＜｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＜6时，动点P的轨迹为双曲线，故选C. 2.A　∵已知方程表示双曲线，∴（2＋m）·（2－m）＞0.∴－2＜m＜2. 3.D　依题意知解得a＝1. 4.－y2＝1　解析：因为半焦距为，且焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1（a2＜6）.因为双曲线经过点（－5，2），所以－＝1，解得a2＝5或a2＝30（舍去）.所以双曲线的标准方程为－y2＝1. 5.1或9　解析：设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2（图略）.易得ON是△PF1F2的中位线，所以｜ON｜＝｜PF2｜.因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，｜PF1｜＝10，所以｜PF2｜＝2或｜PF2｜＝18，故｜ON｜＝1或｜ON｜＝9. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $